Đề kiểm tra cuối học kì 2 Toán 7 năm 2025 – 2026 sở GD&ĐT Bắc Ninh

Dấu hiệu chia hết cho 5: Nếu chữ số cuối cùng của số là 0 hoặc 5, số đó sẽ chia hết cho 5.

Vì trong bốn số đã cho không có số nào chia hết cho 5 nên biến cố “Chọn được số chia hết cho 5” là biến cố không thể. Vậy xác suất chọn được số chia hết cho 5 là 0.

Biến cố chắc chắn: Là biến cố biết trước được luôn xảy ra.

Trong tập hợp $S = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}$ các số đều là số lẻ nên biến cố “Số được chọn là số lẻ” là biến cố chắc chắn.

Chu vi hình chữ nhật được tính bằng công thức: P = (chiều dài + chiều rộng) x 2.

Chu vi của hình chữ nhật là $(7 + x).2\text{~(cm)}$.

Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.

Xét $\Delta ABC$ ta có:

$\begin{array}{l}\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180{}^{\circ }\\ 50{}^{\circ }+70{}^{\circ }+\widehat{C}=180{}^{\circ }\\ \widehat{C}=180{}^{\circ }-50{}^{\circ }-70{}^{\circ }\\ \widehat{C}=60{}^{\circ }\end{array}$$\begin{array}{l} {\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180{^\circ}} \\ {50{^\circ} + 70{^\circ} + \widehat{C} = 180{^\circ}} \\ {\widehat{C} = 180{^\circ} - 50{^\circ} - 70{^\circ}} \\ {\widehat{C} = 60{^\circ}} \end{array}$

Trong $\Delta ABC$ có:

$\widehat{B} > \widehat{C} > \widehat{A}\ (\text{do~}70{^\circ} > 60{^\circ} > 50{^\circ})$

Suy ra: $AC > AB > BC$

Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: đường vuông góc luôn là đoạn thẳng ngắn nhất nối một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó.

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $A$ ta có: $AB < BC$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Vì điểm $C$ nằm trên cạnh $AD$ nên $BC < BD$

Do đó: $AB < BC < BD$.

Sử dụng kiến thức bất đẳng thức trong tam giác.

Ta thấy: $6 - 3 < 4 < 6 + 3; 6 - 4 < 3 < 6 + 4; 4 - 3 < 6 < 4 + 3$

Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có bộ ba độ dài $\text{3}\,\text{cm};\text{4}\,\text{cm};\text{6}\,\text{cm}$ có là độ dài ba cạnh trong một tam giác.

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Các đơn thức trong các biểu thức trên là: $2x; 5x^{6}; 5xy$. Vậy có 3 đơn thức.

Trong bài toán này, hành động là rút ra 1 chiếc bút từ hộp. Mỗi chiếc bút được rút ra là một kết quả phân biệt.

Trong hộp có tổng cộng 6 chiếc bút khác nhau. Vì các chiếc bút này khác nhau, nên khi rút ngẫu nhiên ra 1 chiếc bút, bạn có thể rút trúng chiếc thứ nhất, chiếc thứ hai, chiếc thứ ba, ..., hoặc chiếc thứ sáu.

Do đó, số kết quả có thể xảy ra là 6.

Sắp xếp các hạng tử theo số mũ của biến giảm dần từ cao xuống thấp

Sắp xếp đa thức $6x^{3} + 5x^{4} - 2x + x^{2} - 1$ theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:

$5x^{4} + 6x^{3} + x^{2} - 2x - 1$

Để chia đa thức A cho đơn thức B, bạn cần chia từng hạng tử của A cho B và cộng các kết quả lại với nhau.

Ta có: $(8x^{3} + 4x^{2} - 2x):2x = (8x^{3}):(2x) + (4x^{2}):(2x) - (2x):(2x) = 4x^{2} + 2x - 1$.

Hệ số tự do là hệ số của hạng tử có bậc 0 trong một đa thức, tức là hạng tử không chứa biến.

Hệ số tự do của đa thức $4x^{3} + 6x^{2} + 3x - 11$ là $- 11$.

