Đề thi học kì 1 Toán 7 - Đề số 8

Quy đồng các phân số cùng mẫu dương để so sánh.

*Ta có: $11 < 9$, do đó, $\dfrac{5}{11} < \dfrac{5}{9}$ suy ra $\dfrac{- 5}{11} > \dfrac{- 5}{9}$

*Ta có: $\dfrac{7}{5} = \dfrac{91}{65}\,\,;\,\,\dfrac{3}{5} = \dfrac{39}{65}\,\,;\,\,\dfrac{18}{13} = \dfrac{90}{65}$

Vì $39 < 90 < 91$ nên $\dfrac{39}{65} < \dfrac{90}{65} < \dfrac{91}{65}$ hay $\dfrac{3}{5} < \dfrac{18}{13} < \dfrac{7}{5}$

Thứ tự tăng dần của các số hữu tỉ là: $\dfrac{- 5}{9}\,\,;\,\,\dfrac{- 5}{11}\,\,;\,\,\dfrac{3}{5}\,\,;\,\,\dfrac{18}{13}\,\,;\,\,\dfrac{7}{5}.$

Vận dụng công thức tính lũy thừa của một thường bằng thương các lũy thừa: $\left( \dfrac{x}{y} \right)^{n} = \dfrac{x^{n}}{y^{n}}\,\left( {y \neq 0} \right)$

$\left( \dfrac{3}{5} \right)^{10}:5^{10}$$= \dfrac{3^{10}}{5^{10}}.5^{10} = 3^{10}$

Thực hiện tính căn bậc hai.

$\begin{array}{l}\sqrt{0,04}+\sqrt{0,25}+2,31\\ =0,2+0,5+2,31\\ =0,7+2,31\\ =3,01\end{array}$$\begin{array}{l} {\,\,\,\,\sqrt{0,04} + \sqrt{0,25} + 2,31} \\ {= 0,2 + 0,5 + 2,31} \\ {= 0,7 + 2,31} \\ {= 3,01} \end{array}$

Vận dụng kiến thức về dấu giá trị tuyệt đối của một số.

+ Đáp án A sai, khi $x < y$

+ Đáp án B sai, lấy ví dụ khi $x = 0;y \neq 0$

+ Đáp án C sai, lấy ví dụ khi $x = - y \neq 0$

+ Đáp án D đúng, theo quy tắc cộng hai số trái dấu.

Từ giả thiết của bài toán: $\dfrac{1}{5}\widehat{xOz} = \dfrac{1}{4}\widehat{yOz}$, tìm được $\widehat{yOz}$ theo $\widehat{xOz}$

Vì hai góc $\widehat{xOz}$ và $\widehat{yOz}$ là hai góc kề nhau nên $\widehat{xOy} = \widehat{xOz} + \widehat{yOz}$

Từ đó tính được $\widehat{xOz}$

Ta có: $\dfrac{1}{5}\widehat{xOz} = \dfrac{1}{4}\widehat{yOz}$ suy ra $\widehat{yOz} = \dfrac{4}{5}\widehat{xOz}$

Vì hai góc $xOz$ và $yOz$ là hai góc kề nhau nên $\widehat{xOy} = \widehat{xOz} + \widehat{yOz} = 90^{0}$

$\begin{array}{l}\widehat{xOz}+{\displaystyle \frac{4}{5}}\widehat{xOz}={90}^0\\ \left(1+{\displaystyle \frac{4}{5}}\right)\mathrm{.}\widehat{xOz}={90}^0\\ {\displaystyle \frac{9}{5}}\mathrm{.}\widehat{xOz}={90}^0\\ \widehat{xOz}={90}^0:{\displaystyle \frac{9}{5}}={90}^0\mathrm{.}{\displaystyle \frac{5}{9}}\\ \widehat{xOz}={50}^0\end{array}$$\begin{array}{l} {\widehat{xOz} + \dfrac{4}{5}\widehat{xOz} = 90^{0}} \\ {\left( {1 + \dfrac{4}{5}} \right).\widehat{xOz} = 90^{0}} \\ {\dfrac{9}{5}.\widehat{xOz} = 90^{0}} \\ {\widehat{xOz} = 90^{0}:\dfrac{9}{5} = 90^{0}.\dfrac{5}{9}} \\ {\widehat{xOz} = 50^{0}} \end{array}$

Vậy $\widehat{xOz} = 50^{0}$

Vận dụng tính chất của tam giác cân: Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác: Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng $180^{0}$.

