Đề thi học kì 2 Toán 7 - Đề số 6

Xác suất của biến cố trong trò chơi gieo xúc xắc bằng tỉ số của số các kết quả thuận lợi cho biến cố và số các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của xúc xắc.

Nếu k là số kết quả thuận lợi cho biến cố thì xác suất của biến cố đó bằng $\dfrac{k}{4}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Vì 7x = 4y nên $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{7}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{y - x}{7 - 4} = \dfrac{24}{3} = 8$

Do đó x = 4 . 8 = 32; y = 7 . 8 = 56.

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là: $S_{xq} = C$_đáy $.h$

Độ dài của cạnh $x$ là: $x = 10 - 2 - 2 = 6\,\left( {cm} \right)$

Độ dài của cạnh $y$ là: $y = 12 - 8 = 4\,\left( {cm} \right)$

Chu vi mặt đáy là: $10 + 8 + 2 + 4 + 6 + 4 + 2 + 8 = 44\left( {cm} \right)$

Diện tích xung quanh khối gỗ là: $44.10 = 440\left( {cm^{2}} \right)$

Tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch: tích 2 giá trị tương ứng của 2 đại lượng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)

Hệ số tỉ lệ là: -12 . 8 = -96.

Khi x = 3 thì y = -96 : 3 = -32.

Mô tả

Tổng lập phương của hai số x và y là (x - y)³

Hệ số tự do của đa thức thu gọn là hệ số của hạng tử không chứa biến trong đa thức.

M = -8x² – 4x + 3 – 2x⁵  có hệ số tự do là 3.

Sử dụng kiến thức trừ đa thức.

Ta có: P(x) − G(x) = (6x³ − 3x² − 2x + 4) − (5x² − 7x + 9)

= 6x³ − 3x² − 2x + 4 − 5x² + 7x − 9

= 6x³ + (−3x² − 5x²) + (−2x + 7x) + (4 − 9)

= 6x³ − 8x² + 5x − 5.

Vậy P(x) − G(x) = 6x³ − 8x² + 5x −5.

Thay lần lượt các giá trị của x vào đa thức.

Khi x = a, đa thức có giá trị bằng 0 thì a là nghiệm của đa thức.

+) Thay $x = 1$ vào đa thức 5x² − 3x – 2, ta có:

$5.1^{2} - 3.1 - 2 = 0$

Do đó, $x = 1$ là nghiệm của đa thức 5x² − 3x – 2.

+) Thay $x = - 1$ vào đa thức 5x² − 3x – 2, ta có:

$5.\left( {- 1} \right)^{2} - 3.\left( {- 1} \right) - 2 = 5 + 3 - 2 = 6$

Do đó, $x = - 1$ không là nghiệm của đa thức 5x² − 3x – 2.

+) Thay $x = \dfrac{2}{5}$ vào đa thức 5x² − 3x – 2, ta có:

$5.\left( \dfrac{2}{5} \right)^{2} - 3.\dfrac{2}{5} - 2 = 5.\dfrac{4}{25} - \dfrac{6}{5} - 2 = \dfrac{4}{5} - \dfrac{6}{5} - 2 = \dfrac{- 12}{5}$

Do đó, $x = \dfrac{2}{5}$ không là nghiệm của đa thức 5x² − 3x – 2.

Thay $x = \dfrac{- 2}{5}$ vào đa thức 5x² − 3x – 2, ta có:

$5.\left( \dfrac{- 2}{5} \right)^{2} - 3.\dfrac{- 2}{5} - 2 = 0$

Do đó, $x = \dfrac{- 2}{5}$ là nghiệm của đa thức 5x² − 3x – 2.

Vậy $x = 1$ và $x = \dfrac{- 2}{5}$ là hai nghiệm của đa thức 5x² − 3x – 2.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác, tính góc M.

Dựa vào quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác.

