Đề thi giữa học kì 1 Toán 8 - Đề số 12

Rút gọn biểu thức sau đó xác định hệ số và bậc của biểu thức.

$C = 4xy^{3}z.( - 2)xyz^{4} = - 8x^{2}y^{4}z^{5}$ có hệ số là –8, bậc là 11.

Ta sử dụng tính chất của hình thang: Ta thấy góc A và D là hai góc kề cạnh bên nên $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^{{^\circ}}$ từ đó ta suy ra số đo góc A.

Ta có: $\widehat{A} + \widehat{D} = 180{^\circ}$

Suy ra $\widehat{A} = 180{^\circ} - \widehat{D} = 180{^\circ} - 75{^\circ} = 105{^\circ}$

Áp dụng tính chất hình bình hành: Hình bình hành có cặp cạnh đối song song và bằng nhau

Theo định nghĩa, $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = CD$

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang $S = \dfrac{(a + b)h}{2}$

Hình thang có đáy nhỏ là $x$, đáy lớn là $(x + 2)$ và chiều cao $h = 4$

Diện tích hình thang là:

$S = \dfrac{(x + x + 2)4}{2} = (2x + 2).2 = 4x + 4$

Áp dụng tính chất hình thang

Vì $ABCD$ là hình thang có $AB//CD$ nên $\widehat{BCD} = \widehat{CBa} = 60^{{^\circ}}$ (so le trong)

$\widehat{DAB} + \widehat{ADC} = 180^{0}$ (Hai góc kề cạnh bên $AD$)

$\widehat{DAB} = 180^{0} - \widehat{ADC} = 180^{0} - 45^{0} = 135^{0}$

Vậy $x = 135^{0};$ $y = 60^{0}$.

Rút gọn rồi sau đó xác định hệ số cao nhất của đa thức.

$3x^{4}yz + 4x^{3}z^{2} - 2xy - 3x^{4}yz + 5xy = (3x^{4}yz - 3x^{4}yz) + 4x^{3}z^{2} + ( - 2xy + 5xy) = 4x^{3}z^{2} + 3xy.$

Vậy hệ số cao nhất của đa thức là 4.

Áp dụng tính chất hình chữ nhật: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vì $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $AC, BD$ và $AC = BD$ (tính chất)

Do đó, $OA = OB = OC = OD = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}BD$

$A + B$ sau đó rút gọn các đơn thức đồng dạng.

$\begin{array}{l}A+B=x^2+xy-1-x^{3}y+x^2-8\\ A+B=(x^2+x^2)+xy-x^{3}y+(-1-8)\\ A+B=2x^2+xy-x^{3}y-9\end{array}$$\begin{array}{l} {A + B = x^{2} + xy - 1 - x^{3}y + x^{2} - 8} \\ {A + B = (x^{2} + x^{2}) + xy - x^{3}y + ( - 1 - 8)} \\ {A + B = 2x^{2} + xy - x^{3}y - 9} \end{array}$

Áp dụng tính chất hình bình hành: Trong hình bình hành, có các góc đối bằng nhau.

Áp dụng định lý tổng các góc trong một tứ giác: Tổng các góc trong một tứ giác bằng $360{^\circ}$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat{A} = \widehat{C}$ và $\widehat{B} = \widehat{D}$ (tính chất)

Áp dụng định lý tổng các góc trong một tứ giác ta có

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360{^\circ}$

Mà $\widehat{A} = \widehat{C}$, $\widehat{B} = \widehat{D}$, $\widehat{A} = 2\widehat{B}$

Suy ra $\widehat{C} = \widehat{A} = 2\widehat{B} = 2\widehat{D}$

Khi đó, $2\widehat{D} + \widehat{D} + 2\widehat{D} + \widehat{D} = 360{^\circ}$

Hay $6\widehat{D} = 360{^\circ}$

Suy ra $\widehat{D} = 360{^\circ}:6 = 60{^\circ}$

Hình thang cân là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau

Ta có $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ là hình thang cân nên $\widehat{A} = \widehat{B} = 120{^\circ}$; $\widehat{C} = \widehat{D}$ (1)