Tam giác $ABC$ có: $AB = AC$ nên $ABC$ là tam giác cân

Suy ra $\widehat{B} = \widehat{C} = 55^{0}$ (tính chất của tam giác cân)

Xét tam giác $ABC$ có: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{0}$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

$\begin{array}{l}\widehat{A}+{55}^0+{55}^0={180}^0\\ x+{110}^0={180}^0\\ x={180}^0-{110}^0\\ x={70}^0\end{array}$$\begin{array}{l} {\widehat{A} + 55^{0} + 55^{0} = 180^{0}} \\ {x + 110^{0} = 180^{0}} \\ {x = 180^{0} - 110^{0}} \\ {x = 70^{0}} \end{array}$

Vậy $x = 70^{0}$

Vận dụng định lý (trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc (g.c.g)): Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Để $\Delta ABC = \Delta MNP\left( {g.c.g} \right)$ thì cần thêm điều kiện $BC = NP$.

Vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song thì hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau.

Ta có: $a//b$ (giả thiết) nên $\widehat{BAb} = \widehat{ABH} = 55^{0}$ (hai góc so le trong)

Vậy $\widehat{ABH} = 55^{0}$

Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng: Nếu … thì ….

Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng: Nếu … thì ….

Phân tích dữ liệu biểu đồ đoạn thẳng.

Từ biểu đồ đoạn thẳng, ta thấy: Thời điểm nhiệt độ thấp nhất là 7 giờ; thời điểm nhiệt độ cao nhất là 13 giờ đến 16 giờ.

a) Thực hiện phép cộng, trừ, nhân, chia với các số hữu tỉ.

b) Tính lũy thừa của một số hữu tỉ: $\left( \dfrac{a}{b} \right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}\,\,\left( {b \neq 0;n \in {\mathbb{Z}}} \right)$

Thực hiện phép cộng, trừ, nhân với các số hữu tỉ.

c) Tính căn bậc hai số học.

Thực hiện phép trừ, chia với các số hữu tỉ.

d) Tính căn bậc hai số học, tính lũy thừa của một số hữu tỉ: $\left( \dfrac{a}{b} \right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}\,\,\left( {b \neq 0;n \in {\mathbb{Z}}} \right)$, tính giá trị tuyệt đối của một số.

a) $3,5.\dfrac{2}{21} - \dfrac{5}{9}:\dfrac{25}{3} + \dfrac{1}{15}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{7}{2}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{2}{21}}-{\displaystyle \frac{5}{9}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{3}{25}}+{\displaystyle \frac{1}{15}}\\ ={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{15}}+{\displaystyle \frac{1}{15}}\\ ={\displaystyle \frac{1}{3}}+\left(-{\displaystyle \frac{1}{15}}+{\displaystyle \frac{1}{15}}\right)\\ ={\displaystyle \frac{1}{3}}+0={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$\begin{array}{l} {= \dfrac{7}{2}.\dfrac{2}{21} - \dfrac{5}{9}.\dfrac{3}{25} + \dfrac{1}{15}} \\ {= \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{15}} \\ {= \dfrac{1}{3} + \left( {- \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{15}} \right)} \\ {= \dfrac{1}{3} + 0 = \dfrac{1}{3}} \end{array}$

b) $16.\left( {\dfrac{3}{20} - \dfrac{2}{5}} \right)^{2} + \dfrac{3}{5}$

$\begin{array}{l}=16.{\left({\displaystyle \frac{3}{20}}-{\displaystyle \frac{8}{20}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{5}}\\ =16.{\left({\displaystyle \frac{-5}{20}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{5}}\\ =16.{\left({\displaystyle \frac{-1}{4}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{3}{5}}\\ =16.{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^2}{4^2}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}\\ =16.{\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}\\ =1+{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{5}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}\\ ={\displaystyle \frac{8}{5}}\end{array}$$\begin{array}{l} {= 16.\left( {\dfrac{3}{20} - \dfrac{8}{20}} \right)^{2} + \dfrac{3}{5}} \\ {= 16.\left( \dfrac{- 5}{20} \right)^{2} + \dfrac{3}{5}} \\ {= 16.\left( \dfrac{- 1}{4} \right)^{2} + \dfrac{3}{5}} \\ {= 16.\dfrac{\left( {- 1} \right)^{2}}{4^{2}} + \dfrac{3}{5}} \\ {= 16.\dfrac{1}{16} + \dfrac{3}{5}} \\ {= 1 + \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{5} + \dfrac{3}{5}} \\ {= \dfrac{8}{5}} \end{array}$

