Đề giữa kì 2 Toán 9 năm 2025 – 2026 trường THCS Nguyễn Huệ – Đà Nẵng

Hai điểm đối xứng với nhau qua trục tung $Oy$ sẽ có tung độ bằng nhau và hoành độ đối nhau: Điểm $M(x_{0};y_{0})$ đối xứng qua $Oy$ thành $M'( - x_{0};y_{0})$.

Tọa độ điểm đối xứng với điểm $(1;2)$ qua trục tung $Oy$ là $( - 1;2)$.

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $ax^{2} + bx + c = 0$ với $a, b, c$ là các số thực và $a \neq 0$ ($x$ là ẩn số).

$3x^{2} - 5x + 2 = 0$ có dạng $ax^{2} + bx + c = 0$ với $a = 3 \neq 0$, nên là phương trình bậc hai một ẩn.

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $ax^{2} + bx + c = 0$. So sánh các hệ số đi liền với $x^{2}$, $x$ và hệ số tự do để xác định $a, b, c$.

Phương trình $x^{2} + 3x - 2 = 0$ có các hệ số tương ứng là: $a = 1,b = 3,c = - 2$.

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Hình a: Đỉnh góc O trùng với tâm đường tròn nên là góc ở tâm.

Hình b: Đỉnh B nằm trên đường tròn, hai cạnh BA, BC chứa hai dây cung của đường tròn nên là góc nội tiếp.

Hình c: Đỉnh A nằm trong đường tròn (không thuộc đường tròn).

Hình d: Đỉnh A nằm ngoài đường tròn.

Sử dụng định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua tất cả ba đỉnh của tam giác đó.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

Tam giác ABC vuông tại A nên cạnh huyền là BC. Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh BC.

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó.

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác.

Đối với tam giác đều cạnh $a$:

+ Đường cao / đường trung tuyến: $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

+ Bán kính đường tròn nội tiếp: $r = \dfrac{1}{3}h = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $a$ được tính bằng $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.

Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp: Tổng số đo hai góc đối diện của một tứ giác nội tiếp bằng $180^{{^\circ}}$.

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180^{{^\circ}}$.

Sử dụng định nghĩa đa giác đều.

Đa giác đều là đa giác lồi có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Sử dụng định nghĩa phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha$: Phép quay thuận chiều $90^{{^\circ}}$ quay các đỉnh theo chiều kim đồng hồ một góc $90^{{^\circ}}$.

Xét hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$:

Góc quay thuận chiều (theo chiều kim đồng hồ) $90^{{^\circ}}$ tâm $O$ biến bán kính $OA$ thành bán kính $OB$, tức là biến điểm $A$ thành điểm $B$.

Đa giác đều là hình phẳng lồi được giới hạn bởi các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau.

Hình b là hình vuông (tứ giác đều).

Hình d là hình lục giác đều.

Các hình a, c, e không phải là đa giác lồi

Áp dụng tính chất đồ thị hàm số $y = ax^{2}$ ($a \neq 0$):

+ Đồ thị nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng.

+ Luôn đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$.

+ Nếu $a > 0$, đồ thị nằm phía trên trục hoành.

+ Nếu $a < 0$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

a) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục tung $Oy$$\rightarrow$ Đúng.

b) Nếu $a > 0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành $\rightarrow$ Sai.

c) Nếu $a < 0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành $\rightarrow$ Sai.

d) Đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ $\rightarrow$ Đúng

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn.

Số đo của cung bị chắn bởi góc nội tiếp $40^{{^\circ}}$ là: $2.40^{{^\circ}} = 80^{{^\circ}}$

a) Lập bảng giá trị bằng cách cho $x$ nhận các giá trị $-2, -1, 0, 1, 2$ rồi tính $y = 2x^2$ tương ứng.

b) Biểu diễn 5 điểm vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ và vẽ đường Parabol đi qua các điểm đó.

a) Tìm đúng toạ độ 5 điểm đặc biệt trên đồ thị (có tính chất đối xứng)

b) Vẽ đúng dạng của đồ thị.

