Đề cuối học kì 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Nguyễn Trãi – Thái Bình

Áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song.

Có $\{\begin{array}{l}AB\mathrm{/}\mathrm{/}CD\\ AB\subset (SAB)\\ CD\subset (MCD)\\ M\in (SAB)\cap (MCD)\end{array}\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}AB//CD\\AB \subset (SAB)\\CD \subset (MCD)\\M \in (SAB) \cap (MCD)\end{array} \right.$ \Rightarrow Giao tuyến của (SAB) và (SAB) là đường thẳng d qua M song song với AB. Xét mặt phẳng (SAB), giả sử d cắt SB tại N.

Có $\{\begin{array}{l}N\in SB\\ N\in d\subset (MCD)\end{array}\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}N \in SB\\N \in d \subset (MCD)\end{array} \right.$ \Rightarrow N là giao điểm của SB và (MCD).

Mặt khác, MN // AB và M là trung điểm của SA, suy ra N cũng là trung điểm của SB.

$\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k2\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\cot (x - {15^o}) - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot (x - {15^o}) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot (x - {15^o}) = \cot {30^o}$

$$\Leftrightarrow x - {15^o} = {30^o} + k{180^o} \Leftrightarrow x = {45^o} + k{180^o}$$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Dựa vào tính chất của các hàm số lượng giác cơ bản.

Trong các hàm số lượng giác cơ bản, $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

Tính $u_2$ rồi tính $u_3$ bằng cách thay n = 2, n = 3 vào công thức truy hồi.

${u_2} = 2{u_1} - 5 = 2.1 - 5 = - 3$.

${u_3} = 2{u_2} - 5 = 2.( - 3) - 5 = - 11$.

Chia cả tử và mẫu cho n.

$\lim \frac{{3n + 1}}{{n + 2}} = \lim \frac{{3 + \frac{1}{n}}}{{1 + \frac{2}{n}}} = 3$.

Áp dụng các tính chất của giới hạn hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {4x - 3f(x)} \right] = \mathop {4\lim }\limits_{x \to 3} x - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = 4.3 - 3.2 = 6$.

Áp dụng tính chất trọng tâm tam giác và định lí Thales.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD.

Khi đó MN là đường trung bình của tam giác BCD, suy ra $MN = \frac{{BD}}{2} = \frac{a}{2}$.

Dễ dàng chứng minh I thuộc AM, J thuộc AN.

Theo tính chất trọng tâm tam giác, ta có: $\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}$.

Áp dụng định lí Thales, suy ra IJ // AM.

Vậy $\frac{{IJ}}{{MN}} = \frac{{AI}}{{AM}} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ = \frac{{2MN}}{3} = \frac{a}{3}$.

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nếu (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng song song với (Q).

Vì BD // B’D’ nên BD // (AB’D’);

C’D // AB’ nên C’D // (AB’D’);

Mà C’D giao BD tại D.

Do đó (C’BD) // (AB’D’).

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$.

${u_5} = {u_1}{q^4} = - {2.3^4} = - 162$.

Tại các điểm hàm số không xác định, hàm số không liên tục.

Hàm số không xác định tại x = 1, x = 2.

Do đó hàm số liên tục trên (1;2).

Tìm hai điểm cùng thuộc cả hai mặt phẳng. Đường thẳng đi qua hai điểm đó là giao tuyến của hai mặt phẳng.

$\{\begin{array}{l}S\in (SAB)\cap (SCD)\\ O\in AB\subset (SAB)\\ O\in CD\subset (SCD)\end{array}\Rightarrow (SAB)\cap (SCD)=SO$$\left\{ \begin{array}{l}S \in (SAB) \cap (SCD)\\O \in AB \subset (SAB)\\O \in CD \subset (SCD)\end{array} \right.$ \Rightarrow (SAB) \cap (SCD) = SO.

Dựa vào công thức nhân đôi.

Theo công thức nhân đôi, ta có $\cos 2a = 2\cos^{2}a - 1$.

a) Tính giới hạn một phía của hàm số khi $x \to -2^+$.

b) Để hàm số có giới hạn tại $x = -2$, giới hạn trái phải bằng giới hạn phải.

c) Tính giá trị của hàm số tại $x = -2$.

d) Kiểm tra tính liên tục của hàm số tại x = -2 khi a = 2, b = 0. Hàm số liên tục tại $x_0$ nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

a) Đúng. Ta có $\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} (x + 1) = -2 + 1 = -1$.

b) Đúng. Để hàm số có giới hạn tại x = -2, ta cần:

$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x)$; $\lim_{x \to -2^-} \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - 4} = -1$.

Để giới hạn này hữu hạn khi mẫu số tiến về 0, từ số cũng phải tiến về 0.

