Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 7

Vận dụng định nghĩa về đại lượng tỉ lệ nghịch.

Ta có: $x = \dfrac{5}{y}$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Biến cố chắc chắn: Là biến cố biết trước được luôn xảy ra

Đáp án A Biến cố không thể

Đáp án B Biến cố ngẫu nhiên

Đáp án C Biến cố ngẫu nhiên

Đáp án D Mặt Trời luôn mọc ở phía Đông nên sự kiện “Ngày mai, Mặt Trời mọc ở phía Đông." Luôn xảy ra nên là biến

cố chắc chắn.

Áp dụng công thức tính tính chu vi hình chữ nhật và công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật.

Gọi độ dài các cạnh đáy của hình hộp chữ nhật là $a$ và $b,$ chiều cao là $c\,\,\,\left( {a,b,c \in {\mathbb{N}}^{*}} \right).$

Vì chu vi đáy của hình hộp chữ nhật là $18\, cm$ nên ta có: $\left. 2\left( {a + b} \right) = 18\Rightarrow a + b = \dfrac{18}{2} = 9\,\,\,\,(1) \right.$

Thể tích khối lập phương cạnh $1cm$ là: $V_{1} = 1^{3} = 1\left( {cm^{3}} \right)$

Thể tích của hình hộp chữ nhật là: $V = 42.1 = 42\left( {cm^{3}} \right)$ $\left. \Rightarrow abc = 42\,\,\,(2) \right.$

Từ $\left. (1),(2)\Rightarrow \right.$$a,\, b$ là ước của $42$ và nhỏ hơn $9.$

+ Nếu các cạnh đáy là $5$ và $4$ thì $c = \dfrac{42}{a.b} = \dfrac{42}{5.4} = \dfrac{21}{10}\,$ không là số tự nhiên

+ Nếu các cạnh đáy là $6$ và $3$ thì $c = \dfrac{42}{a.b} = \dfrac{42}{6.3} = \dfrac{7}{3}\,$ không là số tự nhiên

+ Nếu các cạnh đáy là $7$ và $2$ thì $c = \dfrac{42}{a.b} = \dfrac{42}{7.2} = 3\,\left( {TM} \right)\,$

Vậy các cạnh của hình chữ nhật là $7cm;\, 2cm;\, 3cm$ nên tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật là $12cm.$

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Biểu thức: $2xy - x^{2}$ không là một đơn thức.

Thu gọn đa thức bằng cách nhóm các hạng tử đồng dạng lại rồi thu gọn chúng. Sau đó sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.

Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến: $P(x) = x^{4} + 2x^{3} - 7x^{2} - 4$

Sử dụng hệ quả của bất đẳng thức trong tam giác:

+ Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là $a,b,c$ nếu $\left| {b - c} \right| < a < b + c$.

+ Trong trường hợp xác định được $a$ là số lớn nhất trong ba số $a,b,c$ thì điều kiện tồn tại tam giác là $a < b + c$

Xét tam giác $MNP$, ta có:

$\begin{array}{l}\mid NP-MP\mid <MN<NP+MP\\ \Rightarrow \mid 1-7\mid <MN<1+7\\ \Rightarrow 6<MN<8\end{array}$$\begin{array}{l} {\,\,\,\,\,\,\,\left| {NP - MP} \right| < MN < NP + MP} \\ \left. \Rightarrow\left| {1 - 7} \right| < MN < 1 + 7 \right. \\ \left. \Rightarrow 6 < MN < 8 \right. \end{array}$

Vì độ dài cạnh $MN$ là một số nguyên nên $MN = 7\,\left( {cm} \right)$

Dựa vào tính chất hai tam giác bằng nhau.

Xét tam giác ABE và tam giác ADC có:

AD = AE (GT)

Góc A chung

AB = AC (GT)

Do đó, $\Delta ABE = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)$

Suy ra $\widehat{ABE} = \widehat{ACD};\ \widehat{ADC} = \widehat{AEB}$ (hai góc tương ứng) và BE = CD (hai cạnh tương ứng) nên A đúng.

Lại có $\widehat{ADC} + \widehat{BDC} = 180^{{^\circ}}$; $\widehat{AEB} + \widehat{BEC} = 180^{{^\circ}}$ (hai góc kề bù) mà $\widehat{ADC} = \widehat{AEB}$ (cmt)

Suy ra $\widehat{BDC} = \widehat{BEC}.$

Lại có $AB = AC; AD = AE\left( {gt} \right)$

Do đó $AB - AD = AC - AE$ hay $BD = EC$ nên C đúng.

