Đề giữa kì 1 Toán 11 năm 2025 – 2026 trường THPT Trà Ôn – Vĩnh Long

Dãy số $\left( u_{n} \right)$ là cấp số nhân nếu thương số giữa hai số hạng liên tiếp là hằng số $q = \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}}$.

Dãy số ở đáp án B là cấp số nhân với công bội q = 2.

Áp dụng công thức giải phương trình $\left. \cos x = \cos\alpha\Leftrightarrow x = \alpha + k2\pi \right.$ $(k \in {\mathbb{Z}})$.

$\cos\left( {4x + \dfrac{\pi}{3}} \right) = \cos\left( {2x + \dfrac{2\pi}{3}} \right)$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {4x + \dfrac{\pi}{3} = 2x + \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi} \\ {4x + \dfrac{\pi}{3} = - \left( {2x + \dfrac{2\pi}{3}} \right) + k2\pi} \end{array}$ \right. \right. $(k \in {\mathbb{Z}})$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {2x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi} \\ {6x = - \pi + k2\pi} \end{array}$ \right.\Leftrightarrow\left\lbrack $\begin{array}{l} {x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi} \\ {x = - \dfrac{\pi}{6} + k\dfrac{\pi}{3}} \end{array}$ \right. \right. $(k \in {\mathbb{Z}})$.

Sử dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân: $S_{n} = \dfrac{u_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$.

$S_{10} = \dfrac{4 \cdot (1 - {( - 3)}^{10})}{1 - ( - 3)} = - 59048$.

Áp dụng công thức cộng lượng giác đối với cosin.

$\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$.

Giá trị đại diện của nhóm [a; b) là trung điểm của khoảng: $x_{i} = \dfrac{a + b}{2}$.

Giá trị đại diện của nhóm [44; 51) là $x = \dfrac{44 + 51}{2} = 47,5$.

Độ dài cung tròn số đo $\alpha^{o}$ có bán kính R là $l = \dfrac{\pi R\alpha}{180}$.

$l = \dfrac{\pi.20.269}{180} = \dfrac{269\pi}{9}$ (cm).

Áp dụng công thức $Q_{1} = a_{p} + \dfrac{\dfrac{N}{4} - C_{p - 1}}{n_{p}}.(a_{p + 1} - a_{p})$.

Cỡ mẫu: n = 10 + 9 + 10 + 3 + 2 = 34.

$Q_{1} = 1 + \dfrac{\dfrac{34}{4} - 0}{10}.2,5 = \dfrac{25}{8}$.

Số đo tổng quát của góc lượng giác $(OA,OM) = \alpha^{o} + k360^{o}$ $(k \in {\mathbb{Z}})$.

Dựa vào hình vẽ, góc quay theo chiều dương từ OA đến OM bằng $60^{o}$.

Vậy số đo tổng quát theo độ là $60^{o} + k360^{o}$ $(k \in {\mathbb{Z}})$.

$\left. \tan x = \tan\alpha\Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \right.$ $(k \in {\mathbb{Z}})$.

$\left. \tan x = \tan\dfrac{\pi}{6}\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \right.$ $(k \in {\mathbb{Z}})$.

Áp dụng công thức $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$ để tìm $\cos\alpha$. Sau đó áp dụng công thức cộng $\sin(x - y) = \sin x\cos y - \cos x\sin y$.

Vì $\alpha \in \left( {0;\dfrac{\pi}{2}} \right)$$\alpha \in \left( {0;\dfrac{\pi}{2}} \right)$ nên $\cos\alpha > 0$.

$\Rightarrow\cos\alpha = \sqrt{1 - \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.

$\sin\left( {\alpha - \dfrac{\pi}{6}} \right) = \sin\alpha\cos\dfrac{\pi}{6} - \cos\alpha\sin\dfrac{\pi}{6}$

$= \dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{2\sqrt{2}}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{6} - \dfrac{\sqrt{2}}{3}$.

Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: $S_{n} = \dfrac{n}{2}\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d\rbrack$.

$S_{7} = \dfrac{7}{2}\left\lbrack {2.13 + (7 - 1).15} \right\rbrack = 406$.

Công sai $d = u_{n + 1} - u_{n}$.

