Đề giữa học kỳ 1 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường THPT Lê Quý Đôn – Ninh Bình

Cho hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in [a;b]$ sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$. Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\max }\limits_{[a;b]} f(x)$, giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\min }\limits_{[a;b]} f(x)$.

$y' = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}} < 0$, $\forall x \ne 0$. Hàm số nghịch biến trên [1; 2].

Do đó M = f(1) = 2; $m = f(2) = \frac{3}{2}$. Vậy $M + m = \frac{7}{2}$.

Hàm số đồng biến trên khoảng đồ thị đi lên theo chiều dương của trục Ox.

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0).

Áp dụng quy tắc hình hộp.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$.

Đưa về tính góc giữa hai vecto chung gốc.

$\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {GE} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = {45^o}$.

Số điểm cực trị của hàm số trên là số điểm mà qua đó f’(x) đổi dấu.

Hàm số có 3 điểm cực trị là x = -1, x = 0, x = 1.

Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ là $y = \frac{a}{c}$, $x = - \frac{d}{c}$.

Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x}}{{1 - x}}$ là x = 1, y = -2.

Hàm số đồng biến trên khoảng y’ > 0.

Hàm số đồng biến trên (-1; 1).

Áp dụng tính chất trọng tâm của vecto.

$\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} } \right)$

$= \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'C'} } \right)$

$= \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C'} } \right)$

$= \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C'} } \right)$

$= \overrightarrow a + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$.

Sử dụng định lí Viete để xét dấu.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$ nên a > 0.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d > 0. Loại đáp án A.

Giả sử ${x_1}$, ${x_2}$ là cực trị của hàm số.

Theo đồ thị ${x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} < 0 \Rightarrow c < 0$; ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow b < 0$. Loại đáp án B, C.

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vecto.

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên $SO \bot (ABCD)$.

$AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

$\cos \widehat {SAC} = \frac{{AO}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

$\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC}$

$= AS.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC} } \right)$

$= a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}$.

Dựa vào dạng đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị với trục tung.

Hình vẽ có dạng đồ thị của hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ $(c \ne 0)$.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên hàm số cần tìm là $y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$.

Đường thẳng $x = {x_0}$ gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = + \infty$; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) =  -

Đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = {y_0}$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -2, x = 0, tiệm cận ngang là y = 0.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

a) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ; - 2)$.

b) Sai. Hàm số y = f(x) có 1 điểm cực trị x = 1.

c) Đúng. Đồ thị hàm số f’(x) đi qua các điểm (-3; -4), (-2; 0), (0; -4) và (1; 0), do đó ta có hệ:

$\{\begin{array}{l}-4=a(-3{)}^3+b(-3{)}^2+c(-3)+d\\ 0=a(-2{)}^3+b(-2{)}^2+c(-2)+d\\ -4=a{.0}^3+b{.0}^2+c.0+d\\ 0=a{.1}^3+b{.1}^2+c.1+d\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\\ c=0\\ d=-4\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} - 4 = a{( - 3)^3} + b{( - 3)^2} + c( - 3) + d\\0 = a{( - 2)^3} + b{( - 2)^2} + c( - 2) + d\\ - 4 = a{.0^3} + b{.0^2} + c.0 + d\\0 = a{.1^3} + b{.1^2} + c.1 + d\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = 0\\d = - 4\end{array} \right.$.

Do đó $f'(x) = {x^3} + 3{x^2} - 4$ và $f'(2) = 16$.

d) Đúng. $g'(x) = f'(x) - x + 1$

$= ({x^3} + 3{x^2} - 4) - x + 1 = {x^3} + 3{x^2} - x - 3$.

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\\x = 1\end{array}$ \right..

Trên khoảng $( - \infty ; - 3)$, ta có g’(x) < 0; mà $\left( { - \frac{9}{2}; - \frac{7}{2}} \right) \subset ( - \infty ; - 3)$. Do đó hàm số $g(x) = f(x) - \frac{1}{2}{x^2} + x + 2025$ nghịch biến trên $\left( { - \frac{9}{2}; - \frac{7}{2}} \right)$.

Quan sát đồ thị.

a) Sai. Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [−2; 4] là f(-2) = 7.

b) Sai. Theo đồ thị, ta có f(3) = 2, f(0) < 0. Do đó f(3) > f(0).

c) Đúng. Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [−2; 3] là f(1) = -2.

d) Đúng. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [−2; 4] là f(4) = -4.

