Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 4

Tổng ba góc trong 1 tam giác là 180 độ.

Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.

Vì tam giác $MNP$ cân tại M nên $\widehat{N} = \widehat{P} = 50{^\circ}$.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $MNP$ có:

$\begin{array}{l}\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180{}^{\circ }\\ \widehat{M}+50{}^{\circ }+50{}^{\circ }=180{}^{\circ }\\ \widehat{M}=80{}^{\circ }\end{array}$$\begin{array}{l} {\widehat{M} + \widehat{N} + \widehat{P} = 180{^\circ}} \\ {\widehat{M} + 50{^\circ} + 50{^\circ} = 180{^\circ}} \\ {\widehat{M} = 80{^\circ}} \end{array}$

Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để so sánh các cạnh với nhau.

Ta có: $\widehat{C} = 180^{0} - \left( {55^{0} + 85^{0}} \right) = 40^{0}$.

Suy ra $\widehat{C} < \widehat{A} < \widehat{B}$ (do $40^{0} < 55^{0} < 85^{0}$)

Suy ra $AB < BC < AC$ hay $AC > BC > AB$.

Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh

Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh.

Thể tích hình lăng trụ đứng = Diện tích đáy. Chiều cao

Diện tích hình thoi = $\dfrac{1}{2}$. Tích 2 đường chéo

Diện tích đáy của lăng trụ là: $S = \dfrac{1}{2}.8.12 = 48\left( {cm^{2}} \right)$

Thể tích hình lăng trụ đó là: $V = S.h = 48.20 = 96\left( {cm^{3}} \right)$

Ta có công thức nhân hai lũy thừa $a^{n}.a^{m} = a^{n + m}$

$2x^{3}.5x^{4} = 10.x^{3 + 4} = 10x^{7}$

Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức

Đa thức M = 10x² – 4x + 3 – 5x⁵ có hệ số cao nhất là -5.

Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3}.9 = 3(cm)$.

Tìm tất cả số khả năng có thể xảy ra và số kết quả thuận lợi cho biến cố đó.

Mỗi bạn đều có khả năng được chọn nên có 6 kết quả có thể xảy ra.

Có một kết quả thuận lợi cho biến cố “Bạn được chọn là nam”.

Xác suất của biến cố bạn được chọn là nam là $\dfrac{1}{6}$

a) Thực hiện các phép toán với phân số.

b) Vận dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau: Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $ad = bc$.

a) $\dfrac{1}{12} + x = \dfrac{- 11}{12}$

$\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{-11}{12}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}\\ x={\displaystyle \frac{-11-1}{12}}\\ x={\displaystyle \frac{-12}{12}}=-1\end{array}$$\begin{array}{l} {x = \dfrac{- 11}{12} - \dfrac{1}{12}} \\ {x = \dfrac{- 11 - 1}{12}} \\ {x = \dfrac{- 12}{12} = - 1} \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = - 1$

b) $\dfrac{2x - 1}{27} = \dfrac{3}{2x - 1}$

$\begin{array}{l}{\left(2x-1\right)}^2=27.3=81\\ {\left(2x-1\right)}^2={\left(\pm 9\right)}^2\end{array}$$\begin{array}{l} {\left( {2x - 1} \right)^{2} = 27.3 = 81} \\ {\left( {2x - 1} \right)^{2} = \left( {\pm 9} \right)^{2}} \end{array}$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}2x-1=9\\ 2x=10\\ x=5\end{array}$$\begin{array}{l} {2x - 1 = 9} \\ {2x = 10} \\ {x = 5} \end{array}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}2x-1=-9\\ 2x=-8\\ x=-4\end{array}$$\begin{array}{l} {2x - 1 = - 9} \\ {2x = - 8} \\ {x = - 4} \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 5$ hoặc $x = - 4$

Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là $x,y,z$ (điều kiện: $x,y,z \in {\mathbb{N}}^{*}$)

Vận dụng kiến thức về tỉ lệ nghịch để tìm các đại lượng của đề bài.

Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là $x,y,z$ (điều kiện: $x,y,z \in {\mathbb{N}}^{*}$)

Vì đội I có nhiều hơn đội II là $4$ người nên: $x - y = 4$

Vì số năng suất mỗi người là như sau, nên số người và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:

$4x = 6y = 8z$ hay $\dfrac{x}{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{y}{\dfrac{1}{6}} = \dfrac{z}{\dfrac{1}{8}}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{x}{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{y}{\dfrac{1}{6}} = \dfrac{z}{\dfrac{1}{8}} = \dfrac{x - y}{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}} = \dfrac{4}{\dfrac{1}{12}} = 48$

+) $\left. \dfrac{x}{\dfrac{1}{4}} = 48\Rightarrow x = 12 \right.$ (tmđk)

+) $\left. \dfrac{y}{\dfrac{1}{6}} = 48\Rightarrow y = 8 \right.$ (tmđk)

+) $\left. \dfrac{z}{\dfrac{1}{8}} = 48\Rightarrow z = 6 \right.$ (tmđk)

Vậy số công nhân của $3$ đội lần lượt là: 12 công nhân, 8 công nhân, 6 công nhân.

a) Nhóm các đơn thức đồng dạng rồi thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính $A(x) + B(x);\, A(x) - B(x)$

Bước 1: Đặt các đa thức theo hàng ngang

Bước 2: Phá dấu ngoặc và nhóm các đơn thức đồng dạng.

