Đề thi giữa học kì 2 Toán 9 - Đề số 4

Thay từng điểm xem điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ xem điểm nào thỏa mãn ${y_0} = 3{x_0}^2$.

Vì hàm số $y = 3{x^2}$ nên các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ dương, loại đáp án C, D.

Thay $x = 1$ vào hàm số, ta được: $y = {3.1^2} = 3$ nên điểm $\left( {1;3} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Thay $x = 3$ vào hàm số, ta được: $y = {3.3^2} = 27 \ne 12$ nên điểm $\left( {3;12} \right)$ không thuộc đồ thị hàm số.

Đáp án A

Xác định $\Delta = {b^2} - 4ac$ để xác định nghiệm của phương trình.

(Ta cũng có thể sử dụng máy tính cầm tay để xác định nghiệm)

Phương trình ${x^2} - 7x + 12 = 0$ có hai nghiệm là ${x_1} = 4;{x_2} = 3$ nên tổng hai nghiệm là $4 + 3 = 7$.

Đáp án B

Sử dụng định lí Viète để tìm S, P:

Phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thì $\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ P=x_1\mathrm{.}{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$.

Ta có: $\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.11 = 49 - 44 = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí Viète, ta được: $\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=7\\ P=x_1\mathrm{.}{x}_2=\frac{c}{a}=11\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 7\\P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = 11\end{array} \right.$

Vậy S + P = 7 + 11 = 18.

Đáp án A

Dựa vào khái niệm các loại bảng đã học.

Bảng trên là bảng tần số.

Đáp án A

Quan sát hình vẽ để xác định các tứ giác nội tiếp.

Hình trên có 3 tứ giác nội tiếp, đó là: ABCD, ABCE, ACDE.

Đáp án C

Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và GH, GI, GK chính là giao của đường tròn với ba cạnh của tam giác.

Vì G là giao điểm ba đường phân giác của tam giác nên G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

GH, GI, GK lần lượt vuông góc với AB, AC, BC tại H, I, K nên GH = GI = GK = bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đáp án B

a) Quan sát biểu đồ tần số để xác định tần số của các giá trị và lập bảng tần số.

b) Tổng số học sinh tham gia làm bài kiểm tra bằng tổng tần số của các điểm.

c) Tần số tương đối của giá trị bằng tần số của giá trị với tổng tần số.

d) Xác định số học sinh đạt điểm giỏi, điểm trung bình và khá.

Tính tỉ số phần trăm giữa số học sinh đạt điểm giỏi với số học sinh đạt điểm trung bình và khá.

a) Đúng

Bảng tần số biểu thị mẫu dữ liệu trong biểu đồ cột là:

Vậy a) đúng.

b) Sai

Tổng số các tần số trong bảng là:

$2 + 3 + 8 + 12 + 10 + 5 + 4 + 6 = 50$ (học sinh)

Vậy b) sai.

c) Đúng

Tần số tương đối của số học sinh đạt điểm 8 là: $\frac{5}{{50}}.100\%  = 10\%$.

Vậy c) đúng.

d) Đúng

Tổng số học sinh đạt điểm giỏi (điểm 8; 9; 10) là: $5 + 4 + 6 = 15$ (học sinh)

Tổng số HS đạt điểm trung bình và khá (điểm 5; 6; 7) là: $8 + 12 + 10 = 30$ (học sinh)

Vậy số học sinh đạt điểm giỏi (điểm 8; 9; 10) bằng:

$\frac{{15}}{{30}} = 50\%$ số học sinh đạt điểm trung bình và khá (điểm 5; 6; 7).

Vậy d) đúng.

Đáp án ĐSĐĐ

a) Chứng minh tam giác DEC và tam giác EFC cùng nội tiếp một đường tròn nên DFCE là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định cung chắn hai góc trên để kiểm tra.

c) Dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng để kiểm tra.

d) Dựa vào 2 tam giác đồng dạng tam giác $BDC$ và tam giác $BFE$ suy tỉ số và dựa tính chất tỉ lệ thức.

a) Đúng

Xét tam giác DEC có $\widehat {CDE} = 90^\circ$ nên nội tiếp đường tròn đường kính EC.

Xét tam giác EFC có $\widehat {EFC} = 90^\circ$ nên nội tiếp đường tròn đường kính EC.

Do đó 4 điểm D, F, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính EC hay DFCE là tứ giác nội tiếp.

b) Sai

Ta có: $\widehat {ABD}$ hay $\widehat {ABE}$ chắn cung AE, $\widehat {ECF}$ hay $\widehat {ECB}$ chắn cung BE.

Mà cung BE và cung AE không bằng nhau nên $\widehat {ABD} \ne \widehat {ECF}$.

c) Đúng

Vì E, C thuộc đường tròn (O) nên OE = OC hay O cách đều hai điểm E, C.

Vì I là trung điểm của EC nên IE = IC hay I cách đều hai điểm E, C.

Suy ra OI là đường trung trực của EC nên $EC \bot OI$.

d) Đúng

Xét tam giác BDC và tam giác BFE có:

$\widehat {BDC} = \widehat {BFE}\left( { = 90^\circ } \right)$

$\widehat B$ chung

Suy ra $\Delta BDC\backsim \Delta BFE\left( g.g \right)$

Do đó $\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{BF}}{{BE}}$ nên $BD.BE = BF.BC$.

Đáp án: ĐSĐĐ

Nếu hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ đi qua điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thì ${y_0} = a{x_0}^2$ nên $a = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}^2}}$ với ${x_0} \ne 0$.