$d = u_{9} - u_{8} = - 3 - ( - 10) = 7$.

a) Tìm TXĐ dựa vào điều kiện mẫu khác 0.

b) Tính f(-x) để xác định tính chẵn, lẻ.

c) Dựa vào tập giá trị của $\cos x$.

d) Từ phương trình f(x) = 3, tìm $\cos x$, từ đó áp dụng công thức nhân đôi để tìm $\cos 2x$.

a) Đúng. $- 1 \leq \cos x \leq 1\Rightarrow - 3 \leq 3\cos x \leq 3$

$\Rightarrow 2 \leq 3\cos x + 5 \leq 8$, $\forall x \in {\mathbb{R}}$.

Vậy TXĐ $D = {\mathbb{R}}$.

b) Sai. $\left. f( - x) = \dfrac{10}{3\cos( - x) + 5} = \dfrac{10}{3\cos x + 5} = f(x)\Rightarrow \right.$ Hàm số chẵn.

c) Sai. Trên $\left\lbrack {- \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}} \right\rbrack$, ta có $0 \leq \cos x \leq 1$

$\left. \Rightarrow 5 \leq 3\cos x + 5 \leq 8\Rightarrow\dfrac{10}{8} \leq f(x) \leq \dfrac{10}{5} = 2 \right.$.

Vậy GTLN của hàm số f(x) trên $\left\lbrack {- \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}} \right\rbrack$ bằng 2.

d) Sai. $\left. f(x) = 3\Leftrightarrow\dfrac{10}{3\cos x + 5} = 3\Leftrightarrow 3(3\cos x + 5) = 10 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 9\cos x = - 5\Leftrightarrow\cos x = - \dfrac{5}{9} \right.$.

Khi đó $\cos 2x = 2\cos^{2}x - 1 = 2\left( {- \dfrac{5}{9}} \right)^{2} - 1 = - \dfrac{31}{81}$.

a) Thay n = 7 vào $u_{n} = n^{2} + n$.

b) Giải phương trình $n^{2} + n = 5800$ tìm $n \in {\mathbb{N}}^{*}$.

c) Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$.

d) Tìm số M sao cho $S_{n} \leq M$ với mọi $n \in {\mathbb{N}}^{*}$.

a) Sai. $u_{7} = 7^{2} + 7 = 56$.

b) Sai. $\left. n^{2} + n = 5800\Leftrightarrow n^{2} + n - 5800 = 0 \right.$. Phương trình trên không có nghiệm n nguyên nên 5800 không phải là một số hạng của dãy số $\left( u_{n} \right)$.

c) Đúng. $u_{n + 1} - u_{n} = {(n + 1)}^{2} + (n + 1) - (n^{2} + n) = 2n + 2 > 0$ với mọi $n \in {\mathbb{N}}^{*}$. Do đó, dãy số tăng.

d) Sai. Ta có $u_{n} = n^{2} + n = n(n + 1)$. Khi đó:

$S_{n} = \dfrac{5}{1.2} + \dfrac{5}{2.3} + \dfrac{5}{3.4} + ... + \dfrac{5}{n(n + 1)}$

$= 5\left( {1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}} \right)$

$= 5\left( {1 - \dfrac{1}{n + 1}} \right) = 5 - \dfrac{5}{n + 1} < 5$.

Vậy dãy số $\left( S_{n} \right)$ bị chặn trên tại 5.

Chia cả tử và mẫu của P cho $\cos x \neq 0$ để đưa về biểu thức theo $\tan x$.

Vì $\tan x = 1$ nên $\cos x \neq 0$.

$P = \dfrac{2\cos x + 5\sin x}{\cos x - 3\sin x}$

$= \dfrac{2 + 5\tan x}{1 - 3\tan x}$ (chia cả tử và mẫu cho $\cos x$)

$= \dfrac{2 + 5.1}{1 - 3.1} = - 3,5$.

Giải phương trình rồi tìm số nghiệm thuộc khoảng $\left( {- 50\pi;50\pi} \right)$.

$\left. \cos 3x + \cos 2x = 0\Leftrightarrow\cos 3x = - \cos 2x \right.$

$\left. \Leftrightarrow\cos 3x = \cos(\pi - 2x)\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {3x = \pi - 2x + k2\pi} \\ {3x = - (\pi - 2x) + k2\pi} \end{array}$ \right. \right. $(k \in {\mathbb{Z}})$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {5x = \pi + k2\pi} \\ {x = - \pi + k2\pi} \end{array}$ \right. \right. $(k \in {\mathbb{Z}})$ $\left. \Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {x = \dfrac{\pi}{5} + k\dfrac{2\pi}{5}} \\ {x = - \pi + k2\pi} \end{array}$ \right. \right. $(k \in {\mathbb{Z}})$.

