Đề thi giữa học kì 2 Toán 12 - Đề số 2

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Ta viết $\int {f(x)dx} = F(x) + C$.

${\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = f'(x)$ sai vì ${\left( {\int {f(x)dx} } \right)^\prime } = f(x)$.

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), hay có thể viết $\int {f(x)dx} = F(x) + C$, với mọi x thuộc K.

Áp dụng tính chất của nguyên hàm: $\int {kf(x)dx} = k\int {f(x)dx}$ $(k \in \mathbb{R}$, $k \ne 0)$.

$\int {4f\left( x \right)dx} = 4\int {f\left( x \right)dx} = 4F\left( x \right) + C$.

Áp dụng công thức $\int {dx} = \int {1dx} = x + C$ và $\int {\cos xdx} = \sin x + C$.

$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = x + \sin x + C$.

Áp dụng công thức $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$.

Từ $F(1) = 1$ tìm C.

Có C, ta tính $F(3)$.

$\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$.

$F(1) = 1 \Leftrightarrow \ln \left| 1 \right| + C = 1 \Leftrightarrow C = 1$.

$F(3) = \ln \left| 3 \right| + 1 = \ln 3 + 1$.

Định nghĩa tích phân.

$\int_{1}^{2}f(x)dx = F(2) - F(1) = 5 - 9 = - 4$.

Áp dụng tính chất của tích phân: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b], $c \in (a;b)$, k là số thực. Khi đó:

+ $\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx}$;

+ $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx}$;

+ $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} - \int\limits_a^b {g(x)dx}$;

+ $\int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx}$.

Ta có $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx}$

$= 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  - 3\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx}$

$= 2.3 - 3.\left( { - 2} \right) = 12$.

Nếu F’(x) = f(x) thì $\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(b) - F(a)$.

$I = \int\limits_3^4 {2xdx}  = 2\frac{{{x^2}}}{2}\left| {_3^4} \right. = {x^2}\left| {_3^4} \right. = {4^2} - {3^2} = 7$.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}$.

$S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - {x^2} + 3 - {x^2} + 2x + 1} \right|dx}$

$= \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - 2{x^2} + 2x + 4} \right|dx}$

$= \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx}$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Một vecto pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow n = (A;B;C)$.

Khi đó, với số thực $k \ne 0$, $k\overrightarrow n = (kA;kB;kC)$ cũng là một vecto pháp tuyến của (P).

$\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;\,\, - 3;\,\,0} \right)$ là một vecto pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$.

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = (A;B;C)$ là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$

hay $Ax + By + Cz + D = 0$ với $D = - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0}$.

Ta có phương trình mặt phẳng là:

$\left( {x - 3} \right) - \left( {y + 1} \right) + 2(z - 4) = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2z - 12 = 0$.

So sánh tỉ lệ các hệ số và áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vecto.

Ta có $\frac{2}{4} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 13}} \ne \frac{4}{{ - 6}}$ và $2.4 - 3.( - 13) + 4.( - 6) = 23$ nên (P) cắt (Q).

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

$d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1.4 + 2.( - 7) + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} }} = \frac{9}{3} = 3$.

Ứng dụng nguyên hàm, tích phân.

a) Sai. Tại thời điểm $t = 19$ giây, vận tốc của chất điểm bằng 0 m/s.

b) Đúng. Với $t \in \left[ {0;4} \right]$ ta có hàm vận tốc là ${v_1}(t) = 3t$.

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này là:

${S_1} = \int\limits_0^4 {{v_1}(t)dt} = \int\limits_0^4 {3tdt} = 24$ (m).

c) Đúng. Với $t \in \left[ {13;19} \right]$ ta có hàm vận tốc là ${v_3}(t) = a{t^2} + bt + c$.

Dựa vào đồ thị, ta có hoành độ đỉnh parabol là $\frac{{ - b}}{{2a}} = 15 \Leftrightarrow 30a + b = 0$.

Parabol đi qua các điểm $\left( {13;12} \right),(19;0)$, ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}30a+b=0\\ {13}^{2}a+13b+c=12\\ {19}^{2}a+19b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-1\\ b=30\\ c=-209\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{30a + b = 0}\\{{{13}^2}a + 13b + c = 12}\\{{{19}^2}a + 19b + c = 0}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = - 1}\\{b = 30}\\{c = - 209}\end{array}} \right.$.