Xét tam giác MNP có: $\widehat{M} + \widehat{N} + \widehat{P} = 180{^\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{M} = 180{^\circ} - \widehat{N} - \widehat{P} = 180{^\circ} - 70{^\circ} - 55{^\circ} = 55{^\circ}$

Ta được: $\widehat{M} = \widehat{P}$

Mà cạnh NP là cạnh đối của góc M, MN là cạnh đối của góc P.

Vậy NP = MN.

Các mặt bên của hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác đều là các hình chữ nhật.

Diện tích xung quanh của hình năng trụ đứng tam giác (lăng trụ đứng tứ giác) là: $S_{xq} = C.h$ (trong đó $C$ là chu vi đáy và $h$ là chiều cao của hình lăng trụ)

Hình lăng trụ đứng tam giác có 4 mặt, 6 đỉnh $\left. \Rightarrow\, \right.$ Sai

Hình lăng trụ đứng tam giác có 5 mặt, 6 đỉnh $\left. \Rightarrow\, \right.$ Đúng

Công thức tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tứ giác và tam giác là $S_{xq} = C.h$ $\left. \Rightarrow\, \right.$ Đúng

Hình lăng trụ đứng tứ giác là lăng trụ đứng tứ giác có các mặt bên là các hình chữ nhật $\left. \Rightarrow\, \right.$ Đúng

Bất đẳng thức tam giác: Kiểm tra tổng độ dài 2 cạnh nhỏ hơn có lớn hơn độ dài cạnh lớn nhất không. Nếu không thì bộ 3 độ dài đó không tạo được thành tam giác.

Vì 18 + 10 = 28 nên không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Do đó, bộ ba độ dài đoạn thẳng 18 cm; 28 cm; 10 cm không thể tạo thành một tam giác.

Vẽ hình và nhận xét A là giao điểm của hai đường thẳng nào? Hai đường thẳng ấy có quan hệ như thế nào với tam giác ABC.

Vì $AB\bot AC$ nên AB, AC là hai đường cao. Suy ra A là giao điểm của hai đường cao. Vậy A là trực tâm tam giác ABC.

Đáp số: A là trực tâm tam giác ABC.

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là $x,y$ (cm) (điều kiện: $x,y > 0$)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là $x,y$ (cm) (điều kiện: $x,y > 0$)

Theo đề bài: chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó lần lượt tỉ lệ với $5\,\,;\,\, 3$ nên ta có: $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3}$

Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là $8$ cm nên $2x - 3y = 8$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{2x}{10} = \dfrac{3y}{9} = \dfrac{2x - 3y}{10 - 9} = \dfrac{8}{1} = 8$

Khi đó, $\left. \dfrac{x}{5} = 8\Rightarrow x = 40 \right.$ (tmđk)

$\left. \dfrac{y}{3} = 8\Rightarrow y = 24 \right.$ (tmđk)

Chu vi của hình chữ nhật là: $2\left( {x + y} \right) = 2\left( {40 + 24} \right) = 128$ (cm)

+ Ta có thể mở rộng cộng (trừ) các đa thức dựa trên quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép toán trên số.

+ Đối với đa thức một biến đã sắp xếp còn có thể cộng (trừ) bằng cách đặt tính theo cột dọc tương tự cộng (trừ) các số.

+ $x = a$ được gọi là nghiệm của $P(x)$ nếu: $P(a) = 0$

+ Với các đa thức bậc cao, ta thường biến đổi để đưa về tích của các đơn thức rồi tìm nghiệm.

+ $A.B = 0$ suy ra $A = 0$ hoặc $B = 0$.