Bước 3: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

c) Ta cần chứng minh không có giá trị nào của $x$ làm cho $C(x) = 0$.

a) Thu gọn:

$\begin{array}{l}A(x)=2x^4-5x^3+7x-5+4x^3+3x^2+2x+3\\ A(x)=2x^4+\left(-5x^3+4x^3\right)+3x^2+\left(7x+2x\right)-5+3\\ A(x)=2x^4-x^3+3x^2+9x-2\end{array}$$\begin{array}{l} {A(x) = 2\, x^{4} - 5\, x^{3} + 7\, x - 5 + 4\, x^{3} + 3\, x^{2} + 2\, x + 3} \\ {A(x) = 2\, x^{4} + \left( {- 5\, x^{3} + 4\, x^{3}} \right) + 3x^{2} + \left( {7\, x + 2\, x} \right) - 5 + 3} \\ {A(x) = 2\, x^{4} - x^{3} + 3\, x^{2} + 9\, x\, - 2} \end{array}$

$\begin{array}{l}B(x)=5x^4-3x^3+5x-3x^4-2x^3+9-6x\\ B(x)=\left(5x^4-3x^4\right)+\left(-3x^3-2x^3\right)+\left(5x-6x\right)+9\\ B(x)=2x^4-5x^3-x+9\end{array}$$\begin{array}{l} {B(x) = 5\, x^{4} - 3\, x^{3} + 5\, x - 3\, x^{4} - 2\, x^{3}\, + 9 - 6\, x} \\ {B(x) = \left( {5\, x^{4} - 3\, x^{4}} \right) + \left( {- 3\, x^{3} - 2\, x^{3}} \right) + \left( {5\, x - 6\, x} \right) + 9} \\ {B(x) = \,\,\,\,\,\, 2\, x^{4}\, - \, 5x^{3} - x + 9} \end{array}$

b) Tính $A(x) + B(x);\, A(x) - B(x)$.

$\begin{array}{l}+)A(x)+B(x)=\left(2x^4-x^3+3x^2+9x-2\right)+\left(2x^4-5x^3-x+9\right)\\ =\left(2x^4+2x^4\right)+\left(-x^3-5x^3\right)+3x^2+\left(9x-x\right)+\left(-2+9\right)\\ =4x^4-6x^3+3x^2+8x+7\end{array}$$\begin{array}{l} {+ )\, A(x) + B(x) = \left( {2\, x^{4} - x^{3} + 3\, x^{2} + 9\, x - 2} \right) + \left( {2\, x^{4} - 5\, x^{3} - x + 9} \right)} \\ {= \left( {2\, x^{4} + 2\, x^{4}} \right) + \left( {- x^{3} - 5\, x^{3}} \right) + 3\, x^{2} + \left( {9\, x - x} \right) + \left( {- 2 + 9} \right)} \\ {= \,\,\, 4\, x^{4} - 6\, x^{3} + 3\, x^{2} + 8\, x + 7} \end{array}$

$\begin{array}{l}+)A(x)-B(x)=\left(2x^4-x^3+3x^2+9x-2\right)-\left(2x^4-5x^3-x+9\right)\\ =\left(2x^4-x^3+3x^2+9x-2\right)-2x^4+5x^3+x-9\\ =\left(2x^4-2x^4\right)+\left(-x^3+5x^3\right)+3x^2+\left(9x+x\right)+\left(-2-9\right)\\ =4x^3+3x^2+10x-11\end{array}$$\begin{array}{l} {+ )\, A(x) - B(x) = \left( {2\, x^{4} - x^{3} + 3\, x^{2} + 9\, x - 2} \right) - \left( {2\, x^{4} - 5\, x^{3} - x + 9} \right)} \\ {= \left( {2\, x^{4} - \, x^{3} + 3\, x^{2} + 9\, x - 2} \right) - 2\, x^{4} + 5\, x^{3} + x - 9} \\ {= \left( {2\, x^{4} - \, 2\, x^{4}} \right) + \left( {- x^{3} + 5\, x^{3}} \right) + 3\, x^{2} + \left( {9\, x + x} \right) + \left( {- 2 - 9} \right)} \\ {= \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 4\, x^{3} + \, 3\, x^{2} + 10\, x - 11} \end{array}$

c) Chứng minh rằng đa thức $C(x)$ không có nghiệm.

Ta có: $C(x) = x^{4} + 4\, x^{2} + 5$.

Vì $x^{4}\, > 0,\,\,\forall\, x$ và $x^{2} > 0,\,\forall\, x$ nên $C(x) > 0,\,\,\forall\, x.$

Do đó không có giá trị nào của $x$ làm cho $C(x) = 0$.

Vậy $C(x)$ là đa thức không có nghiệm.

