Đề thi giữa học kì 2 Toán 7 - Đề số 10

Từ đẳng thức $a \cdot d = b \cdot c$ (với $a,b,c,d \neq 0$), ta có thể lập được tỉ lệ thức $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$ (hoặc $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d},\dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a},\dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}$).

Từ đẳng thức $a \cdot d = b \cdot c$, chia hai tế cho $c \cdot d$ ta được tỉ lệ thức $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$.

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{a + b + e}{c + d + f}$.

Tử số và mẫu số phải tương ứng cùng phép cộng/trừ và cùng hệ số.

Đáp án B sai vì $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{a + b + e}{c + d + f}$

Nếu đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với đại lượng $x$ theo hệ số tỉ lệ $k$ thì ta có công thức $y = k \cdot x$.

Vì $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $2$ nên $y = 2x$. Với $x = 5$ thì $y = 2 \cdot 5 = 10$.

Nếu đại lượng $y$ tỉ lệ nghịch với đại lượng $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ ($y = \dfrac{a}{x}$) thì $x$ cũng tỉ lệ nghịch với $y$ theo hệ số tỉ lệ $a$ ($x = \dfrac{a}{y}$).

Đại lượng $y$ tỉ lệ nghịch với đại lượng $x$ theo hệ số tỉ lệ $5$ ($y = \dfrac{5}{x}$) thì đại lượng $x$ cũng tỉ lệ nghịch với $y$ theo hệ số tỉ lệ $5$ ($x = \dfrac{5}{y}$).

Tích của hai số/biểu thức là kết quả của phép nhân giữa chúng.

Biểu thức đại số biểu thị tích của $x$ và $y$ là $x \cdot y$ (hay $xy$).

Đơn thức bao gồm phần hệ số (thường là phần số) và phần biến.

Đơn thức $3x^{5}$ có phần hệ số là $3$ và phần biến là $x^{5}$.

Bậc của đa thức một biến là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó (sau khi đã thu gọn).

Đa thức $10x^{2} - 7x^{3} + 2,5 - x^{4}$ có số mũ lớn nhất của biến $x$ là $4$ (ở hạng tử $- x^{4}$). Do đó bậc của đa thức là $4$.

Nhân hai đơn thức: Nhân hệ số với hệ số, nhân phần biến với phần biến ($x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$).

$5x^{5} \cdot ( - 3x^{2}) = \lbrack 5 \cdot ( - 3)\rbrack \cdot (x^{5} \cdot x^{2}) = - 15x^{5 + 2} = - 15x^{7}$.

Biểu diễn quan hệ giữa $x, y$ và $y, z$ qua các công thức, sau đó thế $y$ để tìm mối quan hệ giữa $x$ và $z$.

$x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ $2$ nên $x = 2y$ hay $y = \dfrac{x}{2}$.

$y$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $8$ nên $y \cdot z = 8$.

Thay $y = \dfrac{x}{2}$ vào ta được: $\dfrac{x}{2} \cdot z = 8$ nên $x \cdot z = 16$ suy ra $x = \dfrac{16}{z}$.

Vậy $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $16$.

Hệ số tự do của đa thức một biến là hệ số của hạng tử không chứa biến (bậc 0).

Trong đa thức $A(x) = 5x^{3} - 4x^{2} + 8$, hạng tử không chứa biến $x$ là $8$. Vậy hệ số tự do là $8$.

Xác định hạng tử chứa $x^{2}$, hệ số đi kèm với $x^{2}$ chính là hệ số cần tìm.

Trong đa thức $A(x) = 5x^{3} - 4x^{2} + 8$, hạng tử chứa $x^{2}$ là $- 4x^{2}$. Do đó hệ số của $x^{2}$ là $- 4$.

Nếu $x = a$ là nghiệm của đa thức $f(x)$ thì khi thay $x = a$ vào đa thức, giá trị của đa thức bằng $0$.

Theo định nghĩa nghiệm của đa thức, nếu $x = a$ là nghiệm của $f(x)$ thì $f(a) = 0.$.

a) Sử dụng tính chất tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $a = \dfrac{b \cdot c}{d}$.

b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{x + y}{a + b}$.

c) Nhân đơn thức/đa thức với đa thức để bỏ ngoặc, thu gọn các hạng tử đồng dạng và giải phương trình tìm $x$.

a) $\dfrac{x}{5} = \dfrac{- 9}{20}$

Suy ra: $x = \dfrac{- 9.5}{20} = \dfrac{- 9}{4}$.

b) $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{2}$ và $x + y = - 21$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{x + y}{5 + 2} = \dfrac{- 21}{7} = - 3$

Suy ra:

$\begin{array}{l}x=5.\left(-3\right)=-15\\ y=2.\left(-3\right)=-6\end{array}$$\begin{array}{l} {x = 5.\left( {- 3} \right) = - 15} \\ {y = 2.\left( {- 3} \right) = - 6} \end{array}$

Vậy $x = - 15;y = - 6$

c)

$\begin{array}{l}\left(x+2\right)\left(2x-3\right)-2x\left(x-1\right)=-1\\ 2x^2-3x+4x-6-2x^2+2x=-1\\ 3x=5\\ x={\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 3} \right) - 2x\left( {x - 1} \right) = - 1} \\ {2x^{2} - 3x + 4x - 6 - 2x^{2} + 2x = - 1} \\ {3x = 5} \\ {x = \dfrac{5}{3}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{5}{3}$

a) Thay $x = 1$ vào biểu thức $A(x)$ rồi thực hiện tính toán.

b) Đặt phép tính cộng/trừ đa thức, phá ngoặc (chú ý đổi dấu khi có dấu trừ phía trước), nhóm các hạng tử đồng dạng và thu gọn.

a) Thay $x = 1$ vào đa thức $A(x)$ ta được:

$A(1) = 5.1^{2} - 3.1 - 2 = 0$.

b) $A(x) + B(x) = (5x^{2} - 3x - 2) + (x^{2} + 3x - 4)$

$\begin{array}{l}=5x^2-3x-2+x^2+3x-4\\ =(5x^2+x^2)+(-3x+3x)+(-2-4)\\ =6x^2-6\end{array}$$\begin{array}{l} {= 5x^{2} - 3x - 2 + x^{2} + 3x - 4} \\ {= (5x^{2} + x^{2}) + ( - 3x + 3x) + ( - 2 - 4)} \\ {= 6x^{2} - 6} \end{array}$

$A(x) - B(x) = (5x^{2} - 3x - 2) - \left( {x^{2} + 3x - 4} \right