Đề thi giữa học kì 2 Toán 9 - Đề số 1

Sử dụng kiến thức về đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$:

Đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường cong, gọi là đường parabol, có các tính chất sau:

- Có đỉnh là gốc tọa độ O;

- Có trục đối xứng là Oy;

- Nằm phía trên trục hoành nếu a > 0 và nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0.

Đồ thị hàm số $y = - \frac{1}{2}{x^2}$ nhận Oy là trục đối xứng, nên A sai.

Hàm số $y = - \frac{1}{2}{x^2}$ có $a = - \frac{1}{2} < 0$ nên nằm phía dưới trục hoành, nên B sai.

Đồ thị hàm số $y = - \frac{1}{2}{x^2}$ có đỉnh là gốc tọa độ O nên đồ thị đi qua gốc tọa độ, nên C sai.

Đồ thị hàm số $y = - \frac{1}{2}{x^2}$ có đỉnh là gốc tọa độ O và nằm phía dưới trục hoành, nên D đúng.

Đáp án D

Tính biệt thức $\Delta$ hoặc $\Delta '$ để xác định nghiệm của phương trình.

Phương trình $- {x^2} - 4x + 4 = 0$ có $\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 1} \right).4 = 4 + 4 = 8 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình ${x^2} - 4x - 4 = 0$ có $\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 4} \right) = 4 + 4 = 8 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình ${x^2} - 4x + 4 = 0$ có $\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.4 = 4 - 4 = 0$ nên phương trình có nghiệm kép.

Phương trình ${x^2} - 3x + 2 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.2 = 9 - 8 = 1 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đáp án C

- Xác định số nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ bằng $\Delta$: $\Delta = {b^2} - 4ac$.

- Sử dụng định lí Viète để tìm $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$.

- Biến đổi $x_1^3 + x_2^3$ theo ${x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}$.

Phương trình ${x^2} - \sqrt 2 x - 2 + \sqrt 3 = 0$ có $a = 1$, $b = - \,\sqrt 2$, $c = - 2 + \sqrt 3$.

Ta có: $\Delta = {b^2} - 4ac$ $= {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} - 4.1.\left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) = 10 - 4\sqrt 3 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1}\;$,${\rm{ }}{x_2}$.

Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{-\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}\\ x_1{x}_2=\frac{-2+\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}-2\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{{ - \sqrt 2 }}{1} = \sqrt 2 \\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 2 + \sqrt 3 }}{1} = \sqrt 3 - 2\end{array} \right.$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{x_1}^3+{x_2}^3=(x_1+x_2)\left(x_1^2-x_1{x}_2+{x_2}^2\right)\\ =(x_1+x_2)\left(x_1^2+2x_1{x}_2-3x_1{x}_2+{x_2}^2\right)\\ =(x_1+x_2)\left[{(x_1+x_2)}^2-3x_1{x}_2\right]\\ =\sqrt{2}\left[{(\sqrt{2})}^2-3\left(\sqrt{3}-2\right)\right]\\ =\sqrt{2}\left(2-3\sqrt{3}+6\right)\\ =\sqrt{2}\left(8-3\sqrt{3}\right)\end{array}$$\begin{array}{l}{x_1}^3 + {x_2}^3 = ({x_1} + {x_2})\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\\ = ({x_1} + {x_2})\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} - 3{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\\ = ({x_1} + {x_2})\left[ {{{({x_1} + {x_2})}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\\ = \sqrt 2 \left[ {{{(\sqrt 2 )}^2} - 3\left( {\sqrt 3 - 2} \right)} \right]\\ = \sqrt 2 \left( {2 - 3\sqrt 3 + 6} \right)\\ = \sqrt 2 \left( {8 - 3\sqrt 3 } \right)\end{array}$

Vậy $x_1^3 + x_2^3 = \sqrt 2 \left( {8 - 3\sqrt 3 } \right)$.

Đáp án C

Quan sát bảng tần số để xác định hai thương hiệu nào có tần số lớn nhất.