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau.

b) Chứng minh $\Delta DHA$ cân tại $D$

$\left. \Rightarrow AD = DH \right.$ (hai cạnh bên của tam giác cân)

c) Chứng minh $DB = DA$ hay D là trung điểm của AB.

Suy ra $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, $BE$ là một đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên nó đi qua G. Từ đó suy ra $B,E,G$ thẳng hàng.

d) Chứng minh dựa vào bất đẳng thức tam giác, tính chất đường trung tuyến của tam giác.

a) Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ ta có:

$\widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90^{0}\,\left( {gt} \right)$

$AB = AC$

$\widehat{ABH} = \widehat{ACH}$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$)

Do đó, $\Delta AHB = \Delta AHC$ (cạnh huyền góc nhọn)

b) Vì $\Delta ABC$ cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác

hay $\widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}}$ (2)

Mà $\widehat{H_{2}} = \widehat{A_{2}}$ (1) (hai góc ở vị trí so le trong)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{A_{1}} = \widehat{H_{2}}\,\,\,(3)$

Tam giác $DHA$ có hai góc ở đáy bằng nhau $\left( {\widehat{A_{1}} = \widehat{H_{2}}\,\,\,\,\,(cmt)} \right)$

Suy ra $\Delta DHA$ cân tại $D$

Suy ra $AD = DH$ (hai cạnh bên của tam giác cân)

c)

Vì $DH//AC\left( {gt} \right)$ nên $\widehat{ACB} = \widehat{H_{1}}$ (hai góc ở vị trí đồng vị) (1)

Mà $\widehat{ACB} = \widehat{ABC}$ (do tam giác $ABC$ cân tại A) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{H_{1}} = \widehat{ABC}$

Xét $\Delta DHB$ có: $\widehat{H_{1}} = \widehat{ABC}$(cmt)

Nên $\Delta DHB$ cân tại D. Do đó: $DB = DH$

Mặt khác: $AD = DH$ (chứng minh a)

Suy ra: $AD = DB$ hay D là trung điểm của AB.

Xét $\Delta ABC$ có DC là đường trung tuyến ứng với cạnh AB

AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

Mà $CD \cap AH = G$ (giả thiết)

Suy ra $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

Do đó, đường trung tuyến BE đi qua điểm G, hay nói cách khác $B,E,G$ thẳng hàng.

d) Ta có: $DC,BE,AH$ lần lượt là đường trung tuyến ứng với các cạnh $AB;AC;BC$

Khi đó:

$\begin{array}{l}2DC<AC+BC\\ 2BE<AB+BC\\ 2AH<AB+BC\\ 2.\left(DC+BE+AH\right)<2.\left(AB+AC+BC\right)\\ DC+BE+AH<AB+AC+BC\end{array}$$\begin{array}{l} {2DC < AC + BC} \\ {2BE < AB + BC} \\ {2AH < AB + BC} \\ {2.\left( {DC + BE + AH} \right) < 2.\left( {AB + AC + BC} \right)} \\ {DC + BE + AH < AB + AC + BC} \end{array}$

Mà $DC = BE\,$ (do $\Delta ABC$ cân tại A)

$\begin{array}{l}DC+BE+AH<AB+AC+BC\\ 2.BE+AH<AB+AC+BC\\ 2.{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}BG+AH<AB+AC+BC\\ 3BG+AH<AB+AC+BC\\ HayAB+AC+BC>AH+3BG\end{array}$$\begin{array}{l} {DC + BE + AH < AB + AC + BC} \\ {2.BE + AH < AB + AC + BC} \\ {2.\dfrac{3}{2}.BG + AH < AB + AC + BC} \\ {3BG + AH < AB + AC + BC} \\ {Hay\, AB + AC + BC > AH + 3BG\,} \end{array}$

Vậy: $AB + AC + BC > AH + 3BG$

Chứng minh $f(7) - f(2)$ là một hợp số ta chứng minh nó có thể phân tích được thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn nó.

* Lưu ý: Hợp số là một số tự nhiên có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó.

Ta có:

$f(5) = 125.a + 25.b + 5.c + d$

$f(4) = 64a + 16.b + 4.c + d$

$\left. \Rightarrow f(5) - f(4) = 61a + 9b + c = 2019 \right.$

Lại có:

$f(7) = 343.a + 49.b + 7c + d$

$f(2) = 8a + 4b + 2c + d$

$\begin{array}{l}\Rightarrow f(7)-f(2)\\ =335a+45b+5c\\ =5.\left(67a+9b+c\right)\\ =5.\left(61a+9b+c+6a\right)\\ =5.\left(2019+6a\right)\end{array}$$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow f(7) - f(2) \right. \\ {= 335a + 45b + 5c} \\ {= 5.\left( {67a + 9b + c} \right)} \\ {= 5.\left( {61a + 9b + c + 6a} \right)} \\ {= 5.\left( {2019 + 6a} \right)} \end{array}$

Vì $5.\left( {2019 + 6a} \right) \vdots 5$ nên $f(7) - f(2) \vdots 5$ hay $f(7) - f(2)$ là hợp số. (đpcm).