Do đó, ta có M = 7, m = -4.

Vậy P = 3.7 – 2.(-4) = 29.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

a) Đúng. $f(x) = \frac{{{x^2} - 2x + 6}}{{x + 1}} = x - 3 + \frac{9}{{x + 1}}$ $(D = \mathbb{R}\backslash \{ - 1\} )$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) - (x - 3)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{9}{{x + 1}} = 0$ nên tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng y = x – 3.

b) Sai. Hàm số $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}$ $(a,m \ne 0)$.

c) Sai. Hàm số không liên tục trên (-4; 2) nên không nghịch biến trên (-4; 2).

d) Đúng. $f'(x) = \frac{{({x^2} - 2x + 6)'(x + 1) - ({x^2} - 2x + 6)(x + 1)'}}{{{{(x + 1)}^2}}}$

$= \frac{{(2x - 2)(x + 1) - ({x^2} - 2x + 6)}}{{{{(x + 1)}^2}}}$

$= \frac{{(2{x^2} - 2) - ({x^2} - 2x + 6)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{(x + 1)}^2}}}$.

Áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc trung điểm.

a) Sai. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MB}$, $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MC}$.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = (\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NB} ) + (\overrightarrow {DM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} )$

$= 2\overrightarrow {MN} + (\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {DM} ) + (\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} )$

$= 2\overrightarrow {MN} + \vec 0 + \vec 0 = 2\overrightarrow {MN}$.

b) Đúng. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} ) + (\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} )$

$= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + (\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} )$

$= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \vec 0 = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB}$.

c) Đúng. Xét đẳng thức $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB}$ (luôn đúng).

d) Đúng. $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = (\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {ID} ) + (\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} )$

$= 2\overrightarrow {IM} + 2\overrightarrow {IN} = 2(\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} ) = \overrightarrow 0$.

Biến đổi biểu thức về phép toán giữa các vecto chung gốc S.

Tam giác SAB có $SA = SB = AB = a \Rightarrow \Delta SAB$ đều $\Rightarrow \widehat {ASB} = {60^o}$.

Tam giác SAC có $SA = SC = AC = a \Rightarrow \Delta SAC$ đều $\Rightarrow \widehat {ASC} = {60^o}$.

Tam giác SBC có:

Xét $S{B^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = B{C^2}$.

$\Rightarrow \Delta SBC$ vuông cân tại $S \Rightarrow \widehat {BSC} = {90^o}$.

$\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {SC} .(\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SA} )$ $= \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SA}$

$= SC.SB.\cos \widehat {BSC} - SC.SA.\cos \widehat {ASC}$

$= a.a.\cos {90^o} - a.a.\cos {60^o} = 0 - \frac{{{a^2}}}{2} = - \frac{{{a^2}}}{2}$.

$\cos (\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} ) = \frac{{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{a . a}} = - \frac{1}{2}$.

Vậy $(\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} ) = {120^o}$.

Tìm v(t) = h’(t) và tìm khoảng sao cho v’(t) < 0.

$v(t) = h'(t) = ( - 0,02{t^3} + 2{t^2} - 40t + 250)'$

$= - 0,06{t^2} + 4t - 40$.

$v'(t) = - 0,12t + 4 < 0 \Leftrightarrow t > \frac{{100}}{3}$.

Kết hợp với điều kiện $0 \le t \le 60$, khoảng thời gian mà vận tốc v(t) giảm là: $t \in \left( {\frac{{100}}{3};60} \right)$.

Vậy $a = \frac{{100}}{3} \approx 33,3$.

Lập hàm lợi nhuận L(x). Tìm x theo T để L(x) cực đại bằng đạo hàm. Từ đó, tìm T để tổng thuế f(T) đại cực đại.

Doanh thu từ x bộ sách:

$R(x) = x.p(x) = x(200 - 3x)$

$= 200x - 3{x^2}$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận của công ty:

$L(x) = R(x) - C(x)$

$= (200x - 3{x^2}) - \left[ {75 + (80 + T)x - {x^2}} \right]$

$= - 2{x^2} + (120 - T)x - 75$ (nghìn đồng).

$L'(x) = - 4x + (120 - T) = 0$

$- 4x + 120 - T = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{120 - T}}{4}$.

