Đề giữa học kì 1 Toán 11 năm 2025 – 2026 trường THPT Lê Lợi – Quảng Ngãi

Áp dụng công thức tính số trung bình cho mẫu số liệu ghép nhóm.

Tổng số ngày: 2 + 7 + 7 + 3 + 1 = 20.

Số trung bình: $\overline{x} = \dfrac{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}{20} = 9,4$.

Độ dài nhóm [a; b) là b – a.

Độ dài nhóm [0; 30) là 30 – 0 = 30. Các nhóm có độ dài bằng nhau.

Cấp số nhân có công bội $q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}}$.

$q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{8}{2} = 4$.

Đổi từ rad sang độ theo công thức $\alpha^{o} = a.\dfrac{180^{o}}{\pi}$.

$2\pi$ rad $= 2\pi.\dfrac{180^{o}}{\pi} = 360^{o}$.

Số hạng thứ n của cấp số nhân là $u_{n} = u_{1}.q^{n - 1}$.

$u_{3} = u_{1}.q^{2} = 3.\left( {- \dfrac{1}{3}} \right)^{2} = \dfrac{1}{3}$.

Áp dụng các công thức cộng lượng giác cơ bản.

Công thức đúng là $\sin\left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b$, do đó mệnh đề ở đáp án D sai.

Dãy số $\left( u_{n} \right)$ là dãy số tăng nếu $u_{n + 1} > u_{n}$ với mọi n.

Dãy 1; 3; 5; 7; 9 có số sau luôn lớn hơn số trước nên là dãy số tăng.

Công sai của cấp số cộng là $d = u_{2} - u_{1}$.

$d = u_{2} - u_{1} = - 2 - 3 = - 5$.

Giá trị đại diện của nhóm [a; b) là $\dfrac{a + b}{2}$.

Giá trị đại diện của nhóm [60; 90) là $\dfrac{60 + 90}{2} = 75$.

Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất.

Tần số lớn nhất trong bảng là 33, ứng với nhóm [60; 80).

Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\left. \tan x = \tan\alpha\Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \right.$ $(k \in {\mathbb{Z}})$.

$\left. \tan x = \sqrt{3}\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \right.$ $(k \in {\mathbb{Z}})$.

Độ dài cung tròn $l = R.\alpha$ (với $\alpha$ tính bằng radian).

$l = 15.\dfrac{2\pi}{3} = 10\pi$ (cm).

a) Tìm ĐKXĐ của hàm số.

b) Chu kỳ của hàm số $\tan\left( {ax + b} \right)$ là $T = \dfrac{\pi}{|a|}$.

c) Tập giá trị của hàm tan là $\mathbb{R}$.

d) Giải phương trình lượng giác $\tan 2x = 1$.

a) Đúng. ĐKXĐ: $\left. 2x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2} \right.$ $(k \in {\mathbb{Z}})$.

Vậy $D = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ {\dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2},k \in {\mathbb{Z}}} \right\}$.

b) Sai. Hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \dfrac{\pi}{2}$.

c) Sai. Tập giá trị của hàm số là $\mathbb{R}$.

d) Đúng. $\left. f(x) = 1\Leftrightarrow\tan 2x = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{8} + k\dfrac{\pi}{2} \right.$ $(k \in {\mathbb{Z}})$.

a) Dãy số tăng nếu $d = u_{n + 1} - u_{n} > 0$ với mọi $n \in {\mathbb{N}}^{*}$.

b, c) Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_{n} = u_{1} + (n - 1)d$.

d) Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: $S_{n} = \dfrac{n}{2}\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d\rbrack$.

a) Đúng. Vì d = 4 > 0 nên dãy số $\left( u_{n} \right)$ là dãy số tăng.

b) Sai. $u_{3} = u_{1} + 2d = - 3 + 2.4 = 5$.

c) Sai. $\left. u_{n} = 393\Leftrightarrow - 3 + (n - 1)4 = 393\Leftrightarrow n = 100 \right.$. Do đó số 393 là số hạng thứ 100.

d) Đúng. $S_{100} = \dfrac{100}{2}.\lbrack 2( - 3) + 99.4\rbrack = 19500$.

