Đề giữa học kỳ 2 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường THPT Phan Đình Phùng – Hà Nội

Dựa vào định nghĩa tích phân: $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(b) - F(a)$.

$F(2024) - F(2025) = \int\limits_{2025}^{2024} {f(x)dx} = - \int\limits_{2024}^{2025} {f(x)dx}$.

$\int\limits_a^b {dx} = x\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^b}\\{_a}\end{array}$} \right.

$\int\limits_0^{10} {dx} = x\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^{10}}\\{_0}\end{array}$} \right. = 10 - 0 = 10.

Áp dụng tính chất của tích phân:

${\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}} = {\int\limits_{a}^{b}{f(t)dt}}$;

$\int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx}$.

${\int\limits_{0}^{10}{f(x)dx}} = {\int\limits_{0}^{10}{f(t)dt}} = 17$;

${\int\limits_{0}^{8}{f(x)dx}} = {\int\limits_{0}^{8}{f(y)dy}} = 12$.

$\int\limits_8^{10} {( - 3)f(x)dx} = - 3\int\limits_8^{10} {f(x)dx} = - 3\left( {\int\limits_0^{10} {f(x)dx} - \int\limits_0^8 {f(x)dx} } \right)$

$= - 3(17 - 12) = - 15$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Một vecto pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow n = (A;B;C)$.

Khi đó, với số thực $k \ne 0$, $k\overrightarrow n = (kA;kB;kC)$ cũng là một vecto pháp tuyến của (P).

Mặt phẳng (P) có một veco pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 3;1)$.

Vì $\overrightarrow {{n_4}} = (1;3;1)$ không cùng phương với $\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 3;1)$ nên $\overrightarrow {{n_4}} = (1;3;1)$ không phải vecto pháp tuyến của (P).

Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm I của AB, nhận $\overrightarrow {AB}$ làm vecto pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng đó là:

$- 2(x - 1) - 2(y + 2) - 4(z + 0) = 0$

$\Leftrightarrow - 2x - 2y - 4z - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x + y + 2z + 1 = 0$.

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa:

$\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$.

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^{3}$ là $y = \dfrac{x^{4}}{4} + C$.

Do đó, $y = 3x^{2}$ không phải nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^{3}$.

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lượng giác và hàm mũ:

$\int {\sin xdx} = \cos x + C$; $\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$.

$\int {\left( {3\cos x - {3^x}} \right)dx} = 3\sin x - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$.

Áp dụng công thức $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$.

Từ $F(1) = 1$ tìm C.

Có C, ta tính $F(3)$.

$\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$.

$F(1) = 1 \Leftrightarrow \ln \left| 1 \right| + C = 1 \Leftrightarrow C = 1$.

$F(3) = \ln \left| 3 \right| + 1 = \ln 3 + 1$.

Cặp vecto chỉ phương của (P) là $\overrightarrow {OM}$ và vecto pháp tuyến của mặt phẳng $x + y + 3z - 5 = 0$.

Tính tích có hướng của hai vecto trên để tìm vecto pháp tuyến của (P).

Cặp vecto chỉ phương của (P) là $\overrightarrow {OM} = (0; - 1;2)$ và $\overrightarrow n = (1;1;3)$.

Vecto pháp tuyến của (P) là $\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow n } \right] = ( - 5;2;1)$.

Phương trình mặt phẳng (P) là:

$- 5(x - 0) + 2(y - 0) + 1(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow - 5x + 2y + z = 0$.

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x $(a \le x \le b)$ thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Khi đó thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức $V = \int\limits_a^b {S(x)dx}$.

Tam giác đều cạnh $x\sqrt {8 - {x^2}}$ có diện tích là $\frac{{\left( {x\sqrt {8 - {x^2}} } \right)\sqrt 3 }}{4}$.

Thể tích vật thể là:

$V = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {x\sqrt {8 - {x^2}} } \right)\sqrt 3 }}{4}dx} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\int\limits_0^1 {\left( {x\sqrt {8 - {x^2}} } \right)dx} = \frac{{37\sqrt 3 }}{{60}}$.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx}$.

$S= {\int\limits_{- 1}^{2}{|4^{x}|dx}} = {\int\limits_{- 1}^{2}{4^{x}dx}}$.

Cho hàm số f(x), g(x) liên tục, không âm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx}$.

$V = \pi \int\limits_2^7 {{{\left( {\sqrt {9x + 7} } \right)}^2}dx} = \frac{{475}}{2}\pi$.

