Đề giữa học kì 1 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Chúc Sơn – Hà Nội

a) Dạng phương trình tích $A(x) \cdot B(x) = 0$

TH1: $A(x) = 0$

TH2: $B(x) = 0$.

b) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

- Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ).

- Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu.

- Giải phương trình tìm được.

- Đối chiếu nghiệm với ĐKXĐ và kết luận.

a) $\left( {x - 8} \right)\left( {1 + 3x} \right) = 0$

TH1: $x - 8 = 0$

$x = 8$

TH2: $1 + 3x = 0$

$3x = - 1$

$x = \dfrac{- 1}{3}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x \in \left\{ {8;\dfrac{- 1}{3}} \right\}$.

b) $\dfrac{3}{x + 3} - \dfrac{2}{3 - x} = \dfrac{3x + 5}{x^{2} - 9}$ (ĐKXĐ: $x \neq \pm 3$)

$\dfrac{3(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} + \dfrac{2(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \dfrac{3x + 5}{(x + 3)(x - 3)}$

$3(x - 3) + 2(x + 3) = 3x + 5$

$3x - 9 + 2x + 6 = 3x + 5$

$2x = 8$

$x = 4$ (TMĐK)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 4$.

- Sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để biến đổi hệ phương trình hai ẩn về phương trình bậc nhất một ẩn.

- Biến đổi đưa về dạng chuẩn trước khi thực hiện cộng/trừ từng vế.

a) $\{\begin{array}{l}\text{4}x\text{+ }y=9\text{ (1)}\\ x-y=6\text{ (2)}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {\text{4}x\text{+~}y = 9\text{~(1)}} \\ {x - y = 6\text{~(2)}} \end{array} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

$(4x + y) + (x - y) = 9 + 6$

$4x + y + x - y = 15$

$5x = 15$

$x = 3$

Thay $x = 3$ vào phương trình (2) ta được:

$3 - y = 6$

$y = - 3$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x\mspace{6mu}\text{;}\mspace{6mu} y} \right)\) là \(\left( {3\mspace{6mu}\text{;} - 3} \right)\).

b) $\{\begin{array}{l}5x-3y=y-13\\ x-2y=25\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {5x - 3y = y - 13} \\ {x - 2y = 25} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}5x-4y=-13\text{ (1)}\\ x-2y=25\text{ (2)}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {5x - 4y = - 13\text{~~(1)}} \\ {x - 2y = 25\text{~~~~~~(2)}} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}5x-4y=-13\\ 2x-4y=50\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {5x - 4y = - 13} \\ {2x - 4y = 50} \end{array} \right.$

Trừ từng vế của hai phương trình trên ta được:

$(5x - 4y) - (2x - 4y) = - 13 - 50$

$\begin{array}{l}5x-4y-2x+4y=-63\\ 3x=-63\\ x=-21\end{array}$$\begin{array}{l} {5x - 4y - 2x + 4y = - 63} \\ {3x = - 63} \\ {x = - 21} \end{array}$

Thay $x = - 21$ vào phương trình (2) ta được:

$\begin{array}{l}-21-2y=25\\ -2y=46\\ y=-23\end{array}$$\begin{array}{l} {- 21 - 2y = 25} \\ {- 2y = 46} \\ {y = - 23} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x\mspace{6mu}\text{;}\mspace{6mu} y} \right)\) là \(\left( {- 21\mspace{6mu}\text{;} - 23} \right)\).

Bước 1: Lập hệ phương trình:

- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.

- Dùng công thức chu vi $C = 2(x + y) = 70$.

- Biểu diễn diện tích ban đầu và diện tích mới.

- Lập hệ phương trình từ các mối quan hệ bài toán cho.

Bước 2: Giải hệ phương trình tìm $x, y$.

Bước 3: Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi chiều dài sân bóng ban đầu là $x$ (m) (ĐK: $x \geq y$ )

Gọi chiều rộng sân bóng ban đầu là $y$ (m) (ĐK: $y > 1$)

Diện tích ban đầu là $xy\text{~(m}^{\text{2}}\text{)}$

Vì chu vi của sân bóng ban đầu là 70 m nên ta có phương trình: $(x + y).2 = 70$

Suy ra $x + y = 35$ (1)

Nếu tăng chiều dài thêm 6 m và giảm chiều rộng đi 1 m thì diện tích của sân tăng thêm $\text{50~m}^{\text{2}}$ nên ta có phương trình: $(x + 6)(y - 1) = xy + 50$

$xy - x + 6y - 6 = xy + 50$

$- x + 6y = 56$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y=35\\ -x+6y=56\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 35} \\ {- x + 6y = 56} \end{array} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình trên ta có:

$(x + y) + ( - x + 6y) = 35 + 56$

$x + y - x + 6y = 91$

$7y = 91$

$y = 13$ (TM)

Thay $y = 13$ vào phương trình (1) ta được:

$x + 13 = 35$

$x = 22$ (TM)

Vậy chiều dài sân bóng ban đầu là 22 m, chiều rộng sân bóng ban đầu là 13 m

1) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

2)

a) Sử dụng định lý Pythagore và tỉ số lượng giác góc nhọn để tính các cạnh và góc còn lại.

b) Chứng minh tam giác đồng dạng từ đó suy ra tỉ lệ cạnh tương ứng.

c) Chứng minh $\Delta EBA \backsim \Delta ABM$. Suy ra $AB^{2} = BE \cdot BM$

Chứng minh $\Delta BEC \backsim \Delta BIM$ (c.g.c) suy ra $\dfrac{BC}{BM} = \dfrac{EC}{IM}$.

