Đề giữa kì 1 Toán 11 năm 2025 – 2026 trường THPT số 1 Lê Hồng Phong – Đắk Lắk

Áp dụng công thức $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$.

$\cos^{2}\alpha = 1 - \sin^{2}\alpha = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}$.

Vì $\left. \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\Rightarrow\cos\alpha < 0\Rightarrow\cos\alpha = - \dfrac{3}{5} \right.$.

Dựa vào lí thuyết vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Hai đường thẳng phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung thì song song với nhau.

Bước 1: Xác định tính đối xứng của tập xác định.

- Nếu $\forall x \in D$ ta có $- x \in D$ thì tập xác định có tính đối xứng, ta làm tiếp Bước 2.

- Nếu $\exists x \in D$ mà $- x \notin D$, kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.

Bước 2: Xét tính chẵn, lẻ.

- Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số đã cho là hàm số chẵn.

- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Hàm số $y = \cos x$ có tập xác định $D = {\mathbb{R}}$ và $\cos\left( {- x} \right) = \cos x$, do đó là hàm số chẵn.

Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.

Biểu thức xác định khi $\left. \sin x \neq 0\Leftrightarrow x \neq k\pi \right.$ ($k \in {\mathbb{Z}}$). Vậy $D = {\mathbb{R}} \smallsetminus \left\{ {k\pi,k \in {\mathbb{Z}}} \right\}$.

Áp dụng công thức cộng.

$\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

Dựa vào lý thuyết vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Xét tứ diện ABCD, hai cạnh đối diện BC và AD không đồng phẳng và không cắt nhau, do đó BC và AD chéo nhau.

$\left. \cos x = m\Leftrightarrow\cos x = \cos\alpha\ \Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = \alpha + k2\pi} \\ {x = - a + k2\pi} \end{array}$ \right. \right. $(k \in {\mathbb{Z}})$.

$\left. \cos x = - \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{2\pi}{3}\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \right.$ $(k \in {\mathbb{Z}})$.

Để chúng minh $\left( u_{n} \right)$ là một cấp số cộng, ta chứng minh hiệu hai số hạng liên tiếp $u_{n} - u_{n - 1}$ không đổi.

Dãy số $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ là cấp số cộng với công sai d = -4.

Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nếu d song song với đường thẳng d’ thuộc (P).

OM là đường trung bình của tam giác SAC, do đó OM // SC, suy ra OM // (SAC).

Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Đường thẳng đi qua hai điểm đó là giao tuyến của hai mặt phẳng.

$S \in (SAM) \cap (SBC)$, $\left. M \in BC \subset (SBC)\Rightarrow M \in (SAM) \cap (SBC) \right.$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBC) là đường thẳng SM.

Hàm số y = k.sin(ax + b) có chu kì là $T = \dfrac{2\pi}{|a|}$.

$T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$.

Góc $n^{o}$ khi chuyển sang đơn vị radian sẽ có giá trị: $n^{o} = \dfrac{\pi n}{180}$ rad.

$108^{o} = 108.\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{5}$ rad.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát, tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.

a) Đúng. $u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = - 3 + 2(n - 1) = 2n - 5$.

b) Sai. $\left. 2n - 5 = 190\Leftrightarrow 2n = 195\Leftrightarrow n = 97,5 \right.$ (không nguyên). Do đó, số 190 không thuộc dãy số $\left( u_{n} \right)$.

c) Sai. $\left. u_{100} = 2.100 - 5 = 195\Rightarrow S_{100} = \dfrac{100.( - 3 + 195)}{2} = 9600 \right.$.

d) Đúng. Dãy $u_{2},u_{4},\ldots,u_{100}$ là cấp số cộng gồm 50 số hạng, với $u_{1} = - 1$, $u_{100} = 195$.