Suy ra ${v_3}(t) = - {t^2} + 30t - 209$.

d) Đúng. Ta có:

${S_1} = 24$; ${S_2} = \int\limits_4^{13} {{v_2}(t)} dt = \int\limits_4^{13} {12} dt = 108$;

${S_3} = \int\limits_{13}^{19} {{v_3}(t)} dt = \int\limits_{13}^{19} { - {t^2} + 30t - 209} dt = 72$

Tổng quãng đường chất điểm đi được là $S = {S_1} + {S_2} + {S_3} = 204$ m.

a) Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$.

b) Hai mặt phẳng song song có cùng vecto pháp tuyến.

c) Lập phương trình mặt phẳng đi qua trung điểm của $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB}$ làm vecto pháp tuyến.

d) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

$d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

a) Sai. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n (2;1; - 3)$.

b) Đúng. Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $B$ và song song với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:

$2(x - 3) + (y - 2) - 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 3z - 5 = 0$.

c) Đúng. Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ đi qua trung điểm $I(2;4; - 3)$ của đoạn $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB} (2; - 4;8)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình:

$2(x - 2) - 4(y - 4) + 8(z + 3) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 4z + 18 = 0$.

d) Sai. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là: $\frac{{\left| {2.1 + 6 - 3.( - 7) - 14} \right|}}{{\sqrt {14} }} = \frac{{15}}{{\sqrt {14} }}$.

Chia tử cho mẫu để tách tích phân phức tạp thành các phân thức đơn giản, từ đó áp dụng công thức tích phân của hàm số lũy thừa.

$\int_{1}^{2} \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) dx = \int_{1}^{2} \left( x + \frac{1}{x} \right) dx$

$= \left( \frac{x^2}{2} + \ln |x| \right) \bigg|_{1}^{2} = \ln 2 + \frac{3}{2} = \ln a + \frac{b}{c}$

$\Rightarrow a = 2, b = 3, c = 2$

$\Rightarrow a + b + c = 7$.

Dựa vào các điểm thuộc đồ thị, viết phương trình $f(x)$ và $g(x)$.

Giải phương trình hoành độ giao điểm của $f(x)$ và $g(x)$ để tìm cận.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}$.

Gọi parabol $y = f(x)$ có phương trình $y = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}$ $\left( {{a_1} > 0} \right)$.

Parabol đi qua các điểm có tọa độ (-2; 0), (2; 0), (0; -1) nên ta có:

$\{\begin{array}{l}0=a_1(-2{)}^2+b_1(-2)+c_1\\ 0=a_1{2}^2+b_{1}2+c_1\\ -1=a_1{0}^2+b_{1}0+c_1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{a}_1=\frac{1}{4}\\ b_1=0\\ c_1=-1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}0 = {a_1}{( - 2)^2} + {b_1}( - 2) + {c_1}\\0 = {a_1}{2^2} + {b_1}2 + {c_1}\\ - 1 = {a_1}{0^2} + {b_1}0 + {c_1}\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = \frac{1}{4}\\{b_1} = 0\\{c_1} =  - 1\end{array} \right.$

Vậy $y = f(x) = \frac{1}{4}{x^2} - 1$.

Gọi parabol $y = g(x)$ có phương trình $y = {a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}$ $\left( {{a_1} > 0} \right)$.

Parabol đi qua các điểm có tọa độ (0; 2), (2; 1), đỉnh (0; 2) nên ta có:

$\{\begin{array}{l}2=a_2{0}^2+b_{2}0+c_2\\ 1=a_2{2}^2+b_{2}2+c_2\\ -\frac{b_2}{2a_2}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{a}_2=-\frac{1}{4}\\ b_2=0\\ c_2=2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}2 = {a_2}{0^2} + {b_2}0 + {c_2}\\1 = {a_2}{2^2} + {b_2}2 + {c_2}\\ - \frac{{{b_2}}}{{2{a_2}}} = 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}{a_2} =  - \frac{1}{4}\\{b_2} = 0\\{c_2} = 2\end{array} \right.$

Vậy $y = g(x) =  - \frac{1}{4}{x^2} + 2$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $f(x)$ và $g(x)$:

$\frac{1}{4}{x^2} - 1 =  - \frac{1}{4}{x^2} + 2$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 6$.

Diện tích logo là:

$\int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left| {\left( { - \frac{1}{4}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{4}{x^2} - 1} \right)} \right|dx}$

$= \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left[ {\left( { - \frac{1}{4}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]dx}$

$= \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left( {3 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx}$

$= \left( {3x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)\left| {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{^{\sqrt 6 }}\\{_{ - \sqrt 6 }}\end{array}$} \right.

$= 4\sqrt 6  \approx 9,8$ $\left( {d{m^2}} \right)$.

Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.

Tìm phương trình parabol giới hạn thân ấm.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.

Gắn hệ trục tọa độ như hình.

Giả sử parabol giới hạn thân ấm có phương trình $y = a{x^2} + bx + c$ $(a \ne 0)$.