Hai họ nghiệm trên có thể gộp thành họ nghiệm $x = \dfrac{\pi}{5} + k\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{(2k + 1)\pi}{5}$ $(k \in {\mathbb{Z}})$.

Ta có $\left. - 50\pi < \dfrac{(2k + 1)\pi}{5} < 50\pi\Leftrightarrow - 125,5 < k < 124,5 \right.$.

Vì k nguyên nên $k \in \left\{ - 125; - 124; - 123;\ldots;123;124 \right\}$.

Số giá trị k thỏa mãn là 250, tương ứng với 250 nghiệm thuộc khoảng $\left( {- 50\pi;50\pi} \right)$.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.

Số cây mỗi dãy lập thành một cấp số cộng với $u_{1} = 12$, công sai d = 3.

Tổng số cây của 20 dãy là $S_{20} = \dfrac{20}{2}\lbrack 2.12 + (20 - 1).3\rbrack = 810$ (cây).

Đổi: 20,25 triệu đồng = 20250 nghìn đồng.

Chi phí trồng mỗi cây là: $\dfrac{20.250}{810} = 25$ (nghìn đồng).

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.

Doanh thu từ tháng 7 đến tháng 12 (6 tháng cuối năm) là tổng của cấp số nhân gồm 6 số hạng với $u_{1} = 3,5.1,08 = 3,78$ tỷ và q = 1,08.

Tổng doanh thu 6 tháng cuối năm là: $S_{c} = 3,78.\dfrac{1,08^{6} - 1}{0,08} \approx 27,7$ (tỷ đồng).

Tổng doanh thu cả năm là: 18 + 27,7 = 45,7 (tỷ đồng).

Áp dụng mối quan hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau để đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

$\left. \sin(3x - 10^{o}) - \cos 15^{o} = 0\Leftrightarrow\sin(3x - 10^{o}) = \cos 15^{o} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\sin(3x - 10^{o}) = \sin(90^{o} - 15^{o})\Leftrightarrow\sin(3x - 10^{o}) = \sin 75^{o} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {3x - 10^{o} = 75^{o} + k360^{o}} \\ {3x - 10^{o} = 180^{o} - 75^{o} + k360^{o}} \end{array}$ \right. \right. $(k \in {\mathbb{Z}})$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{array}{l} {3x = 85^{o} + k360^{o}} \\ {3x = 115^{o} + k360^{o}} \end{array}$ \right.\Leftrightarrow\left\lbrack $\begin{array}{l} {x = \dfrac{85^{o}}{3} + k120^{o}} \\ {x = \dfrac{115^{o}}{3} + k120^{o}} \end{array}$ \right. \right. $(k \in {\mathbb{Z}})$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng $u_{n} = u_{1} + (n - 1)d$, giải hệ phương trình hai ẩn $u_{1}$ và d. Từ đó áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng $S_{n} = \dfrac{n}{2}\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d\rbrack$.

$\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {3u_{3} + 7u_{7} = 84} \\ {u_{2} + 5u_{4} = 12} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {3(u_{1} + 2d) + 7(u_{1} + 6d) = 84} \\ {(u_{1} + d) + 5(u_{1} + 3d) = 12} \end{array} \right.$ \right.

$\left. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {3u_{1} + 6d + 7u_{1} + 42d = 84} \\ {u_{1} + d + 5u_{1} + 15d = 12} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {10u_{1} + 48d = 84} \\ {6u_{1} + 16d = 12} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} = - 6} \\ {d = 3} \end{array} \right.$ \right..

$S_{11} = \dfrac{11}{2}\lbrack 2( - 6) + (11 - 1)3\rbrack = 99$.

Tìm số hạng đầu của $\left( u_{n} \right)$, từ đó áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân $u_{n} = u_{1}.q^{n - 1}$.

$\left. u_{5} = u_{1}.q^{4}\Leftrightarrow - 27 = u_{1}.{( - 3)}^{4}\Leftrightarrow u_{1} = - \dfrac{1}{3} \right.$.

Giả sử 531441 là số hạng thứ n của cấp số nhân $(n \in {\mathbb{N}}^{*})$.

$\left. - \dfrac{1}{3}.{( - 3)}^{n - 1} = 531441\Leftrightarrow n = 14 \right.$.

Vậy 531441 là số hạng thứ 14 của cấp số nhân.