Đề giữa kỳ 2 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Ngọc Lặc – Thanh Hóa

$\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$.

Ta có $\sqrt[5]{{{a^3}}} = {a^{\frac{3}{5}}}$.

Dựa vào các công thức biến đổi lũy thừa đã học.

${a^m}{b^n} = {\left( {ab} \right)^{m + n}}$ là đẳng thức sai.

Sử dụng công thức ${\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b$ và ${\log _a}a = 1$.

$A = {\log _{{a^5}}}a = \frac{1}{5}{\log _a}a = \frac{1}{5}.1 = \frac{1}{5}$.

${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$; ${\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b$; ${\log _a}a = 1$.

${\log _a}\left( {{a^5}{b^3}} \right) = {\log _a}{a^5} + {\log _a}{b^3} = 5{\log _a}a + 3{\log _a}b = 5 + 3{\log _a}b$.

Hàm số mũ có dạng $y = {a^x}$ với a dương và a khác 1.

$y = {\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^x}$ là hàm số mũ.

Đưa hai vế về cùng cơ số.

${2^{x - 2}} = 8 \Leftrightarrow {2^{x - 2}} = {2^3} \Leftrightarrow x - 2 = 3 \Leftrightarrow x = 5$.

Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với m và n.

ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên AC // A’C’, suy ra $\left( {BD,A'C'} \right) = \left( {BD,AC} \right) = {90^o}$ (vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc).

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau và nằm trong (P).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $AB \bot AD$. Mặt khác $SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AB$.

$\left.$$\begin{array}{l}AB \bot AD\\SA \bot AB\end{array}$ \right\} \Rightarrow AB \bot (SAD).

Áp dụng các tính chất liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

$\left.$$\begin{array}{l}b//a\\a \bot (P)\end{array}$ \right\} \Rightarrow b \bot (P), do đó mệnh đề ở đáp án D sai.

$\left.$$\begin{array}{l}AH \bot (P)\\H \in (P)\end{array}$ \right\} \Rightarrow H là hình chiếu của A lên (P).

$SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là A.

Tính góc giữa hai đường thẳng thuộc mỗi mặt phẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

$\left.$$\begin{array}{l}(SBC) \cap (ABCD) = BC\\AB \bot BC,AB \subset (ABCD)\\SB \bot BC,SB \subset (SBC)\\AB \cap SB = \{ B\} \end{array}$ \right\} \Rightarrow \left( {(SBC) \cap (ABCD)} \right) = \widehat {SBA} \ne {90^o}.

Vậy khẳng định $\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ là sai.

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và d’ - hình chiếu của d lên (P).

$SA \bot (ABC)$ nên hình chiếu của S lên (ABC) là A. Mặt khác, hình chiếu của B lên (ABC) là B. Do đó, hình chiếu của SB lên (ABC) là AB.

Vậy $\left( {SB,(ABC)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}$.

Xét bất phương trình có dạng: ${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x)$. Tìm TXĐ và giải:

- Với a > 1: BPT tương đương $\{\begin{array}{l}f(x)>0\\ f(x)>g(x)\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) > g(x)\end{array} \right.$.

- Với 0 < a < 1: BPT tương đương $\{\begin{array}{l}f(x)>0\\ f(x)<g(x)\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) < g(x)\end{array} \right.$.

a) Sai. ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}2x+1>0\\ 3x>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-\frac{1}{2}\\ x>0\end{array}\iff x>0$$\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 > 0\\3x > 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{1}{2}\\x > 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow x > 0.

Vậy $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

b) Sai. Vì 0,3 < 1 nên $2x + 1 \ge 3x$.

c) Đúng. $2x + 1 \ge 3x \Leftrightarrow x \le 1$. Kết hợp TXĐ suy ra tập nghiệm là S = (0; 1].

d) Đúng. $x = \frac{1}{2} \in S$.

Áp dụng các công thức biến đổi lũy thừa và logarit.

a) Đúng. ${\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{mn}} = {\left( {{x^n}} \right)^m}$.

b) Đúng. ${x^{2m}} = {\left( {{x^m}} \right)^2}$.

c) Sai. ${\log _5}25x = {\log _5}25 + {\log _5}x = 2 + {\log _5}x$.

d) Sai. ${\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\frac{1}{3}}}(3{x^3}y) + {\log _9}(3{y^3}) = 1$
${\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\frac{1}{3}}}(3{x^3}y) + {\log _9}(3{y^3})$
$= {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}x + {\log _{{3^{ - 1}}}}3 + {\log _{{3^{ - 1}}}}{x^3} + {\log _{{3^{ - 1}}}}y + {\log _{{3^2}}}3 + {\log _{{3^2}}}{y^3}$
$= 2{\log _3}x - 1 - 3{\log _3}x - {\log _3}y + \frac{1}{2} + \frac{3}{2}{\log _3}y$
$= - {\log _3}x + \frac{1}{2}{\log _3}y - \frac{1}{2}$.