Suy ra $(-2)^2 + a(-2) + b = 0 \Rightarrow 4 - 2a + b = 0 \Rightarrow b = 2a - 4$.

Khi đó, $\lim_{x \to -2^-} \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - 4} = \lim_{x \to -2^-} \frac{x + a - 2}{x - 2}$

$= \frac{-2 + a - 2}{-2 - 2} = \frac{a - 4}{-4} = \frac{4 - a}{4}$.

Vậy $\frac{4 - a}{4} = -1 \Rightarrow 4 - a = -4 \Rightarrow a = 8$.

Thay a = 8 vào b = 2a - 4, ta có b = 12.

Vậy 3a - b = 3.8 - 12 = 12.

c) Sai. f(-2) được xác định bởi nhánh x + 1 khi $x \geq -2$.

Có f(-2) = -2 + 1 = -1.

d) Đúng. Khi a = 2, b = 0: $\lim_{x \to -2^+} f(x) = -1$.

$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4}$

$= \lim_{x \to -2^-} \frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to -2^-} \frac{x}{x - 2} = \frac{1}{2}$.

Vì $\lim_{x \to -2^+} f(x) \neq \lim_{x \to -2^-} f(x)$, nên hàm số không có giới hạn tại x = -2.

Do đó hàm số không liên tục tại x = -2.

a) Kiểm tra mối quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng.

b) Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

c) Kiểm tra mối quan hệ song song giữa hai đường thẳng bằng định lý Ta-lét đảo hoặc tính chất đường trung bình.

d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.

a) Đúng. I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC.

Trong $\Delta ABC$, IJ là đường trung bình nên IJ // AC.

Mà $IJ \subset (SIJ)$. Do đó AC // (SIJ).

b) Sai. I là trung điểm của AB, J là trung điểm của BC. IJ là đoạn thẳng nối hai điểm trong mặt phẳng (ABC). SB là đoạn thẳng nối S với B.

Hai đường thẳng IJ và SB không đồng phẳng. Do đó, IJ và SB không cắt nhau.

c) Đúng. H là trọng tâm của $\Delta SAB$, K là trọng tâm của $\Delta SBC$.

Trên SI, H là trọng tâm nên $\frac{SH}{SI} = \frac{2}{3}$.

Trên SJ, K là trọng tâm nên $\frac{SK}{SJ} = \frac{2}{3}$.

Trong $\Delta SJJ$, ta có $\frac{SH}{SI} = \frac{SK}{SJ} = \frac{2}{3}$.

Theo định lý Ta-lét đảo, HK // IJ.

d) Đúng. Ta có B là điểm chung của (BHK) và (ABC).

Trong (ABC), có IJ // AC, trong (BHK), có HK // IJ (theo câu c).

Vậy HK // AC.

Giao tuyến của (BHK) và (ABC) là đường thẳng đi qua B và song song với AC.

Để chứng minh điều này, ta xét mặt phẳng (BIJ) (hay (ABC)).

Ta có B là một điểm chung của hai mặt phẳng (BHK) và (ABC).

Mặt khác, HK // IJ. Mà $IJ \subset (ABC)$.

Từ HK // IJ và $IJ \subset (ABC)$, suy ra HK // (ABC).

Vì $HK \subset (BHK)$ và HK // (ABC), nên giao tuyến của (BHK) và (ABC) song song với HK.

Do đó, giao tuyến của (BHK) và (ABC) là đường thẳng d đi qua B và song song với HK.

Vì HK // IJ và IJ // AC, suy ra HK // AC.

Vậy d // AC.

a) Rút gọn biểu thức lượng giác bằng cách sử dụng các công thức cộng, biến đổi tổng thành tích.

b) Giải phương trình P = 0 để tìm số nghiệm trong khoảng cho trước.

c) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

d) Thay giá trị x vào biểu thức đã rút gọn để tính giá trị của P.

a) Sai. Điều kiện $\cos x \neq -1 \Leftrightarrow x \neq \pi + k2\pi$.

$P = \frac{\sin x + 2\sin 2x + \sin 3x}{\cos x + 1}$

$\frac{2\sin \frac{x + 3x}{2} \cos \frac{x - 3x}{2} + 2\sin 2x}{\cos x + 1}$

$= \frac{2\sin 2x \cos(-x) + 2\sin 2x}{\cos x + 1}$

$\frac{2\sin 2x \cos x + 2\sin 2x}{\cos x + 1}$

$= 2 \sin 2x$.

Vậy $P = 2 \sin 2x$.

b) Sai. Cho $P = 0 \Rightarrow 2 \sin 2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0$.

$\Rightarrow 2x = k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2} \text{ với } k \in \mathbb{Z}$.

