Đề giữa học kỳ 1 Toán 12 năm 2024 – 2025 trường THPT Lê Trọng Tấn – TP HCM

Hàm số nghịch biến trên khoảng f'(x) < 0.

Nhìn bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1;3} \right)$ là sai.

Hàm số đồng biến trên khoảng nhánh đồ thị đi lên từ trái sang.

Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;\,\,1} \right)$.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$.

Lập bảng xét dấu và nhận xét.

$f'\left( x \right) = x{\left( {1 - x} \right)^2}{\left( {3 - x} \right)^3}{\left( {x - 2} \right)^4} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 0}\\{x = 1}\\{x = 2}\\{x = 3}\end{array}$} \right..

Bảng xét dấu đạo hàm.

Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x = 0$.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ ta thấy:

$\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 1\,;\,3} \right]} \,y = 1$ tại $x = 0$, $x = 3$.

$\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ { - 1\,;\,3} \right]} \,y = - 3$ tại $x = - 1$, $x = 2$.

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1\,;\,3} \right]$ bằng $- 2$.

Lập bảng biến thiên của hàm số G(x) rồi kết luận.

$G'\left( x \right) = 1,5x - 0,075{x^2}$.

$G'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 20$.

Vậy để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì liều lượng thuốc cần tiêm vào là $x = 20\left( {mg} \right)$.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ nhận đường thẳng cx + d = 0 làm tiệm cận đứng.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{2x - 1}}$ là: $2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$.

Quan sát bảng biến thiên, kết hợp sử dụng định nghĩa đường tiệm cận để giải.

Dựa vào BBT ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0 \Rightarrow y = 0$ là đường tiệm cận ngang.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} y = - \infty \Rightarrow x = - 3$ là đường tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = - \infty \Rightarrow x = 3$ là đường tiệm cận đứng.

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là 3.

Hai vecto bằng nhau có cùng độ dài và cùng hướng.

$\overset{\rightarrow}{AC} = \overset{\rightarrow}{A_{1}C_{1}}$.

Áp dụng công thức $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Ta có $AC = a\sqrt 2$, $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {45^ \circ }$.

Suy ra $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos {45^ \circ } = {a^2}$.

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Ta có: $2\vec a = \left( {4; - 6;6} \right)$, $3\vec b = \left( {0;6; - 3} \right)$, $- 2\vec c = \left( { - 6;2; - 10} \right)$ $\Rightarrow \vec u = 2\vec a + 3\vec b - 2\vec c = \left( { - 2;2; - 7} \right)$.

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Cách 1: Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;\,\,0;\,\,0} \right)$. Gọi $C\left( {x;\,y;\,\,z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {x;\,\,y - 3;\,\,z} \right)$.

$ABCD$ là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left( {x;\,\,y;\,\,z} \right) = \left( {3;\,\,3;\,\,0} \right) \Rightarrow C\left( {3;\,\,3;\,\,0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AD} = \left( {0;\,\,3;\,\,0} \right)$. Gọi $A'\left( {x';\,\,y';\,\,z'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {A'D'} = \left( { - x';\,\,3 - y';\,\, - 3 - z'} \right)$.

$ADD'A'$ là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A'D'} \Rightarrow \left( {x';\,\,y';\,\,z'} \right) = \left( {0;\,\,0;\,\, - 3} \right) \Rightarrow A'\left( {0;\,\,0;\, - 3} \right)$.

Gọi $B'\left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = \left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0} + 3} \right)$.

$ABB'A'$ là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \Rightarrow \left( {{x_0};\,\,{y_0};\,\,{z_0}} \right) = \left( {3;\,\,0;\, - 3} \right) \Rightarrow B'\left( {3;\,\,0;\, - 3} \right)$.

$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 + 3 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{0 + 0 + 3}}{3} = 1\\{z_G} = \frac{{ - 3 - 3 + 0}}{3} = - 2\end{array} \right.$ \Rightarrow G\left( {2;\,\,1;\,\, - 2} \right).

Cách 2: Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BD'$. Ta có $I\left( {\frac{3}{2};\,\frac{3}{2};\, - \frac{3}{2}} \right)$.

Gọi $G\left( {a;\,b;\,c} \right)$ là trọng tâm tam giác $A'B'C$.

Ta có: $\overrightarrow {DI} = 3\overrightarrow {IG}$ với $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {DI} = \left( {\frac{3}{2};\, - \frac{3}{2};\, - \frac{3}{2}} \right)\\\overrightarrow {IG} = \left( {a - \frac{3}{2};\,b - \frac{3}{2};\,c + \frac{3}{2}} \right)\end{array} \right.$.

Do đó: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{2} = 3\left( {a - \frac{3}{2}} \right)\\ - \frac{3}{2} = 3\left( {b - \frac{3}{2}} \right)\\ - \frac{3}{2} = 3\left( {c + \frac{3}{2}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = - 2\end{array} \right.$.

Vậy $G\left( {2;\,1;\, - 2} \right)$.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

a) Đúng. Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( {1;3} \right)$ và $\left( {7; + \infty } \right)$.

b) Đúng. $f\left( 1 \right) < f\left( 3 \right)$.

c) Sai. Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {3;7} \right)$.

d) Đúng. $f{\rm{'}}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1,x = 3,x = 7$. Do đó:$f'\left( {3x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 1 = 1$ hoặc $3x - 1 = 3$ hoặc $3x - 1 = 7$. Suy ra $x = \frac{2}{3}$ hoặc $x = \frac{4}{3}$ hoặc $x = \frac{8}{3}$.

Tính đạo hàm và bảng biến thiên.

$f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1$.

$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}$ \right.