Cách tính góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với m và n.

Cách tính góc giữa hai mặt phẳng: Tính góc giữa hai đường thẳng thuộc mỗi mặt phẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

a) Đúng. $\left.$$\begin{array}{l}SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array}$ \right\}

$\Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB$.

b) Đúng. $\left.$$\begin{array}{l}(ABC) \cap (SBC)\\AB \bot BC,AB \subset (ABC)\\SB \bot BC,SB \subset (SBC)\end{array}$ \right\}

$\Rightarrow \left( {(ABC),(SBC)} \right) = \left( {SB,AB} \right)$.

c) Sai. Xét tam giác SAB vuông tại A:

$\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = {60^o} \Rightarrow \cos \widehat {SBA} = \frac{1}{2}$.

d) Sai. $\left( {(ABC),(SBC)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = {60^o}$.

Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

a) Đúng. Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

b) Đúng. Tam giác ABC đều, H là trung điểm của BC nên $AH \bot BC$.

$\left.$$\begin{array}{l}SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AH \bot BC\end{array}$ \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAH} \right).

c) Sai. $\left.$$\begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\\SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array}$ \right\} \Rightarrow \left( {(SAB),(SAC)} \right) = \left( {AB,AC} \right) = \widehat {BAC} = {60^o}.

d) Đúng. Tam giác ABC cân tại S, H là trung điểm của BC nên $SH \bot BC$.

$\left.$$\begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SH \bot BC\\AH \bot BC\end{array}$ \right\} \Rightarrow \left( {(SBC),(ABC)} \right) = \left( {SH,AH} \right) = \widehat {SHA}.

Áp dụng công thức ${\log _a}MN = {\log _a}M + {\log _a}N$.

Ta có ${\log _2}48 = {\log _2}\left( {16.3} \right)$

$= {\log _2}{2^4} + {\log _2}3 = 4 + 1,585 = 5,585 \approx 5,59$.

Tính góc $\widehat {SOC}$.

Gọi $O = BD \cap AC$.

$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD$, mà $OA \bot BD$ $\Rightarrow BD \bot \left( {SAO} \right)$ $\Rightarrow BD \bot SO$ và $BD \bot CO$.

Nên góc phẳng nhị diện $\left[ {S;BD;C} \right] = \widehat {SOC}$.

Mặt khác $SA \bot AO$ và $OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = SA$ $\Rightarrow \Delta SAO$ vuông cân tại A

$\Rightarrow \widehat {SOA} = {45^o} \Rightarrow \widehat {SOC} = {135^o}$.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính góc tạo bởi đường thẳng chứa tia nắng và đường thẳng chứa cái bóng của cột.

Từ giả thiết đề bài ta có: $\Delta ABC$ có $\widehat B = {90^o}$, AB = 5, BC = 9.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại A:

$\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{9} \Rightarrow \widehat {ACB} \approx {29^o}$.

Giải bất phương trình mũ M(t) < 10.

Khối lượng plonium – 210 nhỏ hơn 10 nên ta có:

$M\left( x \right) < 10 \Leftrightarrow 100.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{x}{{138}}}} < 10$

$\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{x}{{138}}}} < \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \frac{x}{{138}} > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{{10}}} \right)$

$\Leftrightarrow x > 138{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{{10}}} \right) \approx 458,4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của x là 459 ngày.

Áp dụng công thức tính lãi kép: $A = P{(1 + r)^t}$.

Lãi suất năm là 8% một năm nên lãi suất kì hạn 6 tháng sẽ là 4%.

Thay A = 150, P = 120, r = 0,04 vào công thức $A = P{(1 + r)^t}$ ta có:

$150 = 100{\left( {1 + 0,04} \right)^t}$

$\Leftrightarrow 1,25 = 1,{04^t} \Leftrightarrow t = {\log _{1,04}}1,25 \approx 5,69$.

Vậy sau 6 kì gửi tiết kiệm kì hạn 6 tháng , tức là sau 36 tháng người đó sẽ nhận được ít nhất 150 triệu đồng.

Chứng minh $AK \bot SM$. Áp dụng hệ thức lượng đối với tam giác vuông SAM.

Gọi $M = SK \cap BC$.

Ta có $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ (1)

K là trực tâm của tam giác SBC $\Rightarrow BC \bot SK$(2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow BC \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow BC \bot AK$ (3)

Chứng minh tương tự ta có: $SC \bot AK$ (4)

Từ (3), (4) $\Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot SM$.

$SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AM \Rightarrow \Delta SAM$ vuông tại A.

Vậy trong tam giác vuông SAM có:

$AK \bot SM \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}$  (5)

Mặt khác: $\Delta ABC$ vuông tại A có $AM \bot BC$ ($BC \bot \left( {SAK} \right)$) $\Rightarrow \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$   (6)

Từ (5) và (6) $\Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$

$= \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{{49}}{{36}}$.

$\Rightarrow AK = \frac{6}{7} \approx 0,86$.