Theo bảng tần số, tần số của Lego, Hot Wheel, Cada, Moyu Block, Wange, Sembo Block lần lượt là 18; 9; 5; 18; 3; 7.

Mà 18 > 9 > 7 > 5 > 3 nên tần số của Lego và Moyu Block là lớn nhất.

Vậy cửa hàng nên nhập lego của các hãng Lego và Moyu Block.

Đáp án D

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó.

Đường tròn ở hình 2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Đáp án B

Chứng minh tam giác AMO, BMO nội tiếp đường tròn nên tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn.

Sử dụng định lí tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp để tính góc AOB.

Sử dụng định lí tổng ba góc của tam giác bằng $180^\circ$ và tính chất tam giác cân để tính $\widehat {ABO}$.

Vì MA; MB là các tiếp tuyến của (O) nên $MA \bot OA,MB \bot OB$.

Do đó $\Delta AMO;\Delta BMO$ lần lượt vuông tại A và B, do đó $\Delta AMO;\Delta BMO$ ngoại tiếp đường tròn đường kính OM hay 4 điểm A, M, B, O thuộc cùng một đường tròn.

Do đó AMBO là tứ giác nội tiếp.

Áp dụng định lí tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp, ta có: $\widehat {AMB} + \widehat {AOB} = 180^\circ$.

Suy ra $\widehat {AOB} = 180^\circ - \widehat {AMB} = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$

Tam giác AOB cân tại O (do OA = OB) nên $\widehat {ABO} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOB}}}{2} = \frac{{180^\circ - 122^\circ }}{2} = 29^\circ$.

Đáp án B

Lập bảng tần số tương đối năm 2023 và 2024.

Quan sát bảng trên để xác định tính đúng sai của các khẳng định.

Lập bảng tần số tương đối năm 2023:

Lập được bảng tần số tương đối năm 2024:

Quan sát bảng trên:

- Tần số tương đối của 1,5m năm 2024  là 23,3%. a) đúng

- Tỉ lệ chiều cao 1,5m năm 2024 cao hơn năm 2023. b) sai

- Tỉ lệ chiều cao 1,65m năm 2024 và năm 2023 bằng nhau. c) sai

- Tỉ lệ chiều cao từ 1,65m trở lên năm 2024 cao hơn năm 2023 là 3,7%. d) đúng

Đáp án ĐSSĐ

a) Khoảng cách từ tâm O đến AB chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC. $r = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$. độ dài cạnh tam giác.

b) Từ bán kính đường tròn nội tiếp, tính chu vi đường tròn: $C = 2\pi r$.

c) Từ độ dài các đoạn thẳng để tính giá trị biểu thức.

d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC để xác định khoảng cách từ điểm $O$ tới $AB, BC, CA.$

Tính giá trị biểu thức.

a) Sai

Khoảng cách từ tâm $O$ đến $AB$ bằng khoảng cách từ tâm $O$ đến $AC$ và bằng $OD$

Mà $OD = r = \frac{{\sqrt 3 }}{6}.4 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$ nên khoảng cách từ tâm $O$ đến $AB$ bằng $\frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

b) Đúng

Chu vi đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ là: $C = 2\pi r = 2\pi .\frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\pi$.

c) Sai

Ta có: OA = OB = OC = R nên OC = $OC = R = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.4 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

Do đó: $OA + OB + OC - OD = 3.\frac{{4\sqrt 3 }}{3} - \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}$.

d) Đúng

Gọi $x, y, z$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $O$ tới $AB, BC, CA$ và bằng $OD$ (bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Mà $OD = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

Do đó $xy + \sqrt 3 z = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\frac{{2\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3 .\frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{4}{3} + 2 = \frac{{10}}{3}$.

Đáp án SĐSĐ

Biểu diễn ${y_A}$ theo ${x_A}$.

Thay tọa độ của điểm vào hàm số $y = \frac{{ - 2}}{5}{x^2}$ để tìm ${x_A},{y_A}$.

Vì tung độ của điểm A gấp 3 lần hoành độ của điểm A nên ${y_A} = 3{x_A}$.