Áp dụng tính chất của tích phân.

a) Đúng. $\int_0^{ - 3} f (x){\rm{d}}x = - \int_{ - 3}^0 f (x){\rm{d}}x = - ( - 2024) = 2024$.

b) Sai. $\int_{ - 3}^0 {( - 3)} g(x){\rm{d}}x = - 3 \cdot \int_{ - 3}^0 g (x){\rm{d}}x = - 3 \cdot ( - 2025) = 6075$.

c) Đúng.

\(\mathop \smallint \nolimits_{ - 3}^0 \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right) + 1} \right]{\rm{d}}x\)

\(= \mathop \smallint \nolimits_{ - 3}^0 f\left( x \right){\rm{d}}x - \mathop \smallint \nolimits_{ - 3}^0 g\left( x \right){\rm{d}}x + \mathop \smallint \nolimits_{ - 3}^0 1{\rm{d}}x\)

$= - 2024 - \left( { - 2025} \right) + 3 = 4$.

d) Sai. \(\mathop \smallint \nolimits_{ - 3}^0 \left[ {mf\left( x \right) - ng\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 2026\)

\(\Leftrightarrow m\mathop \smallint \nolimits_{ - 3}^0 f\left( x \right){\rm{d}}x - n\mathop \smallint \nolimits_{ - 3}^0 g\left( x \right){\rm{d}}x = 2026\)

$\Leftrightarrow - 2024m - \left( { - 2025} \right)n = 2026$

$\Leftrightarrow - 2024m + 2025n = 2026$ (1)

\(\mathop \smallint \nolimits_{ - 3}^0 \left[ { - nf\left( x \right) + mg\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = 2023\)

\(\Leftrightarrow - n\mathop \smallint \nolimits_{ - 3}^0 f\left( x \right){\rm{d}}x + m\mathop \smallint \nolimits_{ - 3}^0 g\left( x \right){\rm{d}}x = 2023\)

$\Leftrightarrow - n\left( { - 2024} \right) + m\left( { - 2025} \right) = 2023$

$\Leftrightarrow - 2025m + 2024n = 2023$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra m + n = 3.

Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích khối tròn xoay.

a) Đúng. Hoành độ giao điểm của  với trục hoành: $6 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 3$.

Thể tích vật thể tròn xoay: \(V = \pi \mathop \smallint \nolimits_0^3 {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}dx = \pi \mathop \smallint \nolimits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)^2}dx\).

b) Sai. Xét phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right) = g\left( x \right)$:

$6 - 2x = 2{x^2} - 4x + 2$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0$.

Giải phương trình trên, được các nghiệm x = -1 và x = 2.

c) Đúng. $f\left( x \right) \ge g\left( x \right)$ trên $\left[ { - 1;2} \right]$ nên:

\(S = \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^2 |f\left( x \right) - g\left( x \right)|dx = \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^2 \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx\)

\(= \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^2 \left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx\).

d) Sai. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)\,;y = g(x);y = 0$ là:

$S = \,\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} + \int\limits_1^2 {g(x)dx} + \,\int\limits_2^3 {f(x)dx}$.

Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, tích phân.

a) Đúng. $F\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + 1$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4x$, do đó:

$F'\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right)' = f'\left( x \right) - 4x$

$\Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = f'\left( x \right) - 4x \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 4{x^3}$.

b) Đúng. Theo định nghĩa nguyên hàm: $\int {g\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C$.

c) Sai. Theo định nghĩa tích phân: $\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

d) Đúng. $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ với x = 0 là nghiệm bội lẻ, do đó f’(x) đổi dấu khi qua x = 0. Vậy hàm số y = f(x) có một điểm cực trị x = 0.

Áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian.

a) Sai. $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3 - 1;1 - \left( { - 2} \right);1 - 0} \right) = \left( { - 4;3;1} \right)$;

$\overrightarrow {AC} = \left( {3 - 1; - 1 - \left( { - 2} \right);1 - 0} \right) = \left( {2;1;1} \right)$.

b) Đúng.
$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}3&1\\1&1\end{array}$} \right|;\left| {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 4}\\1&2\end{array}$} \right|;\left| {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 4}&3\\2&1\end{array}$} \right|} \right) = \left( {2;6; - 10} \right).