$M(x) = 2 - 5x^{2} + 3x^{4} - 4x^{2} + 3x + x^{4} - 4x^{6} - 7x$

$N(x) = - 1 + 5x^{6} - 6x^{2} - 5 - 9x^{6} + 4x^{4} - 3x^{2}$

a) Ta có:

$\begin{array}{l}M\left(x\right)=2-5x^2+3x^4-4x^2+3x+x^4-4x^6-7x\\ =-4x^6+\left(3x^4+x^4\right)+\left(-5x^2-4x^2\right)+\left(3x-7x\right)+2\\ =-4x^6+4x^4-9x^2-4x+2\end{array}$$\begin{array}{llllllllllllllllllll} {M\left( x \right) = 2 - 5{x^2} + 3{x^4} - 4{x^2} + 3x + {x^4} - 4{x^6} - 7x}\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {\rm{ \;}} - 4{x^6} + \left( {3{x^4} + {x^4}} \right) + \left( { - 5{x^2} - 4{x^2}} \right) + \left( {3x - 7x} \right) + 2}\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {\rm{ \;}} - 4{x^6} + 4{x^4} - 9{x^2} - 4x + 2} \end{array}$

$\begin{array}{l}N\left(x\right)=-1+5x^6-6x^2-5-9x^6+4x^4-3x^2\\ =\left(5x^6-9x^6\right)+4x^4+\left(-6x^2-3x^2\right)+\left(-1-5\right)\\ =-4x^6+4x^4-9x^2-6\end{array}$$\begin{array}{llllllllllllllllllll} {N\left( x \right) = {\rm{ \;}} - 1 + 5{x^6} - 6{x^2} - 5 - 9{x^6} + 4{x^4} - 3{x^2}}\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \left( {5{x^6} - 9{x^6}} \right) + 4{x^4} + \left( { - 6{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( { - 1 - 5} \right)}\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {\rm{ \;}} - 4{x^6} + 4{x^4} - 9{x^2} - 6} \end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}H\left(x\right)=M\left(x\right)+N\left(x\right)\\ =(-4x^6+4x^4-9x^2-4x+2)+(-4x^6+4x^4-9x^2-6)\\ =\left(-4x^6-4x^6\right)+\left(4x^4+4x^4\right)+\left(-9x^2-9x^2\right)-4x+\left(2-6\right)\\ =-8x^6+8x^4-18x^2-4x-4\end{array}$$\begin{array}{llllllllllllllllllll} {H\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right)}\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = ( - 4{x^6} + 4{x^4} - 9{x^2} - 4x + 2) + ( - 4{x^6} + 4{x^4} - 9{x^2} - 6)}\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \left( { - 4{x^6} - 4{x^6}} \right) + \left( {4{x^4} + 4{x^4}} \right) + \left( { - 9{x^2} - 9{x^2}} \right) - 4x + \left( {2 - 6} \right)}\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {\rm{ \;}} - 8{x^6} + 8{x^4} - 18{x^2} - 4x - 4} \end{array}$

$\begin{array}{l}G\left(x\right)=M\left(x\right)-N\left(x\right)\\ =(-4x^6+4x^4-9x^2-4x+2)-\left(-4x^6+4x^4-9x^2-6\right)\\ =-4x^6+4x^4-9x^2-4x+2+4x^6-4x^4+9x^2+6\\ =\left(-4x^6+4x^6\right)+\left(4x^4-4x^4\right)+\left(-9x^2+9x^2\right)-4x+\left(2+6\right)\\ =-4x+8\end{array}$$\begin{array}{llllllllllllllllllll} {G\left( x \right) = M\left( x \right) - N\left( x \right)}\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = ( - 4{x^6} + 4{x^4} - 9{x^2} - 4x + 2) - \left( { - 4{x^6} + 4{x^4} - 9{x^2} - 6} \right)}\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {\rm{ \;}} - 4{x^6} + 4{x^4} - 9{x^2} - 4x + 2 + 4{x^6} - 4{x^4} + 9{x^2} + 6}\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \left( { - 4{x^6} + 4{x^6}} \right) + \left( {4{x^4} - 4{x^4}} \right) + \left( { - 9{x^2} + 9{x^2}} \right) - 4x + \left( {2 + 6} \right)}\\ {{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {\rm{ \;}} - 4x + 8} \end{array}$

c) $G(x) = 0$

$- 4x + 8 = 0$

$- 4x = - 8$

$x = 2$

+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Sử dụng tính chất của các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.