Thay ${x_A}$ vào hàm số $y = \frac{{ - 2}}{5}{x^2}$, ta được:

$3{x_A} = \frac{{ - 2}}{5}{\left( {{x_A}} \right)^2}$

$\begin{array}{l}\frac{2}{5}{\left(x_A\right)}^2+3x_A=0\\ x_A\left(\frac{2}{5}{x}_A+3\right)=0\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{2}{5}{\left( {{x_A}} \right)^2} + 3{x_A} = 0\\{x_A}\left( {\frac{2}{5}{x_A} + 3} \right) = 0\end{array}$

${x_A} = 0$ hoặc $\frac{2}{5}{x_A} + 3 = 0$

${x_A} = 0$ hoặc ${x_A} = - 3.\frac{5}{2} = \frac{{ - 15}}{2}$

Suy ra ${y_A} = 0$ hoặc ${y_A} = 3.\frac{{ - 15}}{2} = \frac{{ - 45}}{2}$

Mà A khác gốc tọa độ nên $A\left( {\frac{{ - 15}}{2};\frac{{ - 45}}{2}} \right)$.

Khi đó ${x_A} - {y_A} = \frac{{ - 15}}{2} - \frac{{ - 45}}{2} = 15$.

Đáp án: 15

Viết phương trình có nghiệm là u, v khi biết tổng và tích của chúng: ${x^2} - Sx + P = 0$ với S là tổng, P là tích của hai số.

Từ đó giải phương trình để tìm u, v.

Thay u, v vừa tìm được vào $u - 2v$

Hai số u, v thỏa mãn $u + v = 14;uv = 40$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 14x + 40 = 0$.

Ta có: $\Delta ' = {\left( { - 7} \right)^2} - 40 = 49 - 40 = 9$, suy ra $\Delta ' = \sqrt 9 = 3$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = 7 - 3 = 4;{x_2} = 7 + 3 = 10$

Suy ra $u = 4;v = 10$.

Do đó $u - 2v = 4 - 2.10 = 4 - 20 = - 16$.

Đáp án: -16

Xác định tần số tương đối của khối lượng Ổi đã bán.

Tính khối lượng Ổi đã bán.

Tần số tương đối của khối lượng Ổi là: $100\% - 25\% - 32\% - 10\% = 33\%$.

Khối lượng Ổi đã bán là: $200.33\% = 66\left( {kg} \right)$

Đáp án: 66

Tính góc nội tiếp ABC theo góc ở tâm AOC.

Chứng minh tam giác ABC vuông tại C. Sử dụng hệ thức lượng để tính AC theo R.

Vì $\widehat {AOC}$ là góc ở tâm chắn cung AC, $\widehat {ABC}$ là góc nội tiếp chắn cung AC nên $\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC} = \frac{1}{2}.116^\circ = 58^\circ$.

Ta có: $\widehat {ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ACB} = 90^\circ$.

Do đó tam giác ABC vuông tại C.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC, ta được: $AC = AB.\sin B = 2R.\sin 58^\circ$.

Đáp án: 58

Tính nửa chu vi của khu vườn.

Gọi cạnh thứ nhất của khu vườn là: $x\,(m,\,\,0 < x < 125)$

Biểu diễn cạnh thứ hai và diện tích của khu vườn ban đầu.

Biểu diễn hai cạnh khi thay đổi và diện tích khu vườn mới.

Lập phương trình và giải phương trình, kiểm tra lại điều kiện.

Tính diện tích khu vườn, từ đó tính diện tích trồng hoa, diện tích còn lại.