+ Biểu diễn các điểm $A( - 2;8)$, $B( - 1;2)$, $O(0;0)$, $C(1;2)$, $D(2;8)$ trên hệ trục tọa độ $Oxy$.

+ Vẽ đường Parabol đi qua $5$ điểm trên, nằm phía trên trục hoành và nhận $Oy$ làm trục đối xứng

Sử dụng Định lý Viète cho phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ ($a \neq 0$):

+ Tổng hai nghiệm: $S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a}$

+ Tích hai nghiệm: $P = x_{1} \cdot x_{2} = \dfrac{c}{a}$

Phương trình $3x^{2} - 5x - 6 = 0$ có $a = 3,b = - 5,c = - 6$.

Theo định lý Viète ta có:

$x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} = \dfrac{- \left( {- 5} \right)}{3} = \dfrac{5}{3}$.

$x_{1}.x_{2}~$= $\dfrac{c}{a} = \dfrac{- 6}{3} = - 2$

Trong đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Trong tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối diện bằng $180^{{^\circ}}$.

a) Ta có: $\widehat{ADB}~$= $\widehat{ACB}$ = 50⁰ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Tương tự, $\widehat{BDC}~$= $\widehat{BAC}$ = 30⁰ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Suy ra, $\widehat{ADC} =$ $\widehat{ADB}~$+ $\widehat{BDC}$ = 50⁰ + 30⁰ = 80⁰

Ta cũng có, $\widehat{ACD}$ = $\widehat{ABD}$ = 70⁰ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

Suy ra, $\widehat{BCD} =$ $\widehat{ACD}~$+ $\widehat{ACB}$ = 70⁰ + 50⁰ = 120⁰

b) Từ câu a, ta có $\widehat{ADC}$= 80⁰, $\widehat{BCD}~$= 120⁰

Lại có, $\widehat{ADC}$+ $\widehat{ABC}$ = 180⁰ (hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Suy ra, $\widehat{ABC}$= 180⁰$- ~\widehat{ADC}$ = 100⁰

Tương tự, $\widehat{BCD}$+ $\widehat{BAD}$ = 180⁰ (hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Suy ra, $\widehat{BAD}$ = 180⁰$- ~\widehat{BCD}$ = 60⁰

Sử dụng tính chất đối xứng quay của tam giác đều: Phép quay tâm $O$ góc $\alpha = k \cdot 120^{{^\circ}}$ ($k \in {\mathbb{Z}}$) biến các đỉnh của tam giác thành các đỉnh còn lại của chính tam giác đó.

Phép quay thuận chiều 120⁰ tâm O biến điểm A thành điểm C, điểm C thành điểm B, điểm B thành điểm A nên là phép quay giữ nguyên tam giác đều ABC.

Phép quay thuận chiều 240⁰ tâm O biến điểm A thành điểm B, điểm C thành điểm A, điểm B thành điểm C nên là phép quay giữ nguyên tam giác đều ABC.

+ Biểu diễn các kích thước của hình chữ nhật theo ẩn $x$.

+ Lập phương trình biểu diễn diện tích hình chữ nhật mới

+ Giải phương trình bậc hai thu được để tìm $x$ (loại nghiệm không thỏa mãn điều kiện).

+ Tính chu vi ban đầu

Gọi $x$ (cm) là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu ($x > 0$)

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: $3x$ (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật sau khi tăng thêm 5cm: $x + 5$ (cm)

Chiều dài hình chữ nhật sau khi tăng thêm 5cm: $3x + 5$ (cm)

Theo đề bài ta có phương trình: $(x + 5)(3x + 5) = 153$

$3x^{2} + 5x + 15x + 25 = 153$

$3x^{2} + 20x - 128 = 0$

$(3x + 32)(x - 4) = 0$

TH1: $3x + 32 = 0$

$3x = - 32$

$x = - \dfrac{32}{3}$ (KTM)

TH2: $x - 4 = 0$

$x = 4$ (TM)

Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: 12 cm và 4 cm

Khi đó, chu vi hình chữ nhật ban đầu là: (12 + 4).2 = 32 (cm)