Đề giữa kỳ 1 Toán 12 năm 2025 – 2026 trường THPT Tôn Thất Tùng – Đà Nẵng

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ $\left( {c \ne 0} \right)$ có tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$ và tiệm cận đứng là $x = - \frac{d}{c}$.

Dựa vào bảng biến thiên, thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} = 1 \Rightarrow ab > 0$; tiệm cận đứng là $x = - \frac{c}{b} = 1 \Rightarrow bc < 0$. Do đó ac < 0.

Đồ thị đồng biến trên khoảng xác định nên:

$y' = \frac{{ac + 4b}}{{{{(bx + c)}^2}}} > 0$

$\Rightarrow ac - ( - 4b) = ac + 4b > 0$

$\Rightarrow b > - \frac{{ac}}{4} > 0$.

Vậy a > 0, b > 0 và c < 0.

Hàm số đồng biến trên khoảng đạo hàm mang dấu dương.

Hàm số trên đồng biên trên khoảng (0; 2).

Cho hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in [a;b]$ sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$. Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\max }\limits_{[a;b]} f(x)$, giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là $\mathop {\min }\limits_{[a;b]} f(x)$.

Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN, GTNN trên khoảng chứa $\pm \infty$, ta cầm tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x)$ và so sánh.

$y' = 3{x^2} + 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array}$ \right..

Xét trên đoạn [0; 4]:

y(0) = 1; y(1) = -4; y(4) = 77.

Vậy M = 77; m = -4.

Số điểm cực trị của hàm số trên là số nghiệm bội lẻ của phương trình f’(x) = 0.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3, tương ứng với x = 0, x =1, x = -2.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3.

$y = 2x + 1 + \frac{2}{x - 1}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - (2x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{2}{{x - 1}} = 0$ nên tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng y = 2x + 1.

Quan sát hình dạng của đồ thị hàm số và xét các điểm đồ thị đi qua để tìm công thức.

Đồ thị có dạng của đồ thị hàm số bậc ba.

Quan sát đồ thị, thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$ nên hệ số của ${x^3}$ lớn hơn 0. Loại đáp án D.

Đồ thị đi qua điểm có tọa độ (2; 1) nên y(2) = 1. Loại đáp án B, C.

Vậy đường cong trong hình vẽ là của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 5$.

Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x):

- Tìm tập xác định.

- Tính đạo hàm f’(x) và tìm nghiệm của phương trình f’(x) = 0 hoặc tại đó f’(x) không xác định.

- Tính các giới hạn (nếu có).

Bước 2: Quan sát bảng biến thiên và kết luận:

Cách 1: Quan sát hướng đồ thị. Qua điểm x thuộc tập xác định mà đồ thị đổi hướng:

- Lên $\to$ xuống (trái sang phải): cực đại.

- Xuống $\to$ lên (trái sang phải): cực tiểu.

Cách 2: Quan sát dấu của f’(x). Qua điểm x thuộc tập xác định mà f’(x) đổi dấu:

- Dương (+) $\to$ âm (-): cực đại.

- Âm (-) $\to$ dương (+): cực tiểu.

$y' = {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array}$ \right..

Hàm số là hàm bậc ba có hệ số của ${x^3}$ lớn hơn 0, do đó điểm cực tiểu của hàm số là x = 3. Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (3; 1).

Tính v(2) = h’(2).

$v(t) = h'(t) = 18{x^2} - 162t + 324$.

Vậy v(2) = 72.

Hàm số nghịch biến trên khoảng đồ thị đi từ trên xuống theo chiều dương của trục Ox.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Quan sát đồ thị.

GTNN của hàm số trên [-2; 2] là -4.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ $\left( {c \ne 0} \right)$ có tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$ và tiệm cận đứng là $x = - \frac{d}{c}$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 và tiệm cận đứng x = -1.

Vậy đồ thị là của hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ $\left( {c \ne 0} \right)$ có tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$ và tiệm cận đứng là $x = - \frac{d}{c}$.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{1 - 2x}}{{x - 2}}$ là đường thẳng có phương trình y = -2.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

a) Đúng. $y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = 2x - 1 + \frac{1}{{x - 1}}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [y - (2x - 1)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0$ nên tiệm cận xiên là y = 2x – 1.

b) Đúng. $y' = 2 - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 1 \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

c) Sai. Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1.

d) Đúng. Giao điểm của tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận xiên y = 2x – 1 là I(1; 1), cũng là tâm đối xứng của đồ thị (C).