Mà $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360{^\circ}$

Nên $120{^\circ} + 120{^\circ} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360{^\circ}$

Suy ra $\widehat{C} + \widehat{D} = 360{^\circ} - (120{^\circ} + 120{^\circ})$

$\widehat{C} + \widehat{D} = 120{^\circ}$ (2)

Từ (1), (2) ta kết luận $\widehat{C} = \widehat{D} = 120{^\circ}:2 = 60{^\circ}$

Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức

Ta có: $3xy(x^{2} - 2z) = 3x^{3}y - 6xyz$

Quy tắc chia đa thức cho đơn thức

$2x^{2}y.B = 6x^{3}y + 3x^{2}y^{4} - 4x^{3}y^{3}$

$B = (6x^{3}y + 3x^{2}y^{4} - 4x^{3}y^{3}):(2x^{2}y)$

$B = (6x^{3}y):(2x^{2}y) + (3x^{2}y^{4}):(2x^{2}y) - (4x^{3}y^{3}):(2x^{2}y)$

$B = 3x + \dfrac{3}{2}y^{3} - 2xy^{2}$

a) Chứng minh $\Delta OAB$ cân tại $O$ qua hai góc $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$

b) Chứng minh $\widehat{ABD} = \widehat{BAC}$ theo cạnh – góc – cạnh

c) Chứng minh $EC = ED$ vì $AC = BD$ và $AE = BE$ suy ra $AE - EC = BD - BE$

d) Chứng minh $OE$ là trung trực của $AB$, của $CD$ vì $O,E$ cách đều hai đầu mút $AB,CD$

a) Vì $AB \parallel CD$ nên $\widehat{OAB} = \widehat{ADC}$, $\widehat{OBA} = \widehat{BCD}$ (2 góc đồng vị)

Mà hình thang $ABCD$ là hình thang cân nên $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$ (tính chất)

Suy ra $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$ hay $\Delta OAB$ cân tại $O$

b) Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $AD = BC$ và $\widehat{DAB} = \widehat{CBA}$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta BAC$ có:

$AB$ chung

$AD = BC$ (cmt)

$\widehat{DAB} = \widehat{CBA}$ (cmt)

Suy ra $\Delta ABD = \Delta BAC$ (c.g.c)

c) Vì $\Delta ABD = \Delta BAC$ (cmt) nên $\widehat{EAB} = \widehat{EBA}$ (2 góc tương ứng)

Suy ra $\Delta EAB$ cân tại $E$ nên $EA = EB$

Mà $AC = BD$ (hình thang $ABCD$ cân) nên $EC = ED$

d) Ta có: $OA = OB$ ($\Delta OAB$ cân tại $O$), $AD = BC$ (cmt)

Suy ra $OD = OC$ hay $O$ thuộc đường trung trực của $DC$

Lại có: $EC = ED$ (cmt) suy ra $E$ thuộc đường trung trực của $DC$

Suy ra $OE$ là đường trung trực của $DC$

Mà $DC \parallel AB$ nên $OE$ là trung trực của $AB$ và $CD$

a,b) Thu gọn biểu thức A và B bằng cách sử dụng các quy tắc tính toán với đa thức

c,d) Thay x vào biểu thức đã rút gọn để tính A, B

a) $A = x^{3} - 6x^{2} + 12x - 8 - x^{2}(x - 4) - 12x + 8$

$= x^{3} - 6x^{2} + 12x - 8 - x^{3} + 4x^{2} - 12x + 8$

$= (x^{3} - x^{3}) + ( - 6x^{2} + 4x^{2}) + (12x - 12x) + ( - 8 + 8)$

$= - 2x^{2}$

b) $B = (x^{2} - 3x):x - x(x + 7) - 9$

$= x - 3 - x^{2} - 7x - 9$

$= (x - 7x) - x^{2} + ( - 3 - 9)$

$= - x^{2} - 6x - 12$

c) Thay $x = - 1$ vào $A$, ta được: $A = - 2.{( - 1)}^{2} = - 2$

d) Thay $x = 1$ vào $B$, ta được: $B = - 1 - 6 - 12 = - 19$

Thu gọn để tìm hệ số.

