Đề cuối kì 2 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Nguyễn Huệ – Đà Nẵng

- Đồ thị của hàm số $y = ax^{2}$ ($a \neq 0$) là một đường cong parabol đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$.

- Nhận xét về tính chất đối xứng: Với mỗi điểm $M(x_{0};y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số ($y_{0} = ax_{0}^{2}$), thì điểm $M'( - x_{0};y_{0})$ cũng thuộc đồ thị hàm số vì $a{( - x_{0})}^{2} = ax_{0}^{2} = y_{0}$.

- Hai điểm $M(x_{0};y_{0})$ và $M'( - x_{0};y_{0})$ luôn đối xứng với nhau qua trục tung ($Oy$).

Đồ thị hàm số $y = ax^{2}$ ($a \neq 0$) nhận trục tung ($Oy$) làm trục đối xứng.

- Phương trình bậc hai một ẩn có dạng tổng quát là: $ax^{2} + bx + c = 0\ (a \neq 0)$

Trong đó:

+ $a$ là hệ số của $x^{2}$.

+ $b$ là hệ số của $x$.

+ $c$ là hệ số tự do.

Phương trình bậc hai $4x^{2} + 3x - 2 = 0$ có hệ số $a,b,c$ lần lượt là 4; 3; –2.

Tứ giác được gọi là tứ giác nội tiếp một đường tròn (hay gọi tắt là tứ giác nội tiếp) nếu cả bốn đỉnh của tứ giác đó đều nằm trên đường tròn ấy.

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn.

Điểm đối xứng với điểm $M(x_{0};y_{0})$ qua trục tung $Oy$ sẽ là điểm $M'( - x_{0};y_{0})$.

Điểm đối xứng với điểm (2; 8) qua trục tung Oy là (-2; 8).

Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng $ax^{2} + bx + c = 0$ trong đó $x$ là ẩn; $a, b, c$ là những số cho trước (hệ số) và $a \neq 0$.

Đáp án A: $2x^{2} - 3 = 0$: Là phương trình bậc hai một ẩn (với $a = 2,b = 0,c = - 3$).

Đáp án B: $x^{2} + 3x + 1 = 0$: Là phương trình bậc hai một ẩn đầy đủ (với $a = 1,b = 3,c = 1$).

Đáp án C: $5x^{2} - 4 = 0$: Là phương trình bậc hai một ẩn (với $a = 5,b = 0,c = - 4$).

Đáp án D: $2x + 32 = 0$: Đây là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ba đường trung tuyến: Cắt nhau tại trọng tâm của tam giác.

Ba đường trung trực: Cắt nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ba đường cao: Cắt nhau tại trực tâm của tam giác.

Ba đường phân giác trong: Cắt nhau tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực.

Một đa giác đều (hình phẳng đều) là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Đáp án A: Biển báo có hình bát giác đều là hình phẳng đều.

Đáp án B: Biển báo có hình tam giác đều là hình phẳng đều.

Đáp án C: Biển báo có hình hình vuông là hình phẳng đều.

Đáp án D: Biển báo có hình hình chữ nhật (chỉ có các cặp cạnh đối bằng nhau, các cạnh kề không bằng nhau) không phải là hình phẳng đều.

Khi quay một hình chữ nhật quanh một cạnh cố định, ta sẽ thu được một hình tròn xoay gọi là hình trụ.

Khi chọn cạnh AB làm trục quay cố định: Các cạnh AD và BC vuông góc với trục quay AB. Khi quay, chúng sẽ quét nên hai hình tròn đáy bằng nhau. Do đó, bán kính đáy của hình trụ được tạo thành chính bằng độ dài của đoạn thẳng AD (hoặc BC).

Chiều cao ($h$): Là độ dài đoạn thẳng nối từ đỉnh đến tâm của đường tròn đáy và vuông góc với đáy.

Đường sinh ($l$): Là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến một điểm bất kỳ nằm trên đường tròn đáy.

Quan sát hình nón trên ta thấy chiều cao và đường sinh lần lượt là SO và SA.

Trong thống kê, tần số của một giá trị là số lần xuất hiện của giá trị đó trong dãy dữ liệu

Tần số xuất hiện của thời gian 7 phút trong dãy dữ liệu trên là 6.

Tần số tương đối ($f$) của một giá trị được tính bằng tỉ số giữa tần số của giá trị đó ($n$) và tổng số số liệu (kích thước mẫu $N$).

Tần số tương đối của thời gian 7 phút trong dãy dữ liệu trên là $f = \dfrac{6}{24} \cdot 100\% = 0,25 \cdot 100\% = 25\%$

Bước 1: Quan sát hàng "Thời gian" để tìm giá trị nhỏ nhất

Bước 2: Nhìn xuống hàng "Tần số" ở cùng cột với giá trị thời gian ngắn nhất vừa tìm được để xác định số lượng học sinh tương ứng.

