Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 9

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K.

- Nếu f’(x) dương thì hàm số y = f(x) đồng biến trên K.

- Nếu f’(x) âm thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K.

Ta có với $y = {x^3} + 3x$ thì $y' = 3{x^2} + 3 > 0$, $\forall x$.

Cho đồ thị hàm số y = f(x).

Tại điểm mà đồ thị đổi hướng:

- Lên $\to$ xuống (trái sang phải): cực đại.

- Xuống $\to$ lên (trái sang phải): cực tiểu.

Dựa vào đồ thị, ta thấy điểm M(-3; -3) là điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho.

Tính đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số, từ đó tìm GTLN và GTNN trên [0; 2].

$y' = \frac{3}{{{{(2x + 1)}^2}}} > 0$ $\forall x \ne  - \frac{1}{2}$.

Hàm số đồng biến trên [0;2], do đó hàm đạt GTNN tại x = 0, đạt GTLN tại x = 2.

$M = f(0) =  - 1$; $m = f(2) = \frac{1}{5}$.

Vậy $M + m =  - 1 + \frac{1}{5} =  - \frac{4}{5}$.

Cho hàm số $y = f(x)$.

Đường thẳng $y = y_{0}$ là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong những điều kiện sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}y = y_{0}$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}y = y_{0}$.

Đường thằng $x = x_{0}$ là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} +}y = - \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = + \infty$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0} -}y = - \infty$.

Đồ thị hàm số có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 2$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - 3$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }}  =  - \infty$

nên có 1 đường tiệm cận đứng là x = 1 và hai đường tiệm cận ngang là y = -3; y = 2.

Xét từng đáp án, sử dụng phương pháp loại trừ.

Áp dụng các quy tắc vecto: quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, khái niệm vecto bằng nhau, độ dài vecto.

Đáp án A đúng theo quy tắc hình hộp.

Đáp án B đúng theo quy tắc hình bình hành.

Đáp án C đúng vì $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = CD = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|$.

Đáp án D sai vì $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {CD}$ là hai vecto ngược hướng nên chúng không bằng nhau.

Sử dụng tính chất trung điểm.

C sai vì $\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB}$ do hai vecto này ngược hướng.

Với hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$, ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$.

$\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - \frac{1}{2};\frac{8}{3} + \frac{1}{3};\frac{3}{2} - 5} \right) = \left( {\frac{1}{2};3; - \frac{7}{2}} \right)$.

$\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}$.

$\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{10.10 + 10.( - 20) + 20.10}}{{\sqrt {{{10}^2} + {{10}^2} + {{20}^2}} .\sqrt {{{10}^2} + {{( - 20)}^2} + {{10}^2}} }} = \frac{1}{6}$.

Áp dụng quy tắc ba điểm tính $\overrightarrow {AC}$, quy tắc trung điểm tính $\overrightarrow {AM}$. Từ đó, tìm độ dài AM.

$\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = (4 + 2; - 1 - 4; - 5 - 2) = (6; - 5; - 7)$; $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {4 + 6; - 1 - 5; - 5 - 7} \right) = \left( {5; - 3; - 6} \right)$.

Suy ra $AM = \sqrt {{5^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {70}$.

Với G là trọng tâm tam giác ABC, ta có $\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.$.

$\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{1+2+3}{3}=2\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{3+(-1)+1}{2}=1\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{4+0+2}{3}=2\end{array}\Rightarrow G(2;1;2)$$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{3 + ( - 1) + 1}}{2} = 1\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{4 + 0 + 2}}{3} = 2\end{array} \right.$ \Rightarrow G(2;1;2).

Để tính khoảng biến thiên, ta lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên (nhóm chứa mẫu số liệu).

Khoảng biến thiên: R = 30 - 10 = 20.

Phương sai bằng bình phương độ lệch chuẩn.

Phương sai của mẫu số liệu trên là $6^2 = 36$.

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

a) Sai. Tọa độ điểm $B\left( {900;0;450} \right)$ nên mệnh đề sai.

b) Đúng. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, do hình chóp $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng nhau và $ABCD$ là hình chữ nhật nên $SI \bot (ABCD)$. Do đó $\left( {SA,(ABCD)} \right) = \left( {SA,IA} \right) = \widehat {SAI} = \widehat {SAC}$.

Vậy mệnh đề đúng.

c) Sai. Ta có $IA = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 750\;cm$ và $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha  \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{5}{{\sqrt {26} }}$

Do đó $SA = \frac{{IA}}{{\cos \alpha }} = 150\sqrt {26} \;cm$.

Vậy mệnh đề sai.

d) Sai. Ta có $A\left( {0;0;450} \right),\;C\left( {900;1200;450} \right) \Rightarrow I\left( {450;600;450} \right)$.

Mà $SI = IA\tan \alpha  = 150$ nên $S\left( {450;600;600} \right)$.

Vậy $P = 450 + 600 + 600 = 1650$ nên mệnh đề sai.