Do đó, một vecto pháp tuyến của (ABC) là $\vec n = \frac{1}{2}\vec u = \left( {1;3; - 5} \right)$.

c) Đúng. Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1; -2; 0)  và có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {1;3; - 5} \right)$:

$1\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) - 5\left( {z - 0} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x + 3y - 5z + 5 = 0$.

d) Đúng. $M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {ABC} \right)$ nên $a + 3b - 5c + 5 = 0$ (1)

Mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec i = \left( {1;0;0} \right)$.

$\overrightarrow {AM} = \left( {a - 1;b + 2;c} \right)$.

Vì $MA\parallel \left( {Oyz} \right)$ nên $\overrightarrow {AM} .\vec i = 0 \Leftrightarrow a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1$.

Thay a = 1 vào phương trình (1):

$1 + 3b - 5c + 5 = 0 \Leftrightarrow 3b = 5c - 6$ (2)

Ta có $MA = MB \Leftrightarrow M{A^2} = M{B^2}$

${\left( {b + 2} \right)^2} + {c^2} = 16 + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}$

$\Leftrightarrow 3b + c - 7 = 0$ (2)

Từ (1) và (2) tính được $b = \frac{{29}}{{18}}$, $c = \frac{{13}}{6}$.

Vậy $T = 1 + 18\left( {\frac{{29}}{{18}}} \right) + 6\left( {\frac{{13}}{6}} \right) = 43$.

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa.

$\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 2x + 5} \right)dx} = {x^3} + {x^2} + 5x + C$.

Vậy T = a + b = 1 + 1 = 2.

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 (với ${A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0$). Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến (P) được tính bằng công thức: $d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

$d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2( - 3) + 2.1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2}} }} = 2$.

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).

$\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(x)\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^b}\\{_a}\end{array}$} \right. = F(b) - F(a).

$\int\limits_0^{12} {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = f(12) - f(0) = 2025$.

Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hoành, sau đó áp dụng công thức tính diện tích ứng dụng tích phân.

Với x = 0 thì $y = \frac{{4 - 3.0}}{{0 + 3}} = \frac{4}{3}$.

Với y = 0 thì $\frac{{4 - 3x}}{{x + 3}} = 0 \Rightarrow 4 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$.

Do đó hình phẳng $S$ được giới hạn bởi đồ thị (H), trục hoành $y = 0$, và hai đường thẳng $x = 0$, $x = \frac{4}{3}$.

Xét trên đoạn $\left[ {0;\frac{4}{3}} \right]$, thấy $y = \frac{{4 - 3x}}{{x + 3}} \ge 0$.

Vậy \(S = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{4}{3}} \frac{{4 - 3x}}{{x + 3}}\,dx = - 4 + 13\ln \left( {\frac{{13}}{9}} \right) \approx 0,78\).

Sử dụng kiến thức về hai mặt phẳng song song trong không gian tọa độ.

Vì tủ lạnh là hình hộp chữ nhật nên (P) // $(\alpha )$, suy ra $(P):2x - 2y + z + d = 0$.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $\left( P \right)$ và $\left( \alpha \right)$ bằng 2:

$d\left( {\left( P \right),\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {d - \left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 2 \Leftrightarrow \left| {d + 5} \right| = 6$.

Giải phương trình trên, ta được d = 1 hoặc d = -11.

Để mặt phẳng $\left( P \right):2x - 2y + z + d = 0$ nằm giữa $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$, giá trị hằng số tự do $d$ phải thỏa mãn -5 < d < 4.

Do đó d = 1 và T = -2 – 2.1 + 1 = -3.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy ở vị trí phù hợp, lập phương trình đường tròn, đường thẳng để ứng dụng tích phân tính diện tích.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ có gốc $O$ trùng với tâm của bồn hoa hình tròn.

Phương trình đường tròn bồn hoa là: ${x^2} + {y^2} = {6^2} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 36$.

Nửa đường tròn phía trên trục hoành có phương trình: $y = \sqrt {36 - {x^2}}$.

Đường thẳng AB có phương trình y = 2.

Diện tích trồng hoa là: ${S_{{\rm{hoa}}}} = A{B^2} = {4^2} = 16$ $\left( {{m^2}} \right)$.

Diện tích trồng cỏ là:

00 \({S_{{\rm{co}}}} = 4.{S_1} = 4\mathop \smallint \nolimits_{ - 2}^2 \left( {\sqrt {36 - {x^2}} - 2} \right)dx \approx 62,19\) $\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.
Tổng chi phí thực hiện là:

$T = {S_{{\rm{hoa}}}}.0,2 + {S_{{\rm{co}}}}.0,1 + 4.0,5 \approx 11,4$.