c) $\dfrac{- 11}{3}:\left( {1,5.\sqrt{\dfrac{16}{9}} - \dfrac{10}{3}} \right)$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{-11}{3}}:\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{10}{3}}\right)\\ ={\displaystyle \frac{-11}{3}}:\left({\displaystyle \frac{6}{3}}-{\displaystyle \frac{10}{3}}\right)\\ ={\displaystyle \frac{-11}{3}}:{\displaystyle \frac{-4}{3}}\\ ={\displaystyle \frac{-11}{3}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{3}{-4}}\\ ={\displaystyle \frac{11}{4}}\end{array}$$\begin{array}{l} {= \dfrac{- 11}{3}:\left( {\dfrac{3}{2}.\dfrac{4}{3} - \dfrac{10}{3}} \right)} \\ {= \dfrac{- 11}{3}:\left( {\dfrac{6}{3} - \dfrac{10}{3}} \right)} \\ {= \dfrac{- 11}{3}:\dfrac{- 4}{3}} \\ {= \dfrac{- 11}{3}.\dfrac{3}{- 4}} \\ {= \dfrac{11}{4}} \end{array}$

d) $\left( {\sqrt{\dfrac{81}{16}} + \dfrac{- 3}{4}} \right):\left( {- \dfrac{3}{4}} \right)^{2} - \left| {\dfrac{- 27}{4}:3^{2}} \right|$

$\begin{array}{l}=\left({\displaystyle \frac{9}{4}}+{\displaystyle \frac{-3}{4}}\right):{\displaystyle \frac{{\left(-3\right)}^2}{4^2}}-\mid {\displaystyle \frac{-27}{4}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1}{3^2}}\mid \\ ={\displaystyle \frac{6}{4}}:{\displaystyle \frac{9}{16}}-\mid {\displaystyle \frac{-27}{4}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1}{9}}\mid \\ ={\displaystyle \frac{6}{4}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{16}{9}}-\mid {\displaystyle \frac{-3}{4}}\mid \\ ={\displaystyle \frac{8}{3}}-\left[-\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)\right]\\ ={\displaystyle \frac{8}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{32}{12}}-{\displaystyle \frac{9}{12}}\\ ={\displaystyle \frac{23}{12}}\end{array}$$\begin{array}{l} {= \left( {\dfrac{9}{4} + \dfrac{- 3}{4}} \right):\dfrac{\left( {- 3} \right)^{2}}{4^{2}} - \left| {\dfrac{- 27}{4}.\dfrac{1}{3^{2}}} \right|} \\ {= \dfrac{6}{4}:\dfrac{9}{16} - \left| {\dfrac{- 27}{4}.\dfrac{1}{9}} \right|} \\ {= \dfrac{6}{4}.\dfrac{16}{9} - \left| \dfrac{- 3}{4} \right|} \\ {= \dfrac{8}{3} - \left\lbrack {- \left( {- \dfrac{3}{4}} \right)} \right\rbrack} \\ {= \dfrac{8}{3} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{32}{12} - \dfrac{9}{12}} \\ {= \dfrac{23}{12}} \end{array}$

a) Thực hiện phép nhân, chia các số hữu tỉ tìm $x$.

b) Giải $\left. a^{f{(x)}} = a^{g{(x)}}\Rightarrow f(x) = g(x) \right.$

c) Tính căn bậc hai số học, vận dụng quy tắc chuyển vế tìm $x$.

d) Giải $A(x).B(x) = 0$

Trường hợp 1: Giải $A(x) = 0$

Trường hợp 2: Giải $B(x) = 0$

$\left| {A(x)} \right| = 0$ suy ra $A(x) = 0$

a) $\dfrac{1}{3}:x = 2\dfrac{2}{3}:\left( {- 0,3} \right)$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{3}}:x={\displaystyle \frac{8}{3}}:{\displaystyle \frac{-3}{10}}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}:x={\displaystyle \frac{8}{3}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{10}{-3}}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}:x={\displaystyle \frac{80}{-9}}\\ x={\displaystyle \frac{1}{3}}:{\displaystyle \frac{80}{-9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{-9}{80}}\\ x={\displaystyle \frac{-3}{80}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{1}{3}:x = \dfrac{8}{3}:\dfrac{- 3}{10}} \\ {\dfrac{1}{3}:x = \dfrac{8}{3}.\dfrac{10}{- 3}} \\ {\dfrac{1}{3}:x = \dfrac{80}{- 9}} \\ {x = \dfrac{1}{3}:\dfrac{80}{- 9} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{- 9}{80}} \\ {x = \dfrac{- 3}{80}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{- 3}{80}$

b) $3^{2x} - 2.3^{5} = 3^{5}$

$\begin{array}{l}{3}^{2x}=3^5+{2.3}^5\\ 3^{2x}=\left(1+2\right){.3}^5\\ 3^{2x}={3.3}^5=3^1{.3}^5\\ 3^{2x}=3^{1+5}\\ 3^{2x}=3^6\\ \Rightarrow 2x=6\\ x=6:2\\ x=3\end{array}$$\begin{array}{l} {3^{2x} = 3^{5} + 2.3^{5}} \\ {3^{2x} = \left( {1 + 2} \right).3^{5}} \\ {3^{2x} = 3.3^{5} = 3^{1}.3^{5}} \\ {3^{2x} = 3^{1 + 5}} \\ {3^{2x} = 3^{6}} \\ \left. \Rightarrow 2x = 6 \right. \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x = 6:2} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x = 3} \end{array}$

