Đề giữa kì 1 Toán 11 năm 2025 – 2026 trường THPT Lê Văn Phẩm – Đồng Tháp

${\alpha ^o} = \alpha .\frac{\pi }{{180}}$ rad.

$\alpha = {108^o} = 108.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{3\pi }}{5}$ rad.

Quan sát chiều quay của góc để xác định dấu của góc lượng giác.

Số đo của góc lượng giác (On, Om) theo chiều âm là $- {50^o}$.

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$. Kết hợp điều kiện ${90^o} < \alpha < {180^o}$ để xét dấu $\cos \alpha$.

${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}}$.

Vì ${90^o} < \alpha < {180^o} \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {\frac{9}{{25}}} = - \frac{3}{5}$.

Sử dụng tập giá trị của hàm số lượng giác.

$0 \le {\cos ^2}x \le 1 \Leftrightarrow 0 \ge - 3{\cos ^2}x \ge - 3$

$\Leftrightarrow 4 \ge 4 - 3{\cos ^2}x \ge 1 \Leftrightarrow 1 \le y \le 4$.

Vậy M + m = 4 + 1 = 5.

Hình chóp có 2n cạnh có số mặt là n + 1 (gồm n mặt bên và 1 mặt đáy).

Hình chóp có 16 cạnh thì có 8 + 1 = 9 mặt.

Dựa vào các cách xác định mặt phẳng trong hình học không gian: qua 3 điểm không thẳng hàng, qua 1 điểm và 1 đường thẳng không chứa điểm đó, qua 2 đường thẳng cắt nhau hoặc 2 đường thẳng song song.

Hai đường thẳng cắt nhau luôn xác định duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.

Áp dụng công thức $l = \frac{{\pi .R.\alpha }}{{180}}$.

$l = \frac{{\pi .12.60}}{{180}} = 4\pi$ (cm).

Sử dụng các công thức lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.

Công thức đúng: $\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = - \sin \alpha$.

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng không cùng thuộc một mặt phẳng trong tứ diện.

Trong tứ diện ABCD, hai đường thẳng AB và CD không nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung, nên AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau.

Biến đổi phương trình về dạng $\sin x = m + 1$. Điều kiện để phương trình có nghiệm là $- 1 \le m + 1 \le 1$.

$\sin x - m = 1 \Leftrightarrow \sin x = m + 1$.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $- 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 0$.

Giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (SAB) là giao điểm của CD với một đường thẳng nằm trong (SAB) và cùng thuộc một mặt phẳng chứa CD.

Trong mặt phẳng (ABCD), vì ABCD không phải là hình thang nên hai đường thẳng CD và AB không song song và cắt nhau tại một điểm, gọi là I.

Vì $I \in AB$ mà $AB \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right)$.

Mặt khác $I \in CD \Rightarrow I = CD \cap \left( {SAB} \right)$.

Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.

ĐKXĐ: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi, định nghĩa góc lượng giác, giá trị lượng giác.

b) Sai. ${\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{7}{{16}}$.

Mà $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}$.

a) Sai. $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2.\left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right).\frac{3}{4} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}$.

c) Đúng. $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}}}{{\frac{3}{4}}} = - \frac{{\sqrt 7 }}{3}$.

$\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{3}}}{{1 - \tan \alpha \tan \frac{\pi }{3}}}$

$= \frac{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{3} + \sqrt 3 }}{{1 - \left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{3}} \right).\sqrt 3 }} = \frac{{3\sqrt 7 - 4\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy $M = \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{{4\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 7$.

d) Đúng. $\cos (\alpha + 21\pi ) = \cos (\alpha + \pi + 20\pi )$

$= \cos (\alpha + \pi ) = - \cos \alpha = - \frac{3}{4}$.

Áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song, vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

a) Đúng. Vì AB // CD và S là điểm chung của (SAB) và (SCD), do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua đi S và song song với AB và CD.

b) Đúng. Ta có S và A cùng thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) nên giao tuyến giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là SA.

c) Sai. SC và AB là hai đường thẳng chéo nhau.

d) Đúng. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, khi đó O là giao điểm của AC và BD.