Trong khoảng $[0; 2\pi]$:

Với $k = 0 \Rightarrow x = 0$.

Với $k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$.

Với $k = 2 \Rightarrow x = \pi$ (loại).

Với $k = 3 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2}$.

Với $k = 4 \Rightarrow x = 2\pi$.

Vậy các giá trị x để P = 0 là $0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$. Có 4 giá trị.

c) Sai. Điều kiện xác định của biểu thức P là:

$\cos x + 1 \neq 0 \Rightarrow \cos x \neq -1 \Rightarrow x \neq \pi + k2\pi$.

d) Đúng. Tại $x = \frac{\pi}{4}$ (thoả mãn điều kiện): $P = 2 \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = 2 \sin \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 1 = 2$.

a) Xác định số hàng ghế n.

b) Xác định công sai của cấp số cộng và tính chất của dãy số.

c) Thiết lập mối quan hệ giữa $u_1$ và $u_n$.

d) Tính tổng số ghế của khán đài.

b) Đúng. Gọi $u_k$ là số ghế ở hàng thứ k, với k = 1 là hàng dưới cùng và k = n là hàng trên cùng.

Theo đề bài, số ghế mỗi hàng trên đều hơn số ghế mỗi hàng dưới kề nó là 50 ghế.

Điều này có nghĩa là dãy số $(u_1, u_2, \ldots, u_n)$ là một cấp số cộng với công sai d = 50.

c) Sai. Số ghế hàng trên cùng $(u_n)$ gấp đôi số ghế hàng dưới cùng $(u_1)$, có $u_n = 2u_1$.

a) Đúng. Tổng số ghế của 2 hàng trên cùng là 1550 ghế. Tức là $u_n + u_{n-1} = 1550$.

Ta có $u_n = u_1 + (n - 1)d = u_1 + 50(n - 1)$.

$u_{n-1} = u_1 + (n - 2)d = u_1 + 50(n - 2)$.

Do đó, $u_n + u_{n-1} = 2u_1 + 50(2n - 3) = 1550$. (1)

Và $u_n = 2u_1 \Rightarrow u_1 + 50(n - 1) = 2u_1 \Rightarrow u_1 = 50(n - 1)$. (2)

Thay (2) vào (1):

$2 50(n - 1) + 50(2n - 3) = 1550$

$\Leftrightarrow 200n - 250 = 1550$

$\Leftrightarrow n = 9$.

Vậy khán đài có 9 hàng ghế.

d) Sai. Sức chứa của khán đài là tổng số ghế của $n$ hàng, $S_n$.

$S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$. Ta có n = 9.

$u_1 = 50(n - 1) = 50(9 - 1) = 50 8 = 400$ ghế.

$u_n = 2u_1 = 2 400 = 800$ ghế.

$S_9 = \frac{9(400 + 800)}{2} = \frac{9 1200}{2} = 9 600 = 5400$ ghế.

Vậy sức chứa của khán đài là 5400 chỗ ngồi.

Chứng minh MN // SA dựa vào định lí Thales đảo và tỉ lệ đã cho. Suy ra MN // (SAB). Để (CMN) // (SAB), cần thêm CM // AB.

CM // AB $\Leftrightarrow AMCB$ là hình bình hành $\Leftrightarrow AM = BC$.

Thay $AM = \frac{2}{5} AD$ và $BC = \frac{AD}{x}$ vào điều kiện AM = BC để tìm x.

Để (CMN) // (SAB), ta cần hai đường thẳng cắt nhau trong (CMN) song song với (SAB).

Vì $\frac{SN}{SD} = \frac{AM}{AD} = \frac{2}{5}$ (theo định lí Thales đảo trong $\Delta SAD$), suy ra MN // SA.

Mà $SA \subset (SAB)$, nên MN // (SAB).

Để (CMN) // (SAB), ta cần thêm CM // AB.

Vì ABCD là hình thang với AD // BC, để CM // AB thì tứ giác AMCB phải là hình bình hành $\Leftrightarrow AM = BC$.

Lại có $AM = \frac{2}{5}AD$.

Để  AM = BC  thì $BC = \frac{2}{5}AD$. Suy ra $AD = \frac{5}{2}BC$.

Vậy giá trị của x là $\frac{5}{2} = 2,5$.

Cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu là $u_1$ và công bội q thì số hạng tổng quát $u_n$ của nó được xác định bởi công thức $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ với $n \geq 2$.

Cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu là $u_1$ và công bội q khác 0. Đặt $S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n$.

Khi đó: $S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n = \frac{u_1 \left( 1 - q^n \right)}{1 - q}$.

Gọi $u_1$ là số tiền phải trả cho 10 số điện đầu tiên, khi đó, $u_1 = 1500.10 = 15000$ (đồng).

