Đề thi học kì 1 Toán 8 - Đề số 7

Sử dụng quy tắc tính với đa thức.

Ta có:

$\begin{array}{l}4x^{2}y+6x^3{y}^2-10x^{2}y+4x^3{y}^2\\ =\left(4x^{2}y-10x^{2}y\right)+\left(6x^3{y}^2+4x^3{y}^2\right)\\ =-6x^{2}y+10x^3{y}^2\end{array}$$\begin{array}{l}4{x^2}y + 6{x^3}{y^2} - 10{x^2}y + 4{x^3}{y^2}\\ = \left( {4{x^2}y - 10{x^2}y} \right) + \left( {6{x^3}{y^2} + 4{x^3}{y^2}} \right)\\ = - 6{x^2}y + 10{x^3}{y^2}\end{array}$

Thay x = y = -1 vào đa thức rồi tính toán.

Thay x = y = -1 vào đa thức $xy + 2{x^2}{y^3} - {x^4}y$ ta được

$\begin{array}{l}\left(-1\right)\mathrm{.}\left(-1\right)+2{\left(-1\right)}^2\mathrm{.}{\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^4\left(-1\right)\\ =1-2+1=0\end{array}$$\begin{array}{l}\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2{\left( { - 1} \right)^2}.{\left( { - 1} \right)^3} - {\left( { - 1} \right)^4}\left( { - 1} \right)\\ = 1 - 2 + 1 = 0\end{array}$

Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông.

Ta có: AM = 2cm; BC = 4cm $\Rightarrow AM = \frac{1}{2}BC$. Mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC nên AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC hay tam giác ABC vuông tại A.

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác bằng $360^0$.

- Nếu 4 góc trong tứ giác đều nhọn (nhỏ hơn $90^0$) => Tổng 4 góc < $4.90^0$ = $360^0$ => Vô lí vì tổng 4 góc trong tứ giác bằng $360^0$.

- Nếu có 3 góc nhỏ hơn $90^0$ ; 1 góc > $90^0$ => Tổng 3 góc đó < 3.$90^0$ = $270^0$ => góc còn lại lớn hơn $360^0- 270^0 = 90^0$ (thỏa mãn)

Vậy tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc nhọn.

Ta sử dụng kiến thức về hình bình hành.

Hình bình hành là một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên C đúng.

Sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác.

Ta có AD là tia phân giác của góc A nên $\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{CD}} \Leftrightarrow \frac{9}{{BD}} = \frac{6}{2} = 3$

$\Rightarrow BD = \frac{9}{3} = 3$(cm)

Áp dụng định lí Thalès để tính BC.

Vì AN = $\frac{1}{2}$ AB nên AB = 2.AN = 2.2 = 4(cm).

Ta có MN // BC. Áp dụng định lí Thales, ta có: $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{2}{{AC}} \Leftrightarrow AC = 4.2 = 8$ (cm).

Vậy AC = 8cm.

Sử dụng khái niệm đường trung bình.

Xét tam giác ABC bất kì. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.

MN là đường trung bình của tam giác ABC.

NP là đường trung bình của tam giác ABC.

MP là đường trung bình của tam giác ABC.

Vậy có 3 đường trung bình trong một tam giác.

Dựa vào phân loại dữ liệu: Dữ liệu được chia thành hai loại: Dữ liệu định tính (dữ liệu không phải số) và dữ liệu định lượng (số liệu).

Dữ liệu định lượng (số liệu) trong bảng trên là dữ liệu Số bạn yêu thích : 5; 8; 15; 2.

Kiểm tra xem dữ liệu trong biểu đồ có cột nào chưa chính xác.

Vì mỗi kho hàng đều có 50 tấn hàng nên tổng số lượng vật liệu đã xuất bán và số lượng vật liệu còn tồn lại phải bằng 50 tấn. Mà cột kho 4, số lượng vật liệu đã xuất bán và số lượng vật liệu còn tồn lại là: 30 + 15 = 45 (tấn) nên số liệu ở kho 4 không đúng.

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

a) ${(x + 1)^2} - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) - 10$

$\begin{array}{l}={\left(x+1\right)}^2-\left(x^2-3^2\right)-10\\ =x^2+2x+1-x^2+9-10\\ =\left(x^2-x^2\right)+2x+\left(1+9-10\right)\\ =2x\end{array}$$\begin{array}{l} = {\left( {x + 1} \right)^2} - \left( {{x^2} - {3^2}} \right) - 10\\ = {x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 9 - 10\\ = \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + 2x + \left( {1 + 9 - 10} \right)\\ = 2x\end{array}$

b) $\left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} - 5x + 25} \right) - x{\left( {x - 4} \right)^2} + 16x$

$\begin{array}{l}=x^3+5^3-x\left(x^2-8x+16\right)+16x\\ =x^3+125-x^3+8x^2-16x+16x\\ =8x^2+125\end{array}$$\begin{array}{l} = {x^3} + {5^3} - x\left( {{x^2} - 8x + 16} \right) + 16x\\ = {x^3} + 125 - {x^3} + 8{x^2} - 16x + 16x\\ = 8{x^2} + 125\end{array}$

c) ${\left( {x - 2y} \right)^3} - \left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right) + 6{x^2}y$