Hai tam giác bằng nhau thì các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

Vì $\Delta ABC = \Delta MNP$ nên $AB = MN$ (Hai cạnh tương ứng).

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.

Trong các đa thức trên, đa thức $x^{2} + x - 1$ là đa thức một biến (biến $x$).

Bậc của đa thức: Là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức.

Bậc của đa thức $x^{3} - x^{2} + 2x - 7$ là $3$.

Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác.

Góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất. Vì vậy góc đó là góc nhọn.

Thay $x = 3$ vào biểu thức $2x^{2} + 3$.

Thay $x = 3$ vào biểu thức $2x^{2} + 3$ ta được:

$2.3^{2} + 3 = 2.9 + 3 = 18 + 3 = 21$

Vậy giá trị của biểu thức là $21$.

Sử dụng tính chất của tam giác cân.

Xét $\Delta ABC$ cân tại $A$, ta có:

$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \dfrac{180{^\circ} - \widehat{BAC}}{2}$

Hay $\widehat{ABC} = \dfrac{180{^\circ} - 50{^\circ}}{2} = 65{^\circ}$.

Xét $Q(x) = 0$, từ đó tìm được nghiệm của đa thức $Q(x).$

Xét $Q(x) = 0$ ta có:

$\begin{array}{l}2x-2=0\\ 2x=2\\ x=1\end{array}$$\begin{array}{l} {2x - 2 = 0} \\ {2x = 2} \\ {x = 1} \end{array}$

Vậy nghiệm của đa thức $Q(x)$ là $x = 1$.

+ Xác định các kết quả thuận lợi để xảy ra biến cố.

+ Xác suất của biến cố “Mặt xuất hiện của con xúc xắc là mặt ba chấm” bằng tỉ số của số các kết quả thuận lợi cho biến cố và số các kết quả có thể xảy ra khi gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối, đồng chất.

Các kết quả có thể xảy ra khi gieo một con xác xắc cân đối, đồng chất là: $\left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$.

Suy ra có 6 kết quả có thể xảy ra.

Kết quả thuận lợi của biến cố “Mặt xuất hiện của con xúc xắc là mặt ba chấm” là $3$.

Suy ra có 1 kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất của biến cố “Mặt xuất hiện của con xúc xắc là mặt ba chấm” là $\dfrac{1}{6}$.

Dựa vào kiến thức của tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.

Đáp án B sai vì hai góc nhọn của tam giác vuông cân bằng nhau và bằng $45^{\circ}$.

a) Tính chi phí dành cho các khoản khác bằng cách lấy $100\%$ trừ đi các chi phí còn lại.

b) Giá trị phần trăm của một số được tính bằng cách lấy số đó nhân với phần trăm rồi chia cho 100.

a) Chi phí dành cho các khoản khác của gia đình bác An trong một tháng chiếm số phần trăm là $100\% - (40\% + 20\% + 10\% + 8\%) = 22\%$

b) Số tiền gia đình bác An chi tiêu trong một tháng cho giáo dục là

$20\%.15\text{~000~000=~3~000~000}$(đồng).

a) Thực hiện cộng hai đa thức theo hàng ngang.
b) Xét $A(x) + B(x) = 0$, từ đó tìm được nghiệm của đa thức.

a) Ta có:

$\begin{array}{l}A(x)+B(x)=(3x^3-2x^2-x+5)+(-3x^3+2x^2+7x-4)\\ =3x^3-2x^2-x+5-3x^3+2x^2+7x-4\\ =(3x^3-3x^3)+(-2x^2+2x^2)+(-x+7x)+(5-4)\\ =6x+1\end{array}$$\begin{array}{l} {A(x) + B(x) = (3x^{3} - 2x^{2} - x + 5) + ( - 3x^{3} + 2x^{2} + 7x - 4)} \\ {= 3x^{3} - 2x^{2} - x + 5 - 3x^{3} + 2x^{2} + 7x - 4} \\ {= (3x^{3} - 3x^{3}) + ( - 2x^{2} + 2x^{2}) + ( - x + 7x) + (5 - 4)} \\ {= 6x + 1} \end{array}$