$u_2$ là số tiền phải trả cho các số điện từ 11 đến 20: $u_2 = u_1(1 + 0,025)$ (đồng).

$u_3$ là số tiền phải trả cho các số điện từ 21 đến 30: $u_3 = u_2(1 + 0,025) = u_1(1 + 0,025)^2$ (đồng).

$u_{34}$ là số tiền phải trả cho các số điện từ 331 đến 340: $u_{34} = u_1(1 + 0,025)^{33}$ (đồng).

Số tiền phải trả cho 340 số điện đầu tiên là: $S_1 = u_1 \frac{1 - (1 + 0,025)^{34}}{1 - (1 + 0,025)} \approx 789193,2796$ (đồng).

Số tiền phải trả cho các số điện từ 341 đến 345 là: $S_2 = 5.1500(1 + 0,025)^{34} \approx 17364,916$ (đồng).

Vậy tháng 1 gia đình ông A phải trả số tiền là: $789193,2796 + 17364,916 \approx 806558,2$ (đồng) $\approx 807$ (nghìn đồng).

Giải phương trình lượng giác cos $x = \frac{1}{2}$ trên đoạn $[-\pi; \pi]$.

Xác định các giá trị của x trong khoảng đã cho.

Giải phương trình $\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow$$\begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \end{cases}$, \, k \in \mathbb{Z}

Xét $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi$: Nếu k = 0, $x = \frac{\pi}{3} \in [-\pi; \pi]$

Xét $x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi$: Nếu k = 0, $x = -\frac{\pi}{3} \in [-\pi; \pi]$.

Vậy có 2 giá trị của x trên đoạn $[-\pi; \pi]$ để hàm số $y = \cos x$ nhận giá trị bằng $\frac{1}{2}$.

Xây dựng mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua M và song song với SC, BD.

Sử dụng định lí Thales và tính chất đường trung bình trong tam giác để tìm tỉ số $\frac{SN}{SD}$.

Trong mặt phẳng (ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song với BD, cắt CD tại P.

Vì M là trung điểm BC, và MP // BD, thì P là trung điểm CD.

Vậy MP $\subset (\alpha)$ và MP // BD.

Trong mặt phẳng (SCD), qua P kẻ đường thẳng song song với SC, cắt SD tại N.

Khi đó PN $\subset (\alpha)$ và PN // SC.

Vậy N là điểm trên SD mà mặt phẳng $(\alpha)$ cắt SD.

Theo định lí Thales trong $\Delta SCD$, PN // SC và P là trung điểm CD nên N phải là trung điểm SD.

Do đó $\frac{SN}{SD} = \frac{1}{2}$.

Xác định dãy số biểu diễn số tiền lương mỗi năm của chị An.

Tính tổng của dãy số đó sau 10 năm.

Dãy số này là một cấp số cộng. Tổng số tiền lương chị An nhận được sau 10 năm làm việc là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng.

Gọi $u_k$ là số tiền lương của chị An trong năm thứ k.

Năm thứ 1: $u_1 = 72$ triệu đồng.

Từ năm thứ 2 trở đi, công ty tăng lương mỗi năm thêm 20 triệu đồng.

Dãy số $(u_k)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 72$ và công sai d = 20.

Tổng số tiền lương chị An nhận được sau 10 năm làm việc là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng này:

$S_{10} = \frac{10}{2} (2u_1 + (10 - 1)d) = 5. (2.72 + 9.20) = 1620$.

Vậy sau 10 năm làm việc cho công ty đó, tổng số tiền lương chị An nhận được là 1620 triệu đồng.

Hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$.

Tính giới hạn của hàm số khi $x \to 1$.

Tính giá trị của hàm số tại x = 1.

Cho hai giá trị đó bằng nhau để tìm m.

Có $f(1) = m - 2024$.

Khi $x \neq 1$, $f(x) = \frac{\sqrt{2x - 1} - 1}{x - 1}$, ta có:

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x - 1} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{2x - 1} - 1)(\sqrt{2x - 1} + 1)}{(x - 1)(\sqrt{2x - 1} + 1)}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{(2x - 1) - 1}{(x - 1)(\sqrt{2x - 1} + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{2x - 2}{(x - 1)(\sqrt{2x - 1} + 1)}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{2(x - 1)}{(x - 1)(\sqrt{2x - 1} + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{2}{\sqrt{2x - 1} + 1} = 1$.

Vậy $\lim_{x \to 1} f(x) = 1$.

Để hàm số liên tục tại $x = 1$, ta phải có $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$.

$1 = m - 2024 \Rightarrow m = 2025$.

Vậy giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại x = 1 là m = 2025.