Đề giữa học kì 2 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Động Đạt 1 – Thái Nguyên

a) Lập bảng giá trị tương ứng của $x$ và $y$ (thường chọn 5 điểm: $x = - 2, - 1,0,1,2$). Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ và vẽ đường cong Parabol đi qua các điểm đó.

b) Thay $y = 4$ vào công thức hàm số $y = x^{2}$ để giải tìm hoành độ $x$.

Từ đó kết luận tọa độ các điểm $(x;y)$ cần tìm.

a) Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

Đồ thị hàm số:

b) Thay $y = 4$ vào hàm số $y = x^{2}$ ta được: $4 = x^{2}$

Suy ra $x = 2$ hoặc $x = - 2$.

Vậy có 2 điểm thuộc $(P)$ có tung độ bằng 4 là $M_{1}\left( {2;4} \right)$; $M_{2}\left( {- 2;4} \right)$.

- Sử dụng công thức nghiệm $\Delta = b^{2} - 4ac$ hoặc công thức nghiệm thu gọn $\Delta'$ để giải phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ ($a \neq 0$).

- Hoặc áp dụng tính chất nhẩm nghiệm:

+ Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình có 2 nghiệm: \(x_{1} = 1;\mspace{6mu} x_{2} = \dfrac{c}{a}\).

+ Nếu $a - b + c = 0$ thì phương trình có 2 nghiệm: \(x_{1} = - 1;\mspace{6mu} x_{2} = - \dfrac{c}{a}\).

a) Ta có: a = 1, b = −2, c = −3

Ta thấy: a − b + c = 1 − (−2) + (−3) = 0

Nên phương trình có 2 nghiệm: x = −1; x = 3

b) $0,2x^{2} + 0,4x - 7 = 0$

Nhân cả hai vế với 5 để khử số thập phân:

$x^{2} + 2x - 35 = 0$

Với $a = 1; b = 2; c = - 35$.

Ta có: $\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4.1.( - 35) = 144 > 0$; $\sqrt{\Delta} = 12$

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_{1} = \dfrac{- 2 + 12}{2} = 5$; $x_{2} = \dfrac{- 2 - 12}{2} = - 7$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x \in \left\{ {5; - 7} \right\}$.

a) Thay $m = 2$ vào phương trình $(1)$ rồi giải phương trình bậc hai thu được bằng nhẩm nghiệm hoặc $\Delta'$.

b)

- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: $\Delta' > 0$

- Áp dụng hệ thức Vi-ét: $x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a}$, $x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}$

- Biến đổi biểu thức bài cho về dạng tổng và tích: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2x_{1}x_{2}$

- Thay các biểu thức Vi-ét vào, giải phương trình tìm $m$ và đối chiếu với điều kiện $\Delta'$.

a) Thay m = 2 vào phương trình $x^{2} - 4x + m + 1 = 0$ ta được:

$x^{2} - 4x + 3 = 0$

Ta thấy $1 + ( - 4) + 3 = 0$

Nên phương trình có hai nghiệm là $x_{1} = 1$; $x_{2} = \dfrac{3}{1} = 3$.

Vậy m = 2 thì phương trình có hai nghiệm là $x_{1} = 1$; $x_{2} = 3$.

b) Ta có:

$\Delta' = \left( {- 2} \right)^{2} - (m + 1) = 4 - m - 1 = 3 - m$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $3 - m > 0$ hay $m < 3$

Áp dụng định lý Vi-ét ta có:

$x_{1} + x_{2} = 4$; $x_{1}.x_{2} = m + 1$

Ta có: ${(x_{1} + x_{2})}^{2} + x_{1}x_{2} = 1$

Thay $x_{1} + x_{2} = 4$; $x_{1}.x_{2} = m + 1$ vào phương trình trên ta được:

$4^{2} + m + 1 = 1$

$m = - 16$ (TM)

Vậy $m = - 16$ là giá trị cần tìm.

Bước 1: Đặt ẩn (thường là năng suất theo kế hoạch $x$), nêu đơn vị và điều kiện cho ẩn.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết (Năng suất thực tế, Thời gian kế hoạch, Thời gian thực tế).

Bước 3: Lập phương trình dựa vào mối liên hệ về thời gian hoàn thành ("trước thời hạn 6 ngày")

Bước 4: Giải phương trình thu được, chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện và kết luận.