Parabol đi qua các điểm có tọa độ (7;0), (4;20), (-4;20) nên ta có hệ:

$\{\begin{array}{l}0=a{.7}^2+b.7+c\\ 20=a{.4}^2+b.4+c\\ 20=a(-4{)}^2+b(-4)+c\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{20}{30}\\ b=0\\ c=\frac{980}{33}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.7^2} + b.7 + c\\20 = a{.4^2} + b.4 + c\\20 = a{( - 4)^2} + b( - 4) + c\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{20}}{{30}}\\b = 0\\c = \frac{{980}}{{33}}\end{array} \right.$

$\Rightarrow (P):y = - \frac{{20}}{{30}}{x^2} + \frac{{980}}{{33}} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{980 - 33y}}{{20}}$.

Ta có $V = \pi \int\limits_0^{20} {\frac{{980 - 33y}}{{20}}dy} = 650\pi$ $\left( {c{m^3}} \right)$.

Vậy thể tích thân ấm là $\frac{{650\pi }}{{1000}} \approx 2,04$ (lít).

Tìm tọa độ của Minh và vị trí bóng rơi M.

Lập phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua gốc tọa độ, nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow k } \right]$ làm vecto pháp tuyến.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ Minh đến $\left( \alpha \right)$.

Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi M là điểm mà quả bóng chạm đất.

Khi đó ${x_M} = 0,5$, ${y_M} = \sqrt {4,{5^2} - 0,{5^2}}  = 2\sqrt 5$.

Ta có $\overrightarrow {OM}  = (0,5;2\sqrt 5 ;0)$ và vecto pháp tuyến của (Oxy) là $\overrightarrow k  = (0;0;1)$.

Vì O, M thuộc $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \alpha  \right) \bot (Oxy)$ nên giả sử vecto pháp tuyến của $\left( \alpha  \right)$ là $\overrightarrow n$, ta có: $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}\mathrm{\perp }\overrightarrow{OM}\\ \overrightarrow{n}\mathrm{\perp }\overrightarrow{k}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n  \bot \overrightarrow {OM} \\\overrightarrow n  \bot \overrightarrow k \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow k } \right] = \left( { - 2\sqrt 5 ;0,5;0} \right)$

$=  - \frac{1}{2}\left( {4\sqrt 5 ; - 1;0} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là:

$4\sqrt 5 \left( {x - 0} \right) - \left( {y - 0} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 4\sqrt 5 x - y = 0$.

Vị trí bạn Minh có tọa độ là $\left( {0;2\sqrt 5 ;0} \right)$.

Khoảng cách từ bạn Minh đến mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là:

$\frac{{\left| {4\sqrt 5 .0 - 1.2\sqrt 5  + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{9} \approx 0,5$ (m).

Sử dụng các công thức:

• $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

• $\int {{x^\alpha }dx}  = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C$.

• $\int {\frac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C$.

$f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right) = \int\limits_1^4 {f'\left( x \right)dx}  = \int\limits_1^4 {\frac{{\sqrt x  - 1}}{x}dx}$

$= \int\limits_1^4 {\left( {{x^{ - \frac{1}{2}}} - \frac{1}{x}} \right)dx}  = \left. {\left( {2{x^{\frac{1}{2}}} - \ln {\rm{x}}} \right)} \right|_1^4$

$= \left( {{{2.4}^{\frac{1}{2}}} - \ln 4} \right) - \left( {{{2.1}^{\frac{1}{2}}} - \ln 1} \right) = 2 - 2\ln 2$.

Tìm hàm số lượng cá thể $P(t)$:

- Biết $P'(t) = 8t + 30$ là đạo hàm của hàm số lượng cá thể $P(t)$, ta tìm $P(t)$ bằng cách lấy tích phân của $P'(t)$ và thêm hằng số tích phân $C$.

- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$.

Tính số lượng cá thể tại $t = 3$:

- Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$ đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.

Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là $P'(t) = 8t + 30$. Tích phân của $P'(t)$ là:

$P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C$

với $C$ là hằng số tích phân.

Theo đề bài, tại thời điểm $t = 0$, số lượng cá thể là 100:

$P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100$

Do đó, $C = 100$. Vậy hàm số lượng cá thể là:

$P(t) = 4{t^2} + 30t + 100$

Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$:

$P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226$

Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

b) Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ đi qua A và có cùng vectơ pháp tuyến với $\left( \alpha \right)$.

a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là:

$d\left( {A,\alpha } \right) = \frac{{\left| {2 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 3 + 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{7}{3}$.

b) Ta có $\left( \beta  \right)$ song song với $\left( \alpha  \right)$ nên $\left( \beta  \right)$ có cùng vectơ pháp tuyến với $\left( \alpha  \right)$.

Suy ra vectơ pháp tuyến của $\left( \beta  \right)$ là $\overrightarrow n  = \left( {1; - 2; - 2} \right)$.

Phương trình mặt phẳng của $\left( \beta  \right)$ là:

$1\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 3} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x - 2y - 2z + 2 = 0$.