$\begin{array}{l}={\left(x-2y\right)}^3-\left(x+2y\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)+6x^{2}y\\ =x^3-6x^{2}y+12x{y}^2-8y^3-\left(x^3+8y^3\right)+6x^{2}y\\ =x^3-6x^{2}y+12x{y}^2-8y^3-x^3-8y^3+6x^{2}y\\ =\left(x^3-x^3\right)+\left(-6x^{2}y+6x^{2}y\right)+12x{y}^2+\left(-8y^3-8y^3\right)\\ =12x{y}^2-16y^3\end{array}$$\begin{array}{l} = {\left( {x - 2y} \right)^3} - \left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - 2xy + 4{y^2}} \right) + 6{x^2}y\\ = {x^3} - 6{x^2}y + 12x{y^2} - 8{y^3} - \left( {{x^3} + 8{y^3}} \right) + 6{x^2}y\\ = {x^3} - 6{x^2}y + 12x{y^2} - 8{y^3} - {x^3} - 8{y^3} + 6{x^2}y\\ = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( { - 6{x^2}y + 6{x^2}y} \right) + 12x{y^2} + \left( { - 8{y^3} - 8{y^3}} \right)\\ = 12x{y^2} - 16{y^3}\end{array}$

Dựa vào các hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích đa thức thành nhân tử để tìm x.

a) ${\left( {x + 3} \right)^2} - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) = 4x + 17$

$\begin{array}{l}{x}^2+6x+9-x^2+4=4x+17\\ 6x+13=4x+17\\ 6x-4x=17-13\\ 2x=4\\ x=2\end{array}$$\begin{array}{l}{x^2} + 6x + 9 - {x^2} + 4 = 4x + 17\\6x + 13 = 4x + 17\\6x - 4x = 17 - 13\\2x = 4\\x = 2\end{array}$

Vậy x = 2.

b) $\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right) - x\left( {{x^2} - 4} \right) = 1$

$\begin{array}{l}\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)-x\left(x^2-4\right)=1\\ x^3-27-x^3+4x=1\\ 4x=1+27\\ 4x=28\\ x=7\end{array}$$\begin{array}{l}\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right) - x\left( {{x^2} - 4} \right) = 1\\{x^3} - 27 - {x^3} + 4x = 1\\4x = 1 + 27\\4x = 28\\x = 7\end{array}$

Vậy x = 7.

a) Dựa vào dữ liệu đề bài cho để điền vào bảng.

b) Điền số tương ứng vào biểu đồ.

a) Ta có bảng thống kê số lượt hành khách vận chuyển bằng đường bộ ở Hải Phòng trong các năm:

b) Biểu đồ cột biểu diễn các dữ liệu thống kê số lượt hành khách vận chuyển bằng đường bộ ở Hải Phòng trong các năm trên là:

a) Chứng minh tứ giác MNCP có hai cạnh đối song song và bằng nhau.

b) Chứng minh N là trực tâm của tam giác CMB nên NC $\bot$ MB $\Rightarrow$ MP $\bot$ MB (MP // CN).

c) Chứng minh MI = PI, sử dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh PI – IJ < JP hay MI – IJ < JP.

a) Xét tam giác AHB có:

M là trung điểm của AH

N là trung điểm của BH

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác AHB. DO đó MN // AB và MN = $\frac{1}{2}$ AB.

Vì P là trung điểm của CD nên CP = PD = $\frac{1}{2}$ CD.

Mà AB // CD; AB = CD (ABCD là hình chữ nhật) nên CP = $\frac{1}{2}$ AB.

Suy ra MN // CP (cùng song song với AB) và MN = CP ($\frac{1}{2}$ AB).

Do đó tứ giác MNCP là hình bình hành (đpcm)

b) Do MN // AB (cmt) mà AB $\bot$ BC (ABCD là hình chữ nhật) nên MN $\bot$ BC.

Ta có BH $\bot$ MC (gt)

Mà MN $\cap$ BH tại N.

Suy ra N là trực tâm của tam giác CMB, do đó CN $\bot$ BM.

Mà CN // PM (MNCP là hình bình hành)

Suy ra PM $\bot$ BM (đpcm)

c) Xét tam giác PMB vuông tại M có I là trung điểm của BP nên MI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác PMB suy ra MI = $\frac{1}{2}$ BP = PI.

Xét tam giác PIJ, ta có: PI – IJ < JP hay MI – IJ < JP (đpcm).

Dựa vào hằng đẳng thức ${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}$; ${a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}$ để tìm x, y.

Thay x, y vào biểu thức M để tính giá trị của biểu thức M.

Ta có:

$\begin{array}{l}5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+2=0\\ \left(4x^2+8xy+4y^2\right)+(x^2-2x+1)+(y^2+2y+1)=0\\ 4{\left(x+y\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2+(y+1{)}^2=0(\ast )\end{array}$$\begin{array}{l}5{x^2} + 5{y^2} + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0\\\left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) + ({x^2} - 2x + 1) + ({y^2} + 2y + 1) = 0\\4{\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x-1} \right)^2} + {(y + 1)^2} = 0\left( * \right)\end{array}$

Vì $4{\left( {x + y} \right)^2} \ge 0;{\left( {x-1} \right)^2} \ge 0;{(y + 1)^2} \ge \;0$ với mọi x, y

Nên (*) xảy ra khi $\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x-1=0\\ y+1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-y\\ x=1\\ y=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}x = - y\\x = 1\\y = - 1\end{array} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.$.

Thay x = 1 và y = -1 vào biểu thức M, ta được:

$M = {(1 - 1)^{2017}} + {(1 - 2)^{2018}} + {( - 1 + 1)^{2019}} = {\left( { - 1} \right)^{2018}} = 1$ .

Vậy M = 1 .