Lập bảng biến thiên:

a) Sai. Ta có Hàm số $f\left( x \right)$ không đồng biến trên R.

b) Đúng. Hàm số $f\left( x \right)$ có điểm cực tiểu là $x = 2$.

c) Đúng. Ta có f(1) = -1; f(2) = -3; f(3) = 1.

GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {1;\,3} \right]$ bằng 1.

d) Sai. 2 điểm cực trị có tọa độ $A\left( {0;1} \right)\,;B\left( {2; - 3} \right)$.

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là $y = - 2{\rm{x}} + 1$.

Quan sát bảng biến thiên và trả lời.

a) Đúng. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

b) Sai. Hàm số đã cho không có cực trị.

c) Sai. Trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$, ta có $1 > y$, tuy nhiên không tồn tại giá trị của $x$ để $y = 1$ nên hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất trên khoảng này.

d) Đúng. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 2$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1$ nên ta có hệ sau: $\{\begin{array}{l}-\frac{c}{b}=2\\ \frac{a}{b}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}c=-2b\\ a=b\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} - \frac{c}{b} = 2\\\frac{a}{b} = 1\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}c = - 2b\\a = b\end{array} \right.$.

Khi đó, $a + b + c = b + b + \left( { - 2b} \right) = 0$.

Sử dụng các phép toán tọa độ vecto trong không gian.

a) Đúng. Ta có: $\overrightarrow {AB} = (1;1;1)$.

b) Đúng. Gọi toạ độ của điểm $D$ là $\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)$, ta có: $\overrightarrow {DC} = \left( {5 - {x_D};6 - {y_D}; - 4 - {z_D}} \right)$. Trong hình hộp $ABCD \cdot A'B'C'D'$, ta có: $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{5 - {x_D} = 1}\\{6 - {y_D} = 1}\\{ - 4 - {z_D} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_D} = 4}\\{{y_D} = 5}\\{{z_D} = - 5}\end{array}} \right.} \right.$ .

Vậy tọa độ của điểm $D(4;5; - 5)$.

c) Sai. $\overrightarrow {AA} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow {CC} = \overrightarrow {DD}$.

d) Sai. Tương tự, từ các đẳng thức vectơ $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {DD'}$, ta suy ra được toạ độ của các điểm còn lại ${A'}(2;1;2),{B' }(3;2;3)$ và ${C' }(3;1;3)$.

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 9$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$; đạt cực tiểu tại $x = 3$.

Suy ra $a = 1,b = 3$. Vậy $A = 2{a^2} + {b^3} = 29$.

Hàm số không có cực trị khi y' = 0 vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép.

Ta có điều kiện của $\Delta$, từ đó áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai để giải.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {7m - 3} \right)$; $y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 7m - 3 = 0$.

Để hàm số đã cho không có cực trị thì $\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {7m - 3} \right) \le 0$

$\Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le 4$.

Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $S = \left\{ {1;\,2;\,3 ;4} \right\}$. Vậy tập hợp $S$ có 4 phần tử. Khi đó tổng là 10.

Áp dụng định nghĩa hai vecto bằng nhau.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right),\,\,\overrightarrow {MC} = \left( { - 2 - a;3 - b;3 - c} \right)$.

Tứ giác $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB}$ $\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} - 2 - a = 1\\3 - b = - 3\\3 - c = 4\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 6\\c = - 1\end{array} \right.$.

Suy ra $P = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {6^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {46} \approx 6,78$.

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên.

Ta có ${C^\prime }(t) = \frac{{0,15\left( {1 - {t^2}} \right)}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}},t \ge 0$.

Bảng biến thiên của hàm số $C(t)$ trên $(0; + \infty )$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất bằng $0,08mg/c{m^3}$.

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.

Ta có $IA = 2\sqrt 5 {\rm{\;}} < 100$.

$IB = \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + {{\left( {m - 3} \right)}^2} + 36}$.

$IC = \sqrt {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2} + 25}$.

Vì $IC < IB$ với mọi m, do vậy ta cần tìm m để drone B không xa kho hàng quá 100 km

$\Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {m - 3} \right)^2} + 36 < 10000$

$\Leftrightarrow 2{m^2} - 8m - 9954 < 0$

$\Leftrightarrow - 68,6 < m < 72,6$.

Do $m \in {\mathbb{N}^*}$ nên $m \in \left\{ {1;2;3;4;5;...;72} \right\}$.

Vậy có 72 giá trị của thỏa mãn đề bài.

Áp dụng công thức tọa độ tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ ($O$ là trung điểm của $BC$). Ta có: $A'\left( {0;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right),$ $B\left( {150;\,0;\,0} \right),$ $C\left( { - 150;\,0;\,0} \right),$ $C'\left( { - 150;\,0;\,300} \right),$$\overrightarrow {CA'} = \left( {150;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right)$, $\overrightarrow {BC'} = \left( { - 300;\,0;\,300} \right)$.

Gọi $m,n$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CM} = m\overrightarrow {CA'} \\\overrightarrow {BN} = n\overrightarrow {BC'} \end{array} \right.$ ta có $M\left( { - 150 + 150m;\, - 150\sqrt 3 m;\,300m} \right)$, $N\left( {150 - 300n;\,0;\,300n} \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 150m - 300n + 300;\,150\sqrt 3 m;\,300n - 300m} \right)$.

Đường thẳng $MN$ là đường vuông góc chung của $A'C$ và $BC'$ nên:

$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CA'} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC'} = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} - 4m + n = - 1\\ - m + 4n = 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{5}\\n = \frac{3}{5}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {60;\,60\sqrt 3 ;\,60} \right) \Rightarrow MN = 60\sqrt 5$.

Số tiền xây cầu là: $T = 60\sqrt 5 .5 \approx 671$ tỷ đồng.