Lập bảng tần số ghép nhóm, áp dụng công thức tính khoảng tứ phân vị, số trung bình và độ lệch chuẩn.

a) Đúng. Bảng tần số ghép nhóm thoả mãn yêu cầu:

Vậy có 5 nhóm, mỗi nhóm có độ dài bằng 2.

b) Sai. Gọi ${x_1},{x_2},...,{x_{{x_{28}}}}$ lần lượt là số quả bóng được ném vào rổ của các vận động viên sắp xếp theo thứ tự
không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_7} + {x_8}} \right) \in \left[ {3;5} \right)$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu
ghép nhóm là ${Q_1} = 3 + \frac{{\frac{{28}}{4} - 5}}{7}\left( {5 - 3} \right) = \frac{{25}}{7}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{21}} + {x_{22}}} \right) \in \left[ {7;9} \right)$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là ${Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{3.28}}{4} - 15}}{8}\left( {9 - 7} \right) = \frac{{17}}{2}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{17}}{2} - \frac{{25}}{7} \approx 4,93$.

c) Đúng. Ta có bảng thống kê theo giá trị đại diện:

Cỡ mẫu: n = 28.

Số trung bình của mẫu số liệu: $\overline x = \frac{1}{{28}}\left( {5.2 + 7.4 + 3.6 + 8.8 + 5.10} \right) = \frac{{85}}{{14}}$.

d) Sai. Phương sai của mẫu số liệu:

${S^2} = \frac{1}{{28}}\left( {{{5.2}^2} + {{7.4}^2} + {{3.6}^2} + {{8.8}^2} + {{5.10}^2}} \right) - {\left( {\frac{{85}}{{14}}} \right)^2} = \frac{{1539}}{{196}}$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: $S = \sqrt {\frac{{1539}}{{196}}} \approx 2,802$.

Xét hàm  $f(x) = TR - TC$: Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên để tìm cực đại của hàm số.

$f(x) = TR - TC = -2x^2 + 1312x - \left( x^3 - 77x^2 + 1000x + 4000 \right)$

$= -x^3 + 75x^2 + 312x - 4000$.

TXĐ: $D = (0; +\infty)$.

Ta có 

$f'(x) = - 3{x^2} + 150x + 312 = 0 \Leftrightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 52}\\{x = - 2}\end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}\\{}\end{array}} \right.$begin{array}{cccccccccccccccccccc}{(L)}\\{(TM)}\end{array}

Bảng biến thiên:

Vậy lợi nhuận của công ty đạt cực đại khi số sản phẩm bằng 52.

Lập bảng biến thiên của hàm số P(t) và tìm thời điểm mà qua đó P’(t) mang dấu âm.

Xét hàm số $P(t) = \frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 4}}$ với $t \ge 0$.

Ta có $P'(t) = \frac{{{t^2} + t + 4 - (t + 1)(2t + 1)}}{{{{({t^2} + t + 4)}^2}}} = \frac{{ - {t^2} - 2t + 3}}{{{{({t^2} + t + 4)}^2}}}$.

$P'(t) = 0 \Leftrightarrow - {t^2} - 2t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}t = 1\,\,(TM)\\t = - 3\,\,(L)\end{array}$ \right.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy sau 1 giờ thì số lượng vi khuẩn X bắt đầu giảm.

Hai vecto bằng nhau: Nếu cho $\overrightarrow a = (x;y)$ và $\overrightarrow b = (x';y')$ thì $\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = x'}\\{y = y'}\end{array}} \right.$.

$\overrightarrow a = \overrightarrow b \Rightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3m + 2 = - 4}\\{2 = 2}\\{6 - n = 5}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{m = - 2}\\{n = 1}\end{array}} \right.$ \Rightarrow 6m + 2n = 6.( - 2) + 2.1 = - 10.

Tìm tọa độ hai máy bay sau t giờ sau đó lập phương trình khoảng cách tối thiểu.

Đặt $A'\left( {3a;4a + 35;10} \right)$ là điểm di chuyển của máy bay thứ nhất.

Gọi t (giờ) là thời điểm mà hai máy bay bay sau t giờ vi phạm khoảng cách an toàn.

Ta có khoảng cách so với điểm ban đầu là:

$A'A = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}}  = 900t$

$\Leftrightarrow a = 180t$.

$\Rightarrow A'\left( {540t;35 + 720t;10} \right)$.

Tương tự ta đặt điểm $B'\left( {5b + 31;12b + 10;11} \right)$ là điểm di chuyển của máy bay thứ hai.

Khi đó $\sqrt {{{\left( {5b} \right)}^2} + {{\left( {12b} \right)}^2}}  = 910t \Rightarrow b = 70t$ suy ra $B\left( {31 + 350t;10 + 840t;11} \right)$.

Vì khoảng cách tối thiếu để hai máy bay an toàn là 9,3 km và hai máy bay vi phạm khoảng cách an toàn nên:

$A'B' \le 9,3$

$\Leftrightarrow {\left( {31 - 190t} \right)^2} + {\left( { - 25 + 120t} \right)^2} + {\left( 1 \right)^2} \le 9,{3^2}$

$\Leftrightarrow 0,1403 \le t \le 0,21177$ (giờ).