Gọi số chiếc áo xưởng may phải may trong một ngày theo kế hoạch là $x$ (chiếc áo). ($x \in {\mathbb{N}}^{*}$)

Khi đó, số chiếc áo xưởng may phải may trong một ngày theo thực tế là $x + 10$ (chiếc áo).

Thời gian xưởng may áo theo kế hoạch là: $\dfrac{1800}{x}$ (ngày)

Thời gian xưởng may áo theo thực tế là: $\dfrac{1800}{x + 10}~$ (ngày)

Vì xưởng may đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 6 ngày

nên ta có phương trình: $\dfrac{1800}{x + 10} + 6 = \dfrac{1800}{x}$

$\dfrac{1800x}{x(x + 10)} + \dfrac{6x(x + 10)}{x(x + 10)} = \dfrac{1800(x + 10)}{x(x + 10)}$

$1800x + 6x(x + 10) = 1800(x + 10)$

$1800x + 6x^{2} + 60x = 1800x + 18000$

$6x^{2} + 60x - 18000 = 0$

$x^{2} + 10x - 3000 = 0$

$(x + 60)(x - 50) = 0$

TH1: $x + 60 = 0$

$x = - 60$ (KTM)

TH1: $x - 50 = 0$

$x = 50$ (TM)

Vậy mỗi ngày theo kế hoạch xưởng phải may xong 50 chiếc áo.

a) Áp dụng tính chất góc nội tiếp: Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn.

b) Tính góc nội tiếp $\widehat{DBC}$ chắn cung nhỏ $CD$ hoặc sử dụng quan hệ giữa góc có đỉnh ở bên trong đường tròn/tổng các góc trong tam giác $\Delta HBC$.

a) Vì $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn cung BC nên

sđ $\overset{\frown}{BC} = 2.\widehat{BAC} = 2.50{^\circ} = 100{^\circ}$

b) Vì $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BDC}$ là 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC nên $\widehat{BAC} = \widehat{BDC} = 50{^\circ}$.

Xét $\Delta DHC$ có:

$\widehat{DHC} = 180{^\circ} - (\widehat{BDC} + \widehat{DAC}) = 180{^\circ} - (50{^\circ} + 30{^\circ}) = 100{^\circ}$ (Tổng các góc trong tam giác)

a) Trong tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, tâm $O$ đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm. Bán kính đường tròn ngoại tiếp được tính bằng công thức $R = AO = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.

b) Tính các góc ở tâm $\widehat{AOB},\widehat{BOC},\widehat{COA}$. Sử dụng định nghĩa phép quay tâm $O$ góc $\alpha$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $OM = OM'$ và góc quay theo chiều kim đồng hồ (thuận chiều).

a) Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là $R = \dfrac{\sqrt{3}}{3}a = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.6 = 2\sqrt{3}$ ( cm)

b) Vì $\Delta ABC$ đều nên $\widehat{ABC} = 60{^\circ}$ suy ra $\widehat{AOC} = 2.\widehat{ABC} = 2.60{^\circ} = 120{^\circ}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn 1 cung)

Tương tự $\widehat{BOC} = \widehat{AOB} = 120{^\circ}$

Phép quay thuận chiều $120{^\circ}$ tâm O biến điểm A thành điểm C, biến điểm C thành điểm B, biến điểm B thành điểm A,

Hai phép quay thuận chiều $240{^\circ}$, $360{^\circ}$ tâm O giữ nguyên tam giác đều $ABC$

a) Chứng minh A,M, O thuộc đường tròn đường kính AO

và A, N, O thuộc đường tròn đường kính AO

Từ đó suy ra bốn điểm A, M, O, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

Hay tứ giác AMON nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh $AO\bot MN$ tại $H$ và chứng minh $\Delta AMO ∽ \backsim ∽ \Delta AHM$ (g.g) để suy ra $AM^{2} = AH \cdot AO$.

Chứng minh $\left. \Delta AME \right.\sim\Delta AFM$ (g.g) để suy ra $AM^{2} = AE \cdot AF$.