Tổng các số hạng của dãy là $S_{50} = \dfrac{50( - 1 + 195)}{2} = 4850$.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

a) Đúng. ĐKXĐ: $\left. \cos x + 1 \neq 0\Leftrightarrow\cos x \neq - 1\Leftrightarrow x \neq \pi + k2\pi \right.$ $\left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right)$.

b) Đúng. $\left. \sin 3x = 0\Leftrightarrow 3x = k\pi\Leftrightarrow x = \dfrac{k\pi}{3} \right.$ $\left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right)$.

c) Sai. Kết hợp ĐK: $\left. x \neq \pi + m2\pi = (2m + 1)\pi\Rightarrow\dfrac{k\pi}{3} \neq (2m + 1)\pi\Leftrightarrow k \neq 3(2m + 1) \right.$.

Ta có $\left. 2\pi \leq \dfrac{k\pi}{3} \leq 4\pi\Leftrightarrow 6 \leq k \leq 12 \right.$. Các giá trị thỏa mãn bao gồm 6 giá trị: $k \in \left\{ 6;7;8;10;11;12 \right\}$.

Do đó, phương trình có 6 nghiệm trên $\left\lbrack {2\pi;4\pi} \right\rbrack$.

d) Sai. Tổng các nghiệm là: $S = \dfrac{6\pi}{3} + \dfrac{7\pi}{3} + \dfrac{8\pi}{3} + \dfrac{10\pi}{3} + \dfrac{11\pi}{3} + \dfrac{12\pi}{3} = 18\pi$.

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản và công thức cộng với $\alpha \in \left( {\dfrac{3\pi}{2};2\pi} \right)$.

a) Đúng. Điểm biểu diễn của $\alpha$ ở góc phần tư thứ IV nên $\cos\alpha > 0$.

b) Đúng. $\cos\alpha = \sqrt{1 - \left( {- \dfrac{12}{13}} \right)^{2}} = \dfrac{5}{13}$.

c) Sai. $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{- \dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}} = - \dfrac{12}{5}$.

d) Sai. $\cos\left( {\dfrac{\pi}{3} - \alpha} \right) = \cos\dfrac{\pi}{3}\cos\alpha + \sin\dfrac{\pi}{3}\sin\alpha$

$= \dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{13} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\left( {- \dfrac{12}{13}} \right) = \dfrac{5 - 12\sqrt{3}}{26}$.

Áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song, điều kiện để đường thẳng

a) Đúng. SA và CD chéo nhau do chúng không đồng phẳng.

b) Sai. Giả sử AD // (SBC), khi đó AD song song với mọi đường thẳng thuộc (SBC), hay AD // BC. Mà ABCD là hình thang có đáy lớn CD, do đó AD không song song với BC. Vậy AD // (SBC) là khẳng định sai.

c) Đúng. Vì AB // CD nên giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAB) và (SDC) là đường thẳng đi qua điểm S và song song với hai đường thẳng AB, CD.

d) Sai. Vì AB // CD và M thuộc cả (MAB) và (SCD) nên giao tuyến của (MAB) và (SCD) là đường thẳng qua M và song song với CD. Khi đó HK // CD // AB.

Vì M là trọng tâm tam giác SCD, dễ thấy $HK = \dfrac{2}{3}CD$.

Để tứ giác ANKH là hình bình hành thì $\left. AB = HK = \dfrac{2}{3}CD\Rightarrow DC = \dfrac{3}{2}AB \right.$.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.

Tiền phạt mỗi ngày lập thành cấp số cộng với $u_{1} = 4000$, d = 1000.

$S_{n} = \dfrac{n\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d\rbrack}{2} = \dfrac{n\lbrack 8000 + (n - 1)1000\rbrack}{2} = 500n^{2} + 3500n$.

Theo đề bài: $500n^{2} + 3500n \leq 165000$

$\left. \Leftrightarrow n^{2} + 7n - 330 \leq 0\Rightarrow n \leq 15 \right.$.

Vậy số ngày tối đa mà công ty có thể trì hoãn là 15.

Áp dụng tính chất của đường trung bình, định lí Thales.

Gọi E là trung điểm của MN, I’ là điểm thuộc SA sao cho IE // SC (1)

Ta có PN là đường trung bình của tam giác SCD nên PN // SC (2)

Từ (1) và (2) suy ra I’E // PN, do đó I’, E, P, N, M đồng phẳng, hay I’ thuộc mặt phẳng (MNP).