Ta có: $5x^{2}y \cdot \left( {- \dfrac{2}{5}} \right)y^{2}z = \left\lbrack {5.\left( {- \dfrac{2}{5}} \right)} \right\rbrack.x^{2}.(y.y^{2})z = - 2x^{2}y^{3}z$

Đơn thức này có hệ số là $- 2$.

Áp dụng tính chất hình chữ nhật: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên ta có: $OA = OB = OC = OD$ (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra $OA = OB = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ (cm)

Chu vi tam giác $AOB$ là $OA + OB + AB = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \approx 10,4$ (cm)

Dựa vào đặc điểm về cạnh của hình bình hành.

Vì hình bình hành $ABCD$ có $AB = CD$, $BC = AD$ nên chu vi hình bình hành $ABCD$ là:

$6.2 + 4.2 = 20$ (cm)

Rút gọn biểu thức sau đó thay giá trị $x, y$ vào biểu thức

$x(x - y) + y(x + y) = x^{2} - xy + xy + y^{2} = x^{2} + y^{2}$

Thay $x = 6$ và $y = 8$ vào biểu thức, ta được: $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$

a) Thay $x = - 1;y = 1$ vào đa thức A, B để tính

b) Nhóm các hạng tử đồng dạng và thực hiện phép tính

a) Giá trị của đa thức $A$ tại $x = - 1; y = 1$ là:

$A = 4.{( - 1)}^{6} - 2.{( - 1)}^{2}.1^{3} - 5.( - 1).1 + 2 = 4 - 2 + 5 + 2 = 9$

Giá trị của đa thức B tại $x = - 1; y = 1$ là:

$B = 3.{( - 1)}^{2}.1^{3} + 5.( - 1).1 - 7 = 3 - 5 - 7 = - 9$

b) $A + B = (4x^{6} - 2x^{2}y^{3} - 5xy + 2) + (3x^{2}y^{3} + 5xy - 7)$

$= 4x^{6} - 2x^{2}y^{3} - 5xy + 2 + 3x^{2}y^{3} + 5xy - 7$

$= 4x^{6} + ( - 2x^{2}y^{3} + 3x^{2}y^{3}) + ( - 5xy + 5xy) + (2 - 7)$

$= 4x^{6} + ( - 2x^{2}y^{3} + 3x^{2}y^{3}) + ( - 5xy + 5xy) + (2 - 7)$

$= 4x^{6} + x^{2}y^{3} - 5$

$A - B = (4x^{6} - 2x^{2}y^{3} - 5xy + 2) - (3x^{2}y^{3} + 5xy - 7)$

$= 4x^{6} - 2x^{2}y^{3} - 5xy + 2 - 3x^{2}y^{3} - 5xy + 7$

$= 4x^{6} + ( - 2x^{2}y^{3} - 3x^{2}y^{3}) + ( - 5xy - 5xy) + (2 + 7)$

$= 4x^{6} - 5x^{2}y^{3} - 10xy + 9$

a) Chứng minh tứ giác có hai cặp cạnh đối diện song song với nhau.

b) Áp dụng định lí tổng 4 góc trong một tứ giác.

c) Sử dụng tính chất hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

a) Ta có: $BH\bot AC; DC\bot AC$ (gt)

Suy ra $BH \parallel DC$ (cùng vuông góc với AC) (1)

Ta có $CH\bot AB; BD\bot AB$ (gt)

Suy ra $CH \parallel BD$ (cùng vuông góc với AB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $BDCH$ là hình bình hành (dhnb)

b) Xét tứ giác $ABDC$ có:

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360{^\circ}$ (Tổng các góc trong một tứ giác)

$\widehat{A} + \widehat{D} = 360{^\circ} - (\widehat{B} + \widehat{C}) = 180{^\circ}$

Vậy $\widehat{BAC} + \widehat{BDC} = 180{^\circ}$

c) Vì $BDCH$ là hình bình hành nên hai đường chéo $HD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M$ cũng là trung điểm của $HD$.

Vậy $H, M, D$ thẳng hàng (đpcm)