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

a) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } ({x^3} + 3x - 2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {1 + \frac{3}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = - \infty$.

b) Sai. $${x^3} - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[$$$\begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array}$ \right..

c) Đúng. $y' = ({x^3} - 3x - 2)' = 3{x^2} - 3$.

d) Đúng. Xét trên đoạn [0; 4]:

$y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Ta có: f(0) = -2, f(1) = -4, f(4) = 50.

Do đó $\mathop {\max }\limits_{[0;4]} f(x) = 50$, $\mathop {\min }\limits_{[0;4]} f(x) = - 4$.

Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: 50 + (-4) = 46.

Bước 1: Tìm đạo hàm cấp hai f’’(x).

Bước 2: Giải phương trình f’’(x) = 0. Giả sử nghiệm là ${x_0}$.

Bước 3: Kết luận tâm đối xứng có toạ độ $\left( {{x_0};f({x_0})} \right)$.

$y' = f'(x) = 3{x^2} - 6x$;

$y'' = f''(x) = 6x - 6$.

$y'' = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

$f(1) = {1^3} - {3.1^2} = - 2$.

Suy ra tâm đối xứng của đồ thị là I(1; -2).

Vậy $T = {1^2} + {( - 2)^2} = 5$.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\}$.

$y' = \frac{{(2x + 1)(x - 1) - ({x^2} + x - 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_1} = 0}\\{{x_2} = 2}\end{array}$} \right..

Do đó, hàm số có hai điểm cực trị là ${x_1} = 0$, ${x_2} = 2$.

Vậy ${x_1} + {x_2} = 0 + 2 = 2$.

Dựa vào các đường tiệm cận và giao của đồ thị với trục Ox.

Tiệm cận ngang là đường thẳng $y = - 1 \Rightarrow \frac{1}{b} = - 1 \Rightarrow b = - 1$.

Tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1 \Rightarrow - \frac{c}{b} = 1 \Rightarrow c = - b = 1$.

Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (2; 0), do đó a = 2.

Vậy $P = 2.2 - ( - 1) + 1 = 6$.

Tìm hàm $\bar F(x)$ và tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \bar F(x)$.

Hàm chi phí trung bình là:

$\bar F(x) = \frac{{60000 + 250x}}{x} = \frac{{60000}}{x} + 250$ $(x \ge 1,x \in {\mathbb{N}^*})$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \bar F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{60000}}{x} + 250} \right) = 250$ (nghìn đồng).

Vậy chi phí sản xuất một sản phẩm khi sản xuất tối đa là 250 nghìn đồng.

Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số.

Ta có $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\rm{\;}}\left[ {$$\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{\rm{\;}}x = 1}\\{{\rm{\;}}x = \frac{1}{3}{\rm{\;}}}\end{array}$} \right..

$f(-1) = -10; f(1) = -6; f(1/3) = -158/27$.

Vậy $\max_{[-1;1]} f(x) = -158/27$ và $\min_{[-1;1]} f(x) = -10$.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

$f'(x) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array}$ \right..

Do đó, hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(1; -1) và B(-3; -9).

Trung điểm của AB là I(-1; -5).

Dựa vào tọa độ hai điểm cực trị trên đồ thị là $A(1;4)$ và $B(2;1)$, ta lập hệ gồm 4 phương trình bằng cách thế tọa độ vào $v(t)$ và $v'(t)$. Giải hệ tìm được các hệ số.

Giả sử hàm số vận tốc có dạng:

$v(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$, $t > 0$.

Ta có: $v'(t) = 3at^2 + 2bt + c$.

Dựa vào đồ thị hàm số, tại các thời điểm $t_1$, $t_2$ đồ thị hàm vận tốc đi qua các điểm cực trị $A(1;4)$, $B(2;1)$.

Khi đó:

$\begin{cases} v(1) = 4 \\ v'(1) = 0 \\ v(2) = 1 \\ v'(2) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$\begin{cases} a + b + c + d = 4 \\ 3a + 2b + c = 0 \\ 8a + 4b + 2c + d = 1 \\ 12a + 4b + c = 0 \end{cases}$ \Leftrightarrow $\begin{cases} a = 6 \\ b = -27 \\ c = 36 \\ d = -11 \end{cases}$.

Suy ra: \(v(t) = 6t^3 - 27t^2 + 36t – 11\) (km/h).

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 (h) là:

$v(3) = 6 \cdot 3^3 - 27 \cdot 3^2 + 36 \cdot 3 - 11 = 16$ (km/h).