Ta có I’ thuộc SA, I’ thuộc (MNP) nên I’ chính là giao điểm I của SA và (MNP).

Vì MN là đường trung bình tam giác BCD và IE // SC nên ta có:

$\left. \dfrac{EC}{AE} = \dfrac{IS}{IA} = \dfrac{1}{3}\Rightarrow a + 2b = 1 + 2.3 = 7 \right.$.

Biểu diễn hệ phương trình theo $u_{1}$ và d và giải hệ phương trình hai ẩn trên.

$\{\begin{array}{l}(u_1+d)-(u_1+2d)+(u_1+4d)=7\\ u_1+(u_1+5d)=12\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {(u_{1} + d) - (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 4d) = 7} \\ {u_{1} + (u_{1} + 5d) = 12} \end{array} \right.$

$\left. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} + 3d = 7} \\ {2u_{1} + 5d = 12} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} = 1} \\ {d = 2} \end{array} \right.$ \right..

$u_{100} = u_{1} + 99d = 1 + 99.2 = 199$.

Áp dụng công thức $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$ và $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

$\cos\alpha = - \sqrt{1 - \sin^{2}\alpha} = - \dfrac{4}{5}$ (vì $\left. \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\Rightarrow\cos\alpha < 0 \right.$).

$\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^{2}\beta} = \dfrac{5}{13}$ (vì $\left. 0 < \beta < \dfrac{\pi}{2}\Rightarrow\sin\alpha > 0 \right.$).

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

$= \dfrac{3}{5}.\dfrac{12}{13} - \left( {- \dfrac{4}{5}} \right).\dfrac{5}{13} = \dfrac{56}{65} \approx 0,86$.

Sử dụng hằng đẳng thức $A^{3} + B^{3} = {(A + B)}^{3} - 3AB(A + B)$ và công thức hạ bậc $\sin^{2}a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}$.

$\sin^{6}x + \cos^{6}x = {(\sin^{2}x)}^{3} + {(\cos^{2}x)}^{3}$

$= (\sin^{2}x + \cos^{2}x)\left\lbrack {{(\sin^{2}x + \cos^{2}x)}^{2} - 3\sin^{2}x\cos^{2}x} \right\rbrack$

$= 1.\left\lbrack {1^{2} - 3.\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x} \right)^{2}} \right\rbrack$

$= 1 - \dfrac{3}{4}\sin^{2}2x$

$= 1 - \dfrac{3}{4}.\left( \dfrac{1 - \cos 4x}{2} \right)$

$= \dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\cos 4x$.

Vậy $a = \dfrac{5}{8}$, $\left. b = \dfrac{3}{8}\Rightarrow a + b = 1 \right.$.

Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác và cách giải phương trình lượng giác cơ bản.

Với mọi $t \in {\mathbb{Z}}$ và $0 < t \leq 365$, ta luôn có:
$- 1 \leq \sin\left\lbrack {\dfrac{\pi}{182}\left( {t - 80} \right)} \right\rbrack \leq 1$, hay $9 \leq s(t) \leq 15$.

Số giờ có ánh sáng nhiều nhất trong ngày là 15 giờ. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\left. \sin\left\lbrack {\dfrac{\pi}{182}(t - 80)} \right\rbrack = 1\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{182}(t - 80) = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \right.$

$\left. \Leftrightarrow t - 80 = 91 + 364k\Leftrightarrow t = 171 + 364k \right.$ $(k \in {\mathbb{Z}})$.

Vì $0 < t \leq 365$ nên $\left. 0 < 171 + 364k \leq 365\Leftrightarrow - \dfrac{171}{364} < k \leq \dfrac{194}{364} \right.$.

Do $k \in {\mathbb{Z}}$ nên k = 0. Khi đó t = 171.

Vậy vào ngày thứ 171 trong năm thì thành phố đó có nhiều giờ ánh sáng nhất.