Kết hợp hai đẳng thức trên để được $AE \cdot AF = AH \cdot AO$.

a) Vì AM là tiếp tuyến của (O) ( M là tiếp điểm) (GT)

AM $\bot$ OM tại suy ra $\Delta$AMO vuông tại M

Suy ra A,M, O thuộc đường tròn đường kính AO (1)

Vì AN là tiếp tuyến của (O) ( N là tiếp điểm) (GT)

AN$\bot$ ON tại N suy ra $\Delta$ANO vuông tại N

Suy ra A, N, O thuộc đường tròn đường kính AO (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm A, M, O, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

Hay tứ giác AMON nội tiếp đường tròn.

b) Gọi H là giao điểm của AO và MN.

Vì AM; AN là hai tiếp tuyến của (O) ( M, N thuộc (O) )

Nên AM = AN ; AO là tia phân giác của góc MAN (tính chất).

Suy ra $\Delta AMN$ cân tại $A$ có $AO$ là đường phân giác nên $AO$ là đường trung trực của MN , do đó $AO\bot MN$ tại H

Xét $\Delta AMO$ và $\Delta AHM$ ta có:

$\widehat{AMO} = \widehat{AHM} = 90{^\circ}$

$\widehat{OAM}$ chung

Do đó $\Delta AMO ∽ \backsim ∽ \Delta AHM$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{AM}{AH} = \dfrac{AO}{AM}$ (hai cạnh tương ứng)

Hay AM ² = AH .AO (1)

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta AFC$ có:

$\widehat{BAE}$ chung

$\widehat{AEB} = \widehat{ACF}$ (cùng bù $\widehat{BEF}$)

Do đó $\Delta ABE ∽ \backsim ∽ \Delta AFC$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{AB}{AE} = \dfrac{AF}{AC}$

Hay $AB.AC = AE.AF$

Mà $AB.AC = (OA - OB).(OA + OC) = (OA - OB).(OA + OB) = OA^{2} - OB^{2}$

Lại có $OA^{2} = AM^{2} + OM^{2}$ (Định lý Pythagore, $\Delta AMO$ vuông tại $M$.

Do đó: $AB.AC = AM^{2} + OM^{2} - OB^{2} = AM^{2}$ (Do OM = OB bán kính

đường tròn (O)).

Suy ra AE.AF  AM ² (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH .AO = AE.AF (đpcm)

Sử dụng định lý Vi-ét và áp dụng BĐT Cauchy (Cô-si).

Phương trình có hai nghiệm phâm biệt khi $9m^{2} + 4m > 0$ hay $m\left( {9m + 4} \right) > 0$
Suy ra $m > 0$ hoặc $m < - \dfrac{4}{9}$ (*)
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3m\\ x_1{x}_2=-m\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 3m} \\ {x_{1}x_{2} = - m} \end{array} \right.$

Ta có:
$\dfrac{m^{2}}{x_{2}^{2} + 3mx_{1} + 3m} = \dfrac{m^{2}}{x_{2}^{2} + \left( {x_{1} + x_{2}} \right)x_{1} - 3x_{1}x_{2}} = \dfrac{m^{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2x_{1}x_{2}} = \dfrac{m^{2}}{\left( {x_{1} - x_{2}} \right)^{2}} > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương: $A = \dfrac{m^{2}}{\left( {x_{1} - x_{2}} \right)^{2}} + \dfrac{\left( {x_{1} - x_{2}} \right)^{2}}{m^{2}} \geq 2$
Do đó, $A_{\text{min}} = 2$ đạt được khi và chỉ khi $\dfrac{m^{2}}{\left( {x_{1} - x_{2}} \right)^{2}} = \dfrac{\left( {x_{1} - x_{2}} \right)^{2}}{m^{2}}$

$m^{4} = \left( {x_{1} - x_{2}} \right)^{4}$
$m^{2} = \left( {x_{1} - x_{2}} \right)^{2}$

$x_{1}^{2}x_{2}^{2} = \left( {x_{1} - x_{2}} \right)^{2}$

$x_{1}^{2}x_{2}^{2} = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$

$x_{1}^{2}x_{2}^{2} + 4x_{1}x_{2} = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2}$

$x_{1}x_{2}\left( {x_{1}x_{2} + 4} \right) = 9m^{2}$

$- m\left( {- m + 4} \right) = 9m^{2}$

$8m^{2} + 4m = 0$

$4m\left( {2m + 1} \right) = 0$

TH1: $m = 0$ (L)

TH2: $2m + 1 = 0$

$2m = - 1$

$m = \dfrac{- 1}{2}$

Vậy với $m = - \dfrac{1}{2}$ thì $A = 2$