Vậy sau ít nhất 0,1403 giờ hay 8,42 phút thì vi phạm khoảng cách an toàn.

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Xét sự biến thiên của hàm số.

- Vẽ đồ thị hàm số.

1) TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\}$.

2) Sự biến thiên:

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty$. Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - 1$. Do đó, đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đạo hàm: $y' = \frac{{ - 1}}{{{{( - x + 2)}^2}}} > 0$, với mọi $x \ne 2$.

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$, $\left( {2; + \infty } \right)$.

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left( {0; - \frac{3}{2}} \right)$.

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (3;0).

- Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( {0; - \frac{3}{2}} \right)$, (-3;0), (1;-2) và $\left( {\frac{5}{2};1} \right)$.

- Đồ thị hàm số nhận giao điểm (2;-1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị $y = \frac{{x - 3}}{{ - x + 2}}$ như hình:

$H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$ thì ta tìm điểm $H$ sao cho $\{\begin{array}{l}AH\mathrm{\perp }BC\\ H\in BC\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\H \in BC\end{array} \right.$.

Giả sử $H\left( {x;y;z} \right)$. Ta có

$\overrightarrow {AH}  = \left( {x;y;z - 1} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3; - 1} \right)$

Vì $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$ nên $AH \bot BC$

$\Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Rightarrow x.3 + y.3 + \left( {z - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{x}} + 3y - z =  - 1\left( 1 \right)$

$\overrightarrow {BH}  = \left( {x + 1;y + 2;z} \right)$

Vì $H \in BC$ nên hai vectơ $\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {BC}$ cùng phương.

$\Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{{ - 1}} \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{3}\\\frac{{x + 1}}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\end{array} \right.$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = y + 2\\ - \left( {x + 1} \right) = 3{\rm{z}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\left( 2 \right)\\x + 3{\rm{z}} =  - 1\left( 3 \right)\end{array} \right.

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình sau:

$\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+3y-z=-1\\ x-y=1\\ x+3\mathrm{z}=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{5}{19}\\ y=-\frac{14}{19}\\ z=-\frac{8}{19}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}3{\rm{x}} + 3y - z =  - 1\\x - y = 1\\x + 3{\rm{z}} =  - 1\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{{19}}\\y =  - \frac{{14}}{{19}}\\z =  - \frac{8}{{19}}\end{array} \right.$

Vậy $H\left( {\frac{5}{{19}}; - \frac{{14}}{{19}}; - \frac{8}{{19}}} \right)$.

Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là ${s^2}$, là một số được tính theo công thức sau: ${s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + ... + {m_k}x_k^2} \right) - {\left( {\overline x } \right)^2}$, trong đó $n = {m_1} + ... + {m_k}$ với $\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s = \sqrt {{s^2}}$

Sử dụng kiến thức về ý nghĩa của độ lệch chuẩn để nhận xét: Độ lệch chuẩn dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Ta có bảng số liệu với giá trị đại diện:

Phân xưởng 1: Tổng số linh kiện: $4 + 9 + 13 + 8 + 6 = 40$

Giá trị trung bình $\overline {{x_1}}  = \frac{{1,75.4 + 2,25.9 + 2,75.13 + 3,25.8 + 3,75.6}}{{4 + 9 + 13 + 8 + 6}} = \frac{{223}}{{80}}$

Phương sai: $s_1^2 = \frac{1}{{40}}\left( {1,{{75}^2}.4 + 2,{{25}^2}.9 + 2,{{75}^2}.13 + 3,{{25}^2}.8 + 3,{{75}^2}.6} \right) - {\left( {\frac{{223}}{{80}}} \right)^2} = \frac{{2271}}{{6400}}$

Độ lệch chuẩn: ${s_1} = \sqrt {\frac{{2271}}{{6400}}}  \approx 0,6$

Phân xưởng 2: Tổng số linh kiện: $2 + 8 + 20 + 7 + 3 = 40$

Giá trị trung bình $\overline {{x_2}}  = \frac{{1,75.2 + 2,25.8 + 2,75.20 + 3,25.7 + 3,75.3}}{{2 + 8 + 20 + 7 + 3}} = \frac{{221}}{{80}}$

Phương sai: $s_2^2 = \frac{1}{{40}}\left( {1,{{75}^2}.2 + 2,{{25}^2}.8 + 2,{{75}^2}.20 + 3,{{25}^2}.7 + 3,{{75}^2}.3} \right) - {\left( {\frac{{221}}{{80}}} \right)^2} = \frac{{1399}}{{6400}}$

Độ lệch chuẩn: ${s_2} = \sqrt {\frac{{1399}}{{6400}}}  \approx 0,47$

Vì $0,6 > 0,47$ nên độ phân tán của phân xưởng 1 lớn hơn độ phân tán của phân xưởng 2.