Xét tam giác KBD và tam giác KCE có

$\widehat {ABE} = \widehat {ACD}{\mkern 1mu} \left( {cmt} \right)$

$BD = EC{\mkern 1mu} \left( {cmt} \right)$

$\widehat {BDC} = \widehat {BEC}{\mkern 1mu} \left( {cmt} \right)$

Do đó, $\Delta KBD = \Delta KCE\left( {g - c - g} \right)$

Suy ra $KB = KC; KD = KE$ (hai cạnh tương ứng)  nên B đúng, D sai.

Tính chất đồng quy của 3 đường trung trực của tam giác

3 đường trung trực của tam giác đồng quy tại 1 điểm, điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác.

a) Vận dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau: Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $ad = bc$.

b) Phương trình $A(x).B(x) = 0$ , chia hai trường hợp để giải:

+ Trường hợp 1: $A(x) = 0$

+ Trường hợp 2: $B(x) = 0$

a) $\dfrac{5x - 2}{3} = \dfrac{- 3}{4}$

$\begin{array}{l}4.\left(5x-2\right)=\left(-3\right).3\\ 20x-8=-9\\ 20x=-9+8\\ 20x=-1\\ x={\displaystyle \frac{-1}{20}}\end{array}$$\begin{array}{l} {4.\left( {5x - 2} \right) = \left( {- 3} \right).3} \\ {20x - 8 = - 9} \\ {20x = - 9 + 8} \\ {20x = - 1} \\ {x = \dfrac{- 1}{20}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{- 1}{20}$

b) $\left( {x^{2} - \dfrac{1}{4}} \right).\left( {x + \dfrac{2}{5}} \right) = 0$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}=0\\ x^2={\displaystyle \frac{1}{4}}={\left(\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2\\ \text{Suy ra }x={\displaystyle \frac{1}{2}};x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$\begin{array}{l} {x^{2} - \dfrac{1}{4} = 0} \\ {x^{2} = \dfrac{1}{4} = \left( {\pm \dfrac{1}{2}} \right)^{2}} \\ {\text{Suy~ra~}x = \dfrac{1}{2};x = - \dfrac{1}{2}} \end{array}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}x+{\displaystyle \frac{2}{5}}=0\\ x={\displaystyle \frac{-2}{5}}\end{array}$$\begin{array}{l} {x + \dfrac{2}{5} = 0} \\ {x = \dfrac{- 2}{5}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{1}{2};x = - \dfrac{1}{2};x = \dfrac{- 2}{5}$

Gọi số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $x,y,z$ (cây) (điều kiện: $x,y,z \in {\mathbb{N}}^{*}$)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải toán.

Gọi số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $x,y,z$ (cây) (điều kiện: $x,y,z \in {\mathbb{N}}^{*}$)

Vì số cây ở lớp 7A, 7B, 7C được trồng tỉ lệ với các số $3\,;\, 5\,;\, 8$ nên ta có: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{8}$

Vì hai lần số cây của lớp 7A cộng với $4$ lần số cây lớp 7B trồng được nhiều hơn số cây lớp 7C trồng được là $108$ cây nên ta có: $2x + 4y - z = 108$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{2x}{6} = \dfrac{4y}{20} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{2x + 4y - z}{6 + 20 - 8} = \dfrac{108}{18} = 6$

Khi đó, $\left. \dfrac{x}{3} = 6\Rightarrow x = 18 \right.$ (tmđk)

$\left. \dfrac{y}{5} = 6\Rightarrow y = 30 \right.$ (tmđk)

$\left. \dfrac{z}{8} = 6\Rightarrow y = 48 \right.$ (tmđk)

Vậy số cây ba lớp trồng được là: Lớp 7A: 18 cây; lớp 7B: 30 cây, lớp 7C: 48 cây.

a) Thu gọn đa thức bằng cách nhóm các hạng tử đồng dạng lại rồi thu gọn chúng. Sau đó sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính $f(x) + g(x)$ ta nhóm các hạng tử đồng dạng lại rồi thu gọn chúng.