Vì hàm số $y = a{x^2}$ đi qua điểm $A\left( {1;3} \right)$ nên $3 = a{.1^2}$, suy ra:

$a = \frac{3}{{{1^2}}} = 3$.

Vậy a = 3.

Đáp án: 3

- Sử dụng công thức nghiệm Delta để tìm điều kiện của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$\Delta = {b^2} - 4ac > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

- Biến đổi tổng bình phương của hai nghiệm sao cho xuất hiện tổng/tích của hai nghiệm để sử dụng định li Viète để tìm m.

Định lí Viète: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1\mathrm{.}{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$.

Xét phương trình ${x^2} - 5x + m = 0$ ($m$ là tham số) có $a = 1;b = - 5;c = m$ nên ta có:

$\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.m = 25 - 4m$.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta > 0$ nên ta có:

$\begin{array}{l}25-4m>0\\ -4m>-25\\ m<\frac{25}{4}\end{array}$$\begin{array}{l}25 - 4m > 0\\ - 4m > - 25\\m < \frac{{25}}{4}\end{array}$

Áp dụng định lí Viète, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=5\\ x_1\mathrm{.}{x}_2=\frac{c}{a}=m\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 5\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = m\end{array} \right.$

Mặt khác,  ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$.

Vì tổng bình phương của hai nghiệm bằng 13 nên ta có:

$\begin{array}{l}{5}^2-2.m=13\\ 2m=25-13\\ 2m=12\\ m=6\left(TM\right)\end{array}$$\begin{array}{l}{5^2} - 2.m = 13\\2m = 25 - 13\\2m = 12\\m = 6\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy với $m = 6$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn tổng các bình phương của hai nghiệm bằng 13.

Đáp án: 6

Tần số tương đối của một giá trị bằng tỉ số phần trăm giữa tần số của giá trị đó với tổng tần số.

Tần số tương đối của mức độ ★★★★★ là: $\frac{{312}}{{500}}.100\% = 62,4\%$.

Đáp án: 62,4

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông để tính BC.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có bán kính bằng một nửa cạnh huyền của tam giác vuông.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {7^2} = 74$

Suy ra $BC = \sqrt {74}$ (cm).

Đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kính là cạnh huyền BC.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $\frac{{\sqrt {74} }}{2} \approx 4,3$ (cm).

Đáp án: 4,3

Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng là $x\left( \% \right),x > 0$.

Lập các biểu thức biểu diễn số tiền lãi sau 1 năm, số tiền lãi sau 2 năm và số tiền bác An phải trả sau hai năm

Từ đó lập phương trình bậc hai ẩn $x$ biểu diễn số tiền bác phải trả.

Giải phương trình, kết hợp điều kiện ban đầu của $x$ để xác định.

Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng là $x\left( \%  \right),x > 0$.

Số tiền lãi sau 1 năm là:

$200.x\%  = 2x$ (triệu đồng)

Sau 1 năm, số tiền cả gốc lẫn lãi là:

$200 + 2x$ (triệu đồng)

Số tiền lãi sau 2 năm là:

$\left( {200 + 2x} \right).x\%  = 2x + 0,02{x^2}$ (triệu đồng)

Số tiền bác An phải trả sau 2 năm là:

$200 + 2x + 2x + 0,02{x^2} = 0,02{x^2} + 4x + 200$ (triệu đồng)

Vì sau 2 năm, bác phải trả tất cả 242 triệu đồng nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}0,02x^2+4x+200=242\\ 0,02x^2+4x-42=0\\ x^2+200x-2100=0\end{array}$$\begin{array}{l}0,02{x^2} + 4x + 200 = 242\\0,02{x^2} + 4x - 42 = 0\\{x^2} + 200x - 2100 = 0\end{array}$

Giải phương trình, ta được: ${x_1} = 10$ (TM), ${x_2} =  - 210$ (không thỏa mãn)

Vậy lãi suất cho vay của ngân hàng là 10%.

Tính khoảng cách giữa hai vị trí A và B chính là tìm cạnh của tam giác đều ABC khi biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng $\frac{{\sqrt 3 }}{3}a$.

Vì O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Gọi a (m) là độ dài cạnh của tam giác đều ABC (a > 0)

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là 60m nên $R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$, suy ra $60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Do đó
$\begin{array}{l}a\sqrt{3}=60.3=180\\ a=180:\sqrt{3}\approx 104\left(TM\right)\end{array}$$\begin{array}{l}a\sqrt 3  = 60.3 = 180\\a = 180:\sqrt 3  \approx 104\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy khoảng cách từ A đến B khoảng 104 m.

Xác định số nghiệm của phương trình bằng tích a.c.

Áp dụng định lí Viète để biểu diễn tổng và tích của hai nghiệm.

Biến đổi N sao cho xuất hiện tổng (tích) của hai nghiệm để tính giá trị biểu thức.

Vì phương trình ${x^2} - 3x - 7 = 0$ có $a.c = 1.\left( { - 7} \right) =  - 7 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$.

Theo định lí Viète, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=3\\ x_1\mathrm{.}{x}_2=\frac{c}{a}=-7\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 3\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} =  - 7\end{array} \right.$.

Ta có:

$N = \left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right)\\ = 9{x_1}{x_2} + 3{x_2}^2 + 3{x_1}^2 + {x_1}{x_2}\\ = 3{x_1}^2 + 3{x_2}^2 + 10{x_1}{x_2}\\ = 3{x_1}^2 + 3{x_2}^2 + 6{x_1}{x_2} + 4{x_1}{x_2}\\ = 3\left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) + 4{x_1}{x_2}\\ = 3{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2}\\ = {3.3^2} + 4.\left( { - 7} \right)\\ = 27 - 28\\ =  - 1$