Nửa chu vi của khu vườn là $250:2 = 125\,(m)$

Gọi cạnh thứ nhất của khu vườn là: $x\,(m,\,\,0 < x < 125)$

Cạnh thứ hai của khu vườn là: $125 - x\,(m)$

Diện tích khu vườn là: $x.(125 - x) = 125{\rm{x}} - {x^2}\,({m^2})$

Giả sử cạnh thứ nhất giảm đi 3 lần thì độ dài cạnh thứ nhất là: $\frac{x}{3}$ (m)

Giả sử cạnh thứ hai tăng lên 2 lần thì độ dài cạnh thứ hai là: $2(125 - x)\,(m)$

Khi đó diện tích khu vườn là: $\frac{x}{3}.2.(125 - x) = \frac{{250{\rm{x}}}}{3} - \frac{{2{{\rm{x}}^2}}}{3}\,\,({m^2})$

Vì khi một cạnh giảm 3 lần và cạnh còn lại tăng 2 lần thì diện tích khu vườn giảm $1250\,{m^2}$ nên ta có phương trình: $125{\rm{x}} - {x^2} - \frac{{250{\rm{x}}}}{3} + \frac{{2{{\rm{x}}^2}}}{3} = 1250$

Suy ra: ${x^2} - 125{\rm{x}} + 3750 = 0$

Giải phương trình ta được: ${x_1} = 75$ (tmđk); ${x_2} = 50$ (tmđk)

Vậy một cạnh của khu vườn bằng $75\,m$, cạnh còn lại là $50\,m$.

Do đó diện tích của khu vườn hình chữ nhật ban đầu là: $75.50 = 3750\,({m^2})$

Diện tích đất trồng hoa là: $3750.\frac{1}{5} = 750\,({m^2})$

Diện tích đất còn lại là: $3750 - 750 = 3000\,({m^2})$

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp thông qua hai tam giác vuông nội tiếp cùng một đường tròn.

b) Chứng minh $\Delta AHI\backsim \Delta ABK\left( g.g \right)$ suy ra tỉ số liên quan đến $AH,AK$.

a) Ta có: $\widehat {HKB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\Delta HKB$ vuông tại K.

$\widehat {HIB} = 90^\circ$ (dây CD vuông góc với AB tại I) nên $\Delta HIB$ vuông tại I.

Do đó $\Delta HKB,\Delta HIB$ cùng nội tiếp đường tròn đường kính HB, suy ra H, I, B, K thuộc một đường tròn hay tứ giác $BIHK$ là tứ giác nội tiếp.

b) Xét tam giác AHI và tam giác ABK có:

$\widehat {HIB} = \widehat {HKB} = 90^\circ$

$\widehat A$ chung

nên $\Delta AHI\backsim \Delta ABK$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AH}}{{AI}} = \frac{{AB}}{{AK}}$. Do đó $AH.AK = AI.AB$.

Mà I là trung điểm của AO nên $AI = \frac{{AO}}{2} = \frac{R}{2}$.

Suy ra $AH.AK = AI.AB = \frac{R}{2}.2R = {R^2}$ (không đổi).

Vậy $AH.AK$ có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm $K$.

Sử dụng công thức nghiệm $\Delta ' = b{'^2} - ac$, tìm điều kiện của m để $\Delta > 0$.

Sử dụng định lí Viète để biểu diễn ${x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}$: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1\mathrm{.}{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$.

Biến đổi để tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Ta có: $\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 2 = 2m - 1$

Để phương trình có hai nghiệm thì $\Delta \ge 0$ hay $2m - 1 \ge 0$, suy ra $m \ge \frac{1}{2}$.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{1} = 2m + 2\\{x_1}.{x_2} = \frac{{{m^2} + 2}}{1} = {m^2} + 2\end{array} \right.$.

Ta có:

$\begin{array}{l}A=x_1{x}_2-2\left(x_1+x_2\right)-6\\ =m^2+2-2\left(2m+2\right)-6\\ =m^2-4m-8\\ =m^2-4m+4-12\end{array}$$\begin{array}{l}A = {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6\\ = {m^2} + 2 - 2\left( {2m + 2} \right) - 6\\ = {m^2} - 4m - 8\\ = {m^2} - 4m + 4 - 12\end{array}$

$= {\left( {m - 2} \right)^2} - 12 \ge - 12$ với mọi $m$.

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của A bằng -12 khi $m - 2 = 0$ hay $m = 2$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -12 khi m = 2.