Tìm nghiệm của đa thức $f(x) + g(x)$, ta giải phương trình $f(x) + g(x) = 0$

a) $f(x) = x^{5} + x^{3} - 4x - x^{5} + 3x + 7$

$\begin{array}{l}f(x)=\left(x^5-x^5\right)+x^3+\left(-4x+3x\right)+7\\ f(x)=x^3-x+7\end{array}$$\begin{array}{l} {f(x) = \left( {x^{5} - x^{5}} \right) + x^{3} + \left( {- 4x + 3x} \right) + 7} \\ {f(x) = x^{3} - x + 7} \end{array}$

$\begin{array}{l}g(x)=3x^2-x^3+8x-3x^2-14\\ g(x)=-x^3+\left(3x^2-3x^2\right)+8x-14\\ g(x)=-x^3+8x-14\end{array}$$\begin{array}{l} {g(x) = 3x^{2} - x^{3} + 8x - 3x^{2} - 14} \\ {g(x) = - x^{3} + \left( {3x^{2} - 3x^{2}} \right) + 8x - 14} \\ {g(x) = - x^{3} + 8x - 14} \end{array}$

b) $f(x) + g(x) = x^{3} - x + 7 - x^{3} + 8x - 14$

$\begin{array}{l}=x^3-x+7-x^3+8x-14\\ =\left(x^3-x^3\right)+\left(-x+8x\right)+\left(7-14\right)\\ =7x-7\end{array}$$\begin{array}{l} {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x^{3} - x + 7 - x^{3} + 8x - 14} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x^{3} - x^{3}} \right) + \left( {- x + 8x} \right) + \left( {7 - 14} \right)} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 7x - 7} \end{array}$

Ta có: $f(x) + g(x) = 0$

$\begin{array}{l}7x-7=0\\ 7x=7\\ x=1\end{array}$$\begin{array}{l} {7x - 7 = 0} \\ {7x = 7} \\ {\,\,\, x = 1} \end{array}$

Vậy $x = 1$ là nghiệm của đa thức $f(x) + g(x)$

Sử dụng tính chất tia phân giác, các phương pháp chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau, mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, tính chất của tam giác cân.

a) Chứng minh rằng ΔABD = ΔEBD.

Xét hai tam giác vuông ΔABD và ΔEBD ta có:

$\widehat{A} = \widehat{E} = 90^{0}$

AD = DE (vì BD là tia phân giác)

BD cạnh chung

Do đó ΔABD = ΔEBD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra AD = DE, BA = BE (cạnh tương ứng) (1)

b) So sánh AD và DC

Xét ΔDEC vuông tại E ta có: DC > DE

Lại có AD = DE (cmt)

Suy ra DC > AD

c) Chứng minh rằng B, D, I thẳng hàng.

Xét ΔBGC có AC $\bot$ AB, GE $\bot$ AC

Suy ra D là trực tâm của ΔBGC (2)

Xét hai tam giác vuông ΔADG và ΔEDC ta có:

$\widehat{ADG} = \widehat{EDC}$ (đối đỉnh)

$\widehat{A} = \widehat{E} = 90^{0}$

AD = DE (cm câu b)

Do đó, ΔADG = ΔEDC (cạnh góc vuông – góc nhọn)

Suy ra AG = EC (cạnh tương ứng) (3)

từ (1), (3) suy ra BA +AG = BE + EC hay BG = BC

Vậy ΔBGC là tam giác cân tại B.   (4)

Từ (2), (4) suy ra BD là đường trung tuyến của tam giác ΔBGC. Hay B, D, I thẳng hàng. (đpcm)

- Bước 1: Từ đề bài suy ra tỉ lệ

- Bước 2: Đặt các tỉ lệ bằng $k$ từ đó suy ra \(x,\mspace{2mu} y,\mspace{2mu} z\) theo $k$

- Bước 3: Thay vào đề bài và tính toán

- Bước 4: Kết luận

Vì \(x;\,\mspace{2mu} y;\mspace{2mu}\, z\) tỉ lệ thuận với \(3;\mspace{2mu}\,\, 4;\,\,\mspace{2mu} 5\) $\left. \Rightarrow\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} \right.$. Đặt $\left. \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5} = k\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {x = 3k} \\ {y = 4k} \\ {z = 5k} \end{array} \right.$ \right.. Khi đó,$A = 2024\left( {3k - 4k} \right)\left( {4k - 5k} \right) - 506.\left( \dfrac{3k + 4k + 5k}{6} \right)^{2}$

$A = 2024\left( {- k} \right)\left( {- k} \right) - 506.\left( {2k} \right)^{2}$

$A = 2024.k^{2} - 506.4.k^{2}$

$A = 2024k^{2} - 2024k^{2}$

$A = 0$

Vậy $A = 0.$