+ Các định lí từ vuông góc tới song song.

+ Tính chất các đường cao, đường phân giác, đường trung trực trong tam giác cân.

a) Xét hai tam giác vuông $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có:

BD chung

$\widehat{ABD} = \widehat{EBD}$ (vì BD là tia phân giác của $\widehat{ABC}$)

Do đó, $\Delta ABD =$$\Delta EBD$ (cạnh huyền – góc nhọn) (đpcm)

b) Vì $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll} {AH \bot BC{\mkern 1mu} \left( {gt} \right)}\\ {DE \bot BC{\mkern 1mu} \left( {gt} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow AH//DE$ (từ vuông góc đến song song)

Suy ra $\widehat{AID} = \widehat{IDE}$ (2 góc so le trong) (1)

Vì $\Delta ABD = \Delta EBD$ (câu a) nên $\widehat{ADB} = \widehat{BDE}$ (2 góc tương ứng)

hay $\widehat{ADI} = \widehat{IDE}$ (2)

Từ (1) và (2), ta có $\widehat{AID} = \widehat{ADI}$. Do đó $\Delta AID$ cân tại $A$. (đpcm)

c) Vì $AH//DE$ (cmt) nên $\widehat{HAE} = \widehat{AED}$ (2 góc so le trong) (3)

Vì $\Delta ABD = \Delta EBD$ (câu a) nên $AD = DE$ (2 cạnh tương ứng) suy ra $\Delta ADE$ cân tại D.

Suy ra $\widehat{DAE} = \widehat{DEA}$ (2 góc tương ứng) (4)

Từ (3) và (4), ta có $\widehat{HAE} = \widehat{DAE}$

Hay $AE$ là tia phân giác của $\widehat{HAC}$ (đpcm).

d) Vì $\Delta AID$ cân tại $A$ nên $AI = AD$, lại có $AD = DE$ (cmt) suy ra $AI = DE$

Nếu $DC = 2AI$ $\left. \Rightarrow DC = 2DE \right.$.

Gọi $M$ là trung điểm DC nên $DM = MC$.

Xét tam giác vuông DEC có EM là đường trung tuyến suy ra $EM = DM = MC$

Do đó $\Delta DEM$ là tam giác đều suy ra $\widehat{EDC} = 60^{{^\circ}}$ (tính chất tam giác đều).

Xét tam giác DEC vuông tại $E$ có $\widehat{EDC} = 60^{{^\circ}}$ suy ra $\widehat{DCE} = 30^{{^\circ}}$ hay $\widehat{ACB} = 30^{{^\circ}}$.

Vậy để $DC = 2AI$ thì tam giác ABC có thêm điều kiện là $\widehat{ACB} = 30^{{^\circ}}$.

Xét với $x = - 1$, ta tìm được mối liên hệ của $f\left( {- 1} \right)$ và $f(1)$

Xét với $x = 1$, ta tìm được $f(1)$.

+ Với $x = - 1$, ta có: $f\left( {- 1} \right) + \left( {- 1} \right).f(1) = - 1 + 1$

$\begin{array}{l}\Rightarrow f\left(-1\right)-f(1)=0\\ \Rightarrow f\left(-1\right)=f(1)\end{array}$$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow f\left( {- 1} \right) - f(1) = 0 \right. \\ \left. \Rightarrow f\left( {- 1} \right) = f(1) \right. \end{array}$

+ Với $x = 1$, ta có: $f(1) + 1.f\left( {- 1} \right) = 1 + 1$

$\left. \Rightarrow f(1) + f\left( {- 1} \right) = 2 \right.$

Suy ra, $f(1) + f(1) = 2$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2f(1)=2\\ \Rightarrow f(1)=1\end{array}$$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow 2f(1) = 2 \right. \\ \left. \Rightarrow f(1) = 1 \right. \end{array}$

Vậy $f(1) = 1$