Vì hệ số cao nhất của L(x) là -2 < 0, do đó $x = \frac{{120 - T}}{4}$ là hoành độ đỉnh của parabol đồ thị của L(x).

Tổng mức thuế công ty phải chi trả là:

$f(T) = Tx = T\left( {\frac{{120 - T}}{4}} \right) = \frac{1}{4}(120T - {T^2})$ (nghìn đồng).

$f'(T) = \frac{1}{4}(120 - 2T) = 0 \Leftrightarrow T = 60$.

Vì hệ số cao nhất của f(T) là $- \frac{1}{4} < 0$, do đó T = 60 là hoành độ đỉnh của parabol đồ thị của f(T).

Khi đó, $x = \frac{{120 - 60}}{4} = 15$ (thỏa mãn $0 \le x \le 40$).

Vậy mức thuế của mỗi bộ sách mà công ty phải trả là 60 nghìn đồng.

Ứng dụng đạo hàm, tìm t sao cho hàm C(t) đạt GTLN.

$C'(t) = \frac{{(3t)'(27 + {t^3}) - (3t)(27 + {t^3})'}}{{{{(27 + {t^3})}^2}}} = \frac{{81 - 6{t^3}}}{{{{(27 + {t^3})}^2}}}$.

$C'(t) = 0 \Leftrightarrow 81 - 6{t^3} = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{{\frac{{27}}{2}}} = \frac{3}{{\sqrt[3]{2}}}$.

Lập bảng biến thiên, ta được C(t) đạt GTLN tại $t = \frac{3}{{\sqrt[3]{2}}} \approx 2,38$.

Vậy, sau 2,38 giờ thì nồng độ của hoá chất trong máu đạt giá trị lớn nhất.

Sử dụng tính chất của hình chóp, tính chất trung điểm của vecto để tìm vecto hợp lực. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán.

Trọng lượng của chiếc xe ô tô là:

${P_{{\rm{xe}}}} = m.g = 1051.10 = 10510$ (N).

Tổng trọng lượng của cả khung sắt và xe ô tô:

$P = {P_{{\rm{xe}}}} + {P_{{\rm{khung}}}} = 10510 + 2490 = 13000$ (N).

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình chữ nhật ABCD.

Do bốn dây cáp EA, EB, EC, ED bằng nhau nên hình chiếu thẳng đứng của E lên mặt phẳng (ABCD) chính là điểm O. Các vectơ lực căng ${\overrightarrow F_1},{\overrightarrow F_2},{\overrightarrow F_3},{\overrightarrow F_4}$ tác dụng tại E (hướng từ E về A, B, C, D).

Góc giữa dây cáp EA và mặt phẳng (ABCD) là $\widehat {EAO} = {45^ \circ }$.

Ta có: $\overrightarrow P = {\overrightarrow F_1} + {\overrightarrow F_2} + {\overrightarrow F_3} + {\overrightarrow F_4}$.

$P = 4.\left| {{{\overrightarrow F}_1}} \right|.\sin {45^o}$

$\Rightarrow \left| {{{\overrightarrow F}_1}} \right| = \frac{P}{{4.2\sqrt 2 }} = 3250\sqrt 2 \approx 4596$ (N).

Gọi x là số lượng sản phẩm đồ chơi A được sản xuất. Lập hàm chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm đồ chơi A. Tìm giới hạn của hàm số đó khi x tiến đến dương vô cực.

Đổi: 70 triệu đồng = 70 000 nghìn đồng; 50 000 đồng = 50 nghìn đồng.

Gọi x (x > 0, $x \in {\mathbb{N}^*}$) là số lượng sản phẩm đồ chơi A được sản xuất.

Tổng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm là:

C(x) = 70 000 + 50x (nghìn đồng).

Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm đồ chơi A là:

$\bar C(x) = \frac{{C(x)}}{x} = \frac{{70{\rm{ }}000 + 50x}}{x} = \frac{{70{\rm{ }}000}}{x} + 50$ (nghìn đồng).

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \bar C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{70{\rm{ }}000}}{x} + 50} \right) = 0 + 50 = 50$.

Vì x > 0 nên $\bar C(x) = \frac{{70{\rm{ }}000}}{x} + 50 > 50$, $\forall x > 0$.

Vậy khi số lượng đồ chơi A mà công ty sản xuất ra càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một đồ chơi A không dưới 50 nghìn đồng.