Đề giữa kì 2 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường PT DTNT tỉnh Phú Yên

Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng (Q) chứa d cũng vuông góc với (P).

$SA \bot (ABC) \Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AC\\SA \bot AB\end{array} \right.$, mà $(SAB) \cap (SAC) = SA$, do đó:

$\left( {(SAB),(SAC)} \right) = \left( {AB,AC} \right) = \widehat {BAC} \ne {90^o}$. Vậy kết luận ở đáp án A sai.

Áp dụng công thức $\sqrt[n]{{{x^m}}} = {x^{\frac{m}{n}}}$.

$P = \sqrt[4]{{{x^5}}} = {x^{\frac{5}{4}}}$.

${a^{f(x)}} = {a^{g(x)}} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$.

${5^{2x - 1}} = 5 \Leftrightarrow 2x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 1$.

Chứng minh AH vuông góc với một mặt phẳng

$\left.$$\begin{array}{l}SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array}$ \right\} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AH.

$\left.$$\begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array}$ \right\} \Rightarrow AH \bot (SBC) \Rightarrow AH \bot SC.

Dựa vào định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Trong không gian cho đường thẳng  không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng được gọi là vuông góc với mp (P) nếu vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp (P).

Cách tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a:

B1: Xác định hình chiếu vuông góc H của M trên a.

B2: Tính MH.

$\left.$$\begin{array}{l}SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array}$ \right\} \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AH.

$\left.$$\begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array}$ \right\} \Rightarrow AH \bot (SBC) \Rightarrow d\left( {A(SBC)} \right) = AH.

Vậy $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AK$ là mệnh đề sai.

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và hình chiếu d’ của đường thẳng d trên (P).

Ta có A là hình chiếu của S lên (ABC) nên AC là hình chiếu của SC lên (ABC).

Vậy $\left( {SC,(ABC)} \right) = \left( {SC,AC} \right)$.

${\log _a}(MN) = {\log _a}M + {\log _a}N$; ${\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M$.

${\log _a}\left( {{a^2}b} \right) = {\log _a}{a^2} + {\log _a}b = 2 + {\log _a}b$.

$\sqrt[n]{{{x^m}}} = {x^{\frac{m}{n}}}$, ${\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M$.

$I = {\log _a}\sqrt[3]{a} = {\log _a}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}$.

Chứng minh SA là chiều cao khối chóp, xác định góc giữa SC và (ABC) và sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính SA.

$\Delta ABC$ vuông cân tại A nên AB = AC = a.

Vì AC là hình chiếu của SC lên (ABC) nên $\left( {SC,(ABC)} \right) = \widehat {SCA} = {60^o}$.

$SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC$ và SA là chiều cao khối chóp.

Xét tam giác SAC vuông tại A:

$\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} \Leftrightarrow SA = AC\tan \widehat {SCA} = a.\tan {60^o} = a\sqrt 3$.

Tìm ĐKXĐ của hàm logarit.

ĐKXĐ: $3 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}$.

Áp dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

$\left.$$\begin{array}{l}SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot BC\\SH \bot BC\end{array}$ \right\} \Rightarrow BC \bot (SAH) \Rightarrow BC \bot AH.

Tìm ĐKXĐ và giải phương trình, bất phương trình logarit cơ bản.

a) Đúng. $f(x) = 1 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {5x - 3} \right) = 1 \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}5x - 3 > 0\\5x - 3 = {3^1}\end{array} \right.$ \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}.

b) Đúng. $f\left( {\frac{9}{5}} \right) - f(1) = {\log _3}\left( {5.\frac{9}{5} - 3} \right) - {\log _3}\left( {5.1 - 3} \right)$

$= {\log _3}6 - {\log _3}2 = {\log _3}\frac{6}{2} = {\log _3}3 = 1$.

c) Sai. Để f(x) có nghĩa thì $5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}$.

d) Đúng. $f(x) \le 2 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {5x - 3} \right) \le 2$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}5x - 3 > 0\\5x - 3 \le {3^2}\end{array} \right.$ \Leftrightarrow \frac{3}{5} \le x \le \frac{{12}}{5}.

Vậy $f(x) \le 2$ có hai nghiệm nguyên là x = 1, x = 2.

Ứng dụng quan hệ vuông góc trong không gian.

a) Đúng. Vì AC là hình chiếu của SC lên (ABCD) nên $\left( {SC,(ABCD)} \right) = \widehat {SCA}$.

b) Đúng. Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $(SAC) \bot (ABCD).$.

c) Đúng. $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$.

$\left.$$\begin{array}{l}SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array}$ \right\} \Rightarrow BC \bot (SAB).

d) Sai. Vì AB là hình chiếu của SB lên (ABCD) nên góc giữa (SBC) và (ABCD) là $\widehat {SBA}$.

Tính khoảng cách từ A đến hình chiếu vuông góc của nó lên SC, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC.

AC là đường chéo của hình vuông cạnh bằng 2, do đó $AC = 2\sqrt 2$.

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}} \Rightarrow AH = 2$.

Vậy $d\left( {A,SC} \right) = AH = 2$.

Đưa hai vế về dạng lũy thừa có cùng cơ số.

${2^{100x}} \ge {4^{200}} \Leftrightarrow {2^{100x}} \ge {2^{400}} \Leftrightarrow 100x \ge 400 \Leftrightarrow x \ge 4$.

Vậy a = 4.

Tính góc giữa SD và hình chiếu vuông góc của nó lên (SAB).

$\left.$$\begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AD\\AB \bot AD\end{array}$ \right\} \Rightarrow AD \bot (SAB).

Suy ra SA là hình chiếu của SD lên (SAB) và $\left( {SD,(SAB)} \right) = {45^o}$ (do tam giác SAD vuông cân tại A).

Áp dụng công thức ${\log _a}MN = {\log _a}M + {\log _a}N$, ${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$.

$Q = {\log _a}\left( {{b^2}{c^3}} \right) = {\log _a}{b^2} + {\log _a}{c^3}$

$= 2{\log _a}b + 3{\log _a} = 2.2 + 3.3 = 13$.

Đưa về cùng cơ số.

a) $3^{x-2} = \frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow 3^{x-2} = 3^{-2}$

$\Leftrightarrow x - 2 = -2 \Leftrightarrow x = 0$.

b) $\log_{\frac{1}{3}} (x - 3) + \log_3 2 = 0$. Điều kiện $x > 3$

Phương trình $\Leftrightarrow -\log_3 (x - 3) = -\log_3 2$

$\Leftrightarrow x - 3 = 2$

$\Leftrightarrow x = 5$ (thỏa mãn).

Áp dụng tính chất của hình chóp tứ giác đều, tính chiều cao và đáy của hình chóp để tính thể tích.

Mô hình hoá đèn đá muối bằng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$.

Gọi $O$ là tâm của đáy.

$\Delta SAC$ cân $S \Rightarrow SO \perp AC$

$\Delta SBD$ cân $S \Rightarrow SO \perp BD$

$\Rightarrow SO \perp (ABCD)$

$ABCD$ là hình vuông

$\Rightarrow AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Delta SAO$ vuông tại $O$

$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.