Áp dụng công thức $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$ và xác định dấu của $\cos\alpha$ dựa vào góc $\alpha \in \left( {\dfrac{\pi}{2};\pi} \right)$; công thức cộng $\cos\left( {\alpha + \dfrac{\pi}{3}} \right) = \cos\alpha\cos\dfrac{\pi}{3} - \sin\alpha\sin\dfrac{\pi}{3}$.

Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos\alpha < 0$.

$\cos\alpha = - \sqrt{1 - \sin^{2}\alpha} = - \sqrt{1 - \left( \dfrac{4}{5} \right)^{2}} = - \dfrac{3}{5}$.

$\cos\left( {\alpha + \dfrac{\pi}{3}} \right) = \cos\alpha.\dfrac{1}{2} - \sin\alpha.\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$= \left( {- \dfrac{3}{5}} \right).\dfrac{1}{2} - \left( \dfrac{4}{5} \right).\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{- 3 - 4\sqrt{3}}{10}$.

Vậy a + b = 3 + 4 = 7.

Áp dụng tập giá trị của hàm số sin ($- 1 \leq \sin\alpha \leq 1$) để tìm tập giá trị của hàm y.

$- 1 \leq \sin\left( {x + \dfrac{\pi}{4}} \right) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{4}} \right) \leq 2$

$\left. \Leftrightarrow - 2 - 5 \leq 2\sin\left( {x + \dfrac{\pi}{4}} \right) - 5 \leq 2 - 5 \right.$

$\left. \Leftrightarrow - 7 \leq y \leq - 3 \right.$ với mọi $x \in {\mathbb{R}}$.

Tập giá trị là đoạn [-7; -3]. Vậy a + b = (-7) + (-3) = -10.

Tính $A_{12}$ bằng cách thay n = 12 vào công thức $A_{n} = 100\left( {1 + \dfrac{0,06}{12}} \right)^{n}$.

$A_{12} = 100.{(1 + 0,005)}^{12} \approx 106$ (triệu đồng).

Giá của chiếc xe mới mua lập thành cấp số cộng với $u_{1} = 680$ và d = -55. Tính $u_{6}$.

Giá của chiếc xe mới mua lập thành cấp số cộng với $u_{1} = 680$ và d = -55.

Sau 1 năm, giá của chiếc xe còn $u_{2}$ (triệu đồng).

Sau 5 năm, giá của chiếc xe còn $u_{6}$ (triệu đồng).

$u_{6} = 680 + (6 - 1).( - 55) = 405$ (triệu đồng).

Sử dụng công thức nghiệm: $\left. \cos f(x) = \cos\alpha\Leftrightarrow f(x) = \pm \alpha + k2\pi \right.$.

$\left. \cos\left( {x + \dfrac{\pi}{3}} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow\cos\left( {x + \dfrac{\pi}{3}} \right) = \cos\dfrac{\pi}{6} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi} \\ {x + \dfrac{\pi}{3} = - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi} \end{array}$ \right.\Leftrightarrow\left\lbrack $\begin{array}{l} {x = \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi} \\ {x = - \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi} \end{array}$ \right. \right.

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi} \\ {x = - \dfrac{\pi}{2} + k2\pi} \end{array}$ \right. \right. $(k \in {\mathbb{Z}})$.

Vậy $S = \left\{ {- \dfrac{\pi}{6} + k2\pi,k \in {\mathbb{Z}}; - \dfrac{\pi}{2} + k2\pi,k \in {\mathbb{Z}}} \right\}$ là tập nghiệm của phương trình.

Áp dụng công thức tính tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

$Q_{1} = 8,8 + \left( \dfrac{50 - 20}{35} \right).0,3 \approx 9,06$.

$Q_{3} = 9,4 + \left( \dfrac{150 - 115}{55} \right).0,3 \approx 9,59$.

Số lượng vi khuẩn lập thành một cấp số nhân $\left( u_{n} \right)$ với $u_{1} = 1$ và công bội q = 2.

Số lượng vi khuẩn lập thành một cấp số nhân $\left( u_{n} \right)$ với $u_{1} = 1$ và công bội q = 2.

Số vi khuẩn ban đầu là $u_{1} = 1$. Số vi khuẩn sau 1 phút là $u_{2}$. Số vi khuẩn sau 20 phút là $u_{20}$.

$u_{20} = u_{1}.q^{20 - 1} = 1.2^{20} = 1048576$ (vi khuẩn).