Do đó $O = BD \cap (SAC)$.

Sử dụng đường tròn lượng giác hoặc suy ra từ đồ thị hàm số $y = \sin x$.

$\sin 2x \ge 0 \Leftrightarrow k2\pi \le 2x \le \pi + k2\pi$

$\Leftrightarrow k\pi \le x \le \frac{\pi }{2} + k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Xét $x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$:

- Với $k = 0 \Rightarrow 0 \le x \le \frac{\pi }{2}$.

- Với $k = 1 \Rightarrow \pi \le x \le \frac{{3\pi }}{2}$.

Vậy $x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \cup \left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$. Vậy a + b = 1 + 3 = 4.

Để hàm số $\tan u$ xác định thì $\cos u \ne 0$.

ĐKXĐ: $\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$

$\Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Vậy $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\} \Rightarrow a - b = 12 - 2 = 10$.

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng $\cos (a + b)\cos (a - b) = \frac{1}{2}[\cos 2a + \cos 2b]$ và công thức nhân đôi $\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1$.

$\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 1 = - \frac{1}{9}$.

$\cos 2b = 2{\cos ^2}b - 1 = 2.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} - 1 = \frac{1}{8}$.

$P = \cos (a + b)\cos (a - b)$

$= \frac{1}{2}[\cos (2a) + \cos (2b)]$

$= \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{9} + \frac{1}{8}} \right) = \frac{1}{{144}}$.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$.

$\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow \left[ {$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}$} \right. \Leftrightarrow \left[ {$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}$} \right. $(k \in \mathbb{Z})$.

Vậy a + b = 1 + 5 = 6.

Công thức nghiệm của phương trình cosx = m:

TH1: $\left| m \right| > 1$: Phương trình vô nghiệm.

TH2: $\left| m \right| \le 1$: $\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - a + k2\pi \end{array}$ \right. $(k \in \mathbb{Z})$.

Nếu m không thể biểu diễn được dưới dạng cos của các góc đặc biệt thì:

$\cos x = m \Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = \arccos m + k2\pi \\x = - \arccos m + k2\pi \end{array}$ \right. $(k \in \mathbb{Z})$.

$2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 = 0$

$\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array}$ \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

$\Leftrightarrow \left[$$\begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi \\x = \frac{\pi }{{24}} + k\pi \end{array}$ \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi ,\frac{\pi }{{24}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Giải phương trình $h = 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 5 = 7$ $\left( {0 \leq t \leq 24} \right)$.

Ta có độ sâu của mực nước là 7 cm nên:

$h = 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 5 = 7$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3} = k2\pi$

$\Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi$

$\Leftrightarrow t = 4 + 24k$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vì $1 \le t \le 24$

$\Leftrightarrow 1 \le 4 + 24k \le 24$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{8} \le k \le \frac{5}{6}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Do đó k = 0 $\Rightarrow t = 4$.

Vậy vào lúc 4 giờ thì độ sâu của mực nước là 7 cm.

Tìm điểm chung của các mặt phẳng, đường thẳng.

a) $O \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABC} \right)\,\,\left( 1 \right)$

Trong $\left( {SAC} \right)$,  $I = AC \cap MN$.

$I \in AC,AC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow I \in \left( {ABC} \right)$.

$I \in MN,MN \subset \left( {OMN} \right) \Rightarrow I \in \left( {OMN} \right)$.

$\Rightarrow I \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABC} \right)\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra  $OI = \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABC} \right)$.

b) Trong $\left( {ABC} \right)$, $E = OI \cap AB$.

$E \in AB$.

$E \in OI,OI \subset \left( {OMN} \right) \Rightarrow E \in \left( {OMN} \right)$.

Vậy $E = AB \cap \left( {OMN} \right)$.