Có 1 học sinh giải xong một bài toán trong thời gian ngắn nhất.

a) Áp dụng định lý Vi -ét nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trường hợp đặc biệt.

b) Dựa vào định nghĩa góc nội tiếp đường tròn.

a) Đúng: Theo định lý Vi-ét, tích hai nghiệm của phương trình bậc hai là $x_{1} \cdot x_{2} = \dfrac{c}{a}$. Vì $x_{1} = 1$ nên nghiệm còn lại bắt buộc phải là $x_{2} = \dfrac{c}{a}$.

b) Sai: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón: $S_{xq} = \pi \cdot R \cdot l$

Ta có: $S_{xq} = \pi \cdot 2 \cdot 5 = 10\pi\text{~(cm}^{2}\text{)}$ $\approx$ $31,4$ ${~(cm}^{2})$

Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho khoảng $31,4$ ${~cm}^{2}$

Công thức tính diện tích mặt cầu khi biết bán kính $R$ là: $S = 4\pi R^{2}$

Ta có: $S = 4 \cdot \pi \cdot 10^{2} = 4 \cdot \pi \cdot 100 = 400\pi\text{~(cm}^{2}\text{)}$ $\approx$ $1257$ ${~(cm}^{2})$

Lập bảng giá trị của hàm số, thường chọn 5 điểm đối xứng qua gốc tọa độ O. Sau đó vẽ đồ thị hàm số là đường cong Parabol đi qua 5 điểm đó.

a) Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y:

b) Vẽ đúng dạng của đồ thị.

Áp dụng định lí Vi-ét.

Áp dụng định lí Viète, ta có:

_{$x_{1} + x_{2} = \dfrac{5}{2};x_{1}x_{2} = \dfrac{3}{2}$}

Ta có: A= _{$x_{1} + x_{2} - 4x_{1}x_{2} = \dfrac{5}{2} - 4.\dfrac{3}{2} = - \dfrac{7}{2}$}

Bước 1: Tính tổng số số liệu ($N$)

Bước 2: Tìm tần số ($n$) của từng giá trị điểm số bằng cách đếm số lần lặp lại của mỗi loại điểm (từ $5$ đến 10)

Bước 3: Tính tần số tương đối: $f = \dfrac{n}{N} \cdot 100\%$

Ta có bảng tần số tương đối về số điểm kiểm tra Toán

+ Chọn ẩn số là chiều dài (hoặc chiều rộng) ban đầu và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.

+ Biểu diễn đại lượng còn lại theo ẩn dựa vào diện tích ban đầu ($2288\text{~m}^{2}$).

+ Biểu diễn chiều dài mới và chiều rộng mới sau khi thay đổi kích thước.

+ Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ thay đổi của diện tích lúc sau so với lúc đầu (giảm $88\text{~m}^{2}$).

+ Giải phương trình bậc hai thu được, đối chiếu điều kiện và đưa ra kết luận kích thước ban đầu.

Gọi x (m) là chiều dài mảnh vườn lúc đầu (x > 0)

Thì chiều rộng mảnh vườn lúc đầu là $\dfrac{2288}{x}\text{~~(m)}$

Nếu tăng chiều dài thêm $3 m$, giảm chiều rộng đi $\text{4~}m$ thì diện tích mảnh vườn giảm $88 m^{2}$ nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\left(x+3\right)\left({\displaystyle \frac{2288}{x}}-4\right)=2288-88\\ -4x^2+76x+6864=0\end{array}$$\begin{array}{l} {\left( {x + 3} \right)\left( {\dfrac{2288}{x} - 4} \right) = 2288 - 88} \\ {- 4x^{2} + 76x + 6864 = 0} \end{array}$

$x = 52$(nhận) hoặc $x = - 33$(loại)

Vậy chiều dài mảnh vườn lúc đầu là 52 (m)

Và chiều rộng mảnh vườn lúc đầu là $\dfrac{2288}{52} = 44\ \ (m)$

Diện tích xung quanh hình nón ($S_{xq}$): $S_{xq} = \pi \cdot r \cdot l$

Thể tích hình nón ($V$): $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot r^{2} \cdot h$

Áp dụng định lý Pythagore: Chiều cao ($h = SO$), bán kính đáy ($r = OB$) và đường sinh ($l = SB$) tạo thành một tam giác vuông $SOB$ tại $O$. Do đó: $h = \sqrt{l^{2} - r^{2}}$

a) + Xét hình nón có đường sinh SB = 15 cm và bán kính đáy OB = 9 cm.

∆SOB vuông tại O nên SO² + OB² = SB² (định lí Pythagore)

Suy ra SO² = SB² − OB² = 15² − 9² = 144 nên SO = 12 cm.

+ Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = π . OB . SB = 9 . 15 . π = 135π (cm²).

+ Thể tích của hình nón là: $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot OB^{2} \cdot SO = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 9^{2} \cdot 12 = 324\pi\,\,\left( {cm^{3}} \right)$

b) Bán kính đáy đèn trời là: $R = 0,8:2 = 0,4(m).$

Diện tích xung quanh của đèn trời là: S_xq = 2πRh = 2π . 0,4 . 1 = 0,8π (m²).

Diện tích đáy hình trụ là: S_đáy = πR² = π . 0,4² = 0,16π (m²).

Vậy diện tích giấy dán bên ngoài đèn trời:

S = S_đáy + S_xq = 0,16π + 0,8π = 0,96π (m²).