Vậy $A(x) + B(x) = 6x + 1$

b) Xét

$\begin{array}{l}A(x)+B(x)=0\\ 6x+1=0\\ \text{6}x\text{ = -1}\\ x={\displaystyle \frac{-1}{6}}\end{array}$$\begin{array}{l} {A(x) + B(x) = 0} \\ {6x + 1 = 0} \\ {\text{6}x\text{~=~-1}} \\ {x = \dfrac{- 1}{6}} \end{array}$

Vậy đa thức $A(x) + B(x)$ có duy nhất một nghiệm là $x = \dfrac{- 1}{6}$

a) Dựa vào các giả thiết từ đề bài chứng minh $\Delta ABE = \Delta HBE.$

b) Từ chứng minh a có $\Delta ABE = \Delta HBE.$ Từ đó suy ra $AE = HE$

Chứng minh $\Delta EAK = \Delta EHC$ từ đó suy ra $AK = HC$.

c) Chứng minh $BE$ là đường trung trực của $AH$ và $KC$.Theo quan hệ từ vuông góc tới song song chứng minh được $AH\text{//}KC$.

a) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta HBE$ có

$\widehat{BAE} = \widehat{BHE} = 90^{0}$

$BE$ là cạnh chung

$\widehat{ABE} = \widehat{HBE}$ (vì $BE$ là phân giác của $\widehat{ABC}$)

Suy ra $\Delta ABE = \Delta HBE$ (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Từ $\Delta ABE = \Delta HBE$ suy ra $AE = HE$ (hai cạnh tương tứng)

Xét $\Delta EAK$ và $\Delta EHC$ có

$\widehat{EAK} = \widehat{EHC} = 90^{0}$

$EA = EH$ (chứng minh trên)

$\widehat{AEK} = \widehat{HEC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó $\Delta EAK = \Delta EHC$ (góc- cạnh- góc)

Từ đó ta được $AK = HC$ (hai cạnh tương ứng)

c) Từ $\Delta ABE = \Delta HBE$ suy ra $AE = HE;BA = BH$ (hai cạnh tương tứng)

Cho nên $BE$ là đường trung trực của $AH$, do đó $BE\bot AH\text{~(1)}$

Ta có $AK = HC;BA = BH$ nên $AK + BA = BH + HC$, do đó $BK = BC$

Mà $\Delta EAK = \Delta EHC$ (câu b) nên $EK = EC$ (hai cạnh tương ứng)

Suy ra $BE$ là đường trung trực của $\left. KC\Rightarrow BE\bot KC\text{~(2)} \right.$

Từ $\text{(1)}$ và $\text{(2)}$ suy ra $AH\text{//}KC$

Dựng thêm hình và sử dụng bất đẳng thức trong tam giác.

Lấy điểm $E$ sao cho $MN$ là trung trực của đoạn $AE$. Nối $BE$ cắt $MN$ tại $C$. Khi đó trạm cấp nước đặt tại vị trí $C$ này thì tổng độ dài đường ống dẫn nước từ trạm cấp nước tới hai khu dân cư $A$ và $B$ là nhỏ nhất.

Chứng minh:

Vì $MN$ là trung trực của đoạn $\left. AE; C \in MN\Rightarrow CA = CE \right.$

Tổng độ dài đường ống là $AC + BC = EC + BC = BE$

Xét nơi đặt trạm cấp nước tại điểm $C'$ nằm trên $MN$ khác điểm $C$ khi đó

tổng độ dài đường ống là $AC' + BC' = EC' + BC'$

mà ba điểm $B,C',E$ không thẳng hàng tạo thành $\Delta BC'E$ theo bất đẳng thức trong tam giác có: $EC' + BC' > BE$. Do đó tại vị trí điểm $C$ thì tổng độ dài đường ống dẫn nước từ trạm cấp nước tới hai khu dân cư $A$ và $B$ là nhỏ nhất.

Vậy để tổng độ dài đường ống dẫn nước từ trạm cấp nước tới hai khu dân cư $A$ và $B$ là nhỏ nhất thì trạm cấp nước phải đặt tại vị trí $C$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ và $BE$ (trong đó $E$ là điểm sao cho $MN$ là trung trực của đoạn $AE$).