Vậy $x = 3$

c) $2x - \sqrt{1,69} = \sqrt{1,21}$

$\begin{array}{l}2x-1,3=1,1\\ 2x=1,1+1,3\\ 2x=2,4\\ x=2,4:2\\ x=1,2\end{array}$$\begin{array}{l} {2x - 1,3 = 1,1} \\ {2x = 1,1 + 1,3} \\ {2x = 2,4} \\ {x = 2,4:2} \\ {x = 1,2} \end{array}$

Vậy $x = 1,2$

d) $\left| {x + \dfrac{1}{3}} \right|.\left( {x^{2} + 1} \right) = 0$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}\mid x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\mid =0\\ x+{\displaystyle \frac{1}{3}}=0\\ x={\displaystyle \frac{-1}{3}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\left| {x + \dfrac{1}{3}} \right| = 0} \\ {x + \dfrac{1}{3} = 0} \\ {x = \dfrac{- 1}{3}} \end{array}$

Trường hợp 2: $x^{2} + 1 = 0$

Vì $x^{2} \geq 0$ với mọi $x$ nên $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ với mọi $x$

Do đó, không có $x$ thỏa mãn $x^{2} + 1 = 0$

Vậy $x = - \dfrac{1}{3}$

Vận dụng tính chất tia phân giác của một góc

Dấu hiệu nhận biết hai góc kề bù

Vì $Ou$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $\widehat{xOy} = 2\widehat{uOy}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

$Ov$ là tia phân giác của $\widehat{yOz}$ nên $\widehat{yOz} = 2\widehat{yOv}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Ta có: $\widehat{xOy} + \widehat{yOz} = 2\widehat{uOy} + 2\widehat{yOv}$

$\begin{array}{l}=2.\left(\widehat{uOy}+\widehat{yOv}\right)\\ =2.\widehat{uOv}\\ ={2.90}^0={180}^0\end{array}$$\begin{array}{l} {= 2.\left( {\widehat{uOy} + \widehat{yOv}} \right)} \\ {= 2.\widehat{uOv}} \\ {= 2.90^{0} = 180^{0}} \end{array}$

Do đó, hai góc $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$ là hai góc kề bù.

a) Xét $\Delta MPB$ và $\Delta MQC$, chứng minh hai tam giác bằng nhau từ đó suy ra các cặp cạnh bằng nhau.

b) Vận dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.

a) Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ (giả thiết) nên $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ (tính chất của tam giác cân) suy ra $\widehat{PBM} = \widehat{QCM}$

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = MC$ (tính chất trung điểm của đoạn thẳng)

Vì $MP,MQ$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$ nên ta có: $\widehat{BPM} = \widehat{APM} = 90^{0}\,;\,\widehat{CQM} = \widehat{AQM} = 90^{0}$

*Xét $\Delta MPB$ và $\Delta MQC$ có:

$\widehat{BPM} = \widehat{CQM} = 90^{0}$ (chứng minh trên)

$BM = MC$ (chứng minh trên)

$\widehat{PBM} = \widehat{QCM}$ (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta MPB = \Delta MQC$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $MP = MQ$ (hai cạnh tương ứng)

và $BP = QC$ (hai cạnh tương ứng)

Ta có:

$P$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $AB = AP + BP$ hay $AP = AB - BP$

$Q$ nằm giữa $A$ và $C$ nên $AC = AQ + QC$ hay $AQ = AC - QC$

Mà $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$); $BP = QC$ (chứng minh trên)

Do đó, $AP = AQ$ (điều phải chứng minh)

b) Ta có: $AP = AQ;MP = MQ$ nên $A,M$ cùng cách đều hai điểm $P,Q$ nên $AM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $PQ$.

Do đó, $AM$ vuông góc với $PQ$.

Vận dụng kiến thức lũy thừa của một số và căn bậc hai số học của một số.

Ta có: $x^{2} \geq 0$ với mọi số thực $x$ nên $x^{2} + 81 \geq 81$ với mọi số thực $x$.

Suy ra $\sqrt{x^{2} + 81} \geq \sqrt{81} = 9$ với mọi số thực $x$.

Do đó, $- \sqrt{x^{2} + 81} \leq - 9$ với mọi số thực $x$.

Suy ra $A = - \sqrt{x^{2} + 81} + 2030 \leq - 9 + 2030$ hay $A \leq 2021$ với mọi số thực $x$.

Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $2021$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left. \Leftrightarrow x^{2} = 0\Leftrightarrow x = 0 \right.$.