Lập tỷ số $\dfrac{\sin\widehat{AMB}}{\cos\widehat{ABC}}$ trong các tam giác vuông và so sánh.

1)

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong $\Delta ABH$ vuông tại $H$ ta có:

$\tan A = \dfrac{BH}{AH}$

Suy ra $BH = AH.\tan A$

Hay $BH = 203.\tan 58{^\circ} \approx 325 m$

Vậy chiều cao của tháp Eiffel khoảng 325 m.

2.

a)

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên ta có:

$AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}$ (Định lý Pythagore)

Hay $6^{2} + AC^{2} = 10^{2}$

Suy ra $AC^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 64$

Nên $AC = 8$ (cm)

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$\sin\widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$. Suy ra $\widehat{ABC} \approx 53{^\circ}$

$\sin\widehat{ACB} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$. Suy ra $\widehat{ACB} \approx 37{^\circ}$

b)

Xét $\Delta IAB$ và $\Delta ACB$ có:

$\widehat{AIB} = \widehat{BAC} = 90{^\circ}\text{~(gt)}$

$\widehat{ABC}$ chung

Do đó $\Delta IAB ∽ \backsim ∽ \Delta ACB$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{IB}{AB} = \dfrac{AB}{BC}$ (Hai cạnh tương ứng)

Hay $AB^{2} = BI.BC$

Suy ra $IB = \dfrac{AB^{2}}{BC} = \dfrac{6^{2}}{10} = 3,6\text{~(cm)}$

c)

+) Xét $\Delta EBA$ và $\Delta ABM$ ta có:

$\widehat{AEB} = \widehat{MAB} = 90{^\circ}$

$\widehat{ABM}$ chung

Do đó, $\Delta EBA ∽ \backsim ∽ \Delta ABM$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{AB}{MB} = \dfrac{EB}{AB}$ (hai cạnh tương ứng)

Hay $AB^{2} = BE.BM$

Mà $AB^{2} = BI.BC$ (câu b)

Nên $BE.BM = BI.BC$

Hay $\dfrac{BE}{BI} = \dfrac{BC}{BM}$

+) Xét $\Delta BEC$ và $\Delta BIM$ ta có:

$\dfrac{BE}{BI} = \dfrac{BC}{BM}$ (cmt)

$\widehat{EBC}$ chung

Do đó, $\Delta BEC ∽ \backsim ∽ \Delta BIM$ (c.g.c)

Suy ra $\dfrac{BC}{BM} = \dfrac{EC}{IM}$ (hai cạnh tương ứng)

Ta có: $\sin\widehat{AMB} = \dfrac{AB}{BM}$; $\cos\widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}$

Khi đó, $\dfrac{\sin\widehat{AMB}}{\cos\widehat{ABC}} = \dfrac{AB}{BM}:\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BC}{BM}$

Suy ra $\dfrac{\sin\widehat{AMB}}{\cos\widehat{ABC}} = \dfrac{EC}{IM}$ (đpcm)

- Biểu diễn giá vé và số ghế bán được theo số lần tăng giá $x$ ($x \in {\mathbb{N}}^{*}$).

- Lập biểu thức doanh thu $A(x) =$ Giá vé $\times$ Số vé bán được.

- Biến đổi biểu thức $A(x)$ về dạng bậc hai $A(x) = - a{(x - h)}^{2} + k$ ($a > 0$).

- Đánh giá để tìm giá trị lớn nhất ($A_{\max} = k$ khi $x = h$).

Gọi số lần tăng giá là $x$ (lần) ($x \in N^{*}$)

Giá tiền 1 vé sau $x$ lần tăng là $\left( {120 + 6x} \right)$ (nghìn đồng)

Số ghế đã bán sau $x$ lần tăng giá là $160 -\text{~5}x$ (ghế)

Tổng số tiền thu được: $A = \ \left( {120 + \text{~6}x} \right)\left( {160 - \text{~5}x} \right)$(nghìn đồng)

Để có doanh thu lớn nhất thì A đạt giá trị lớn nhất

Ta có:

$A = - 30x^{2} + 360x + 19200 = - 30(x^{2} - 12x + 6^{2}) + 20280 = - 30\left( {x - 6} \right)^{2} + 20280$

Vì ${(x - 6)}^{2} \geq 0$ với mọi $x$ nên

$\begin{array}{l}-30{\left(x-6\right)}^2\le 0\\ -30{\left(x-6\right)}^2+20280\le 20280\\ A\le 20280\end{array}$$\begin{array}{l} {- 30\left( {x - 6} \right)^{2} \leq 0} \\ {- 30\left( {x - 6} \right)^{2} + 20280 \leq 20280} \\ {A \leq 20280} \end{array}$

A đạt giá trị lớn nhất khi $x = \text{~6}$.

Vậy mức giá mới cho một vé là $120 + 6.6 = 156$ (nghìn đồng) thì rạp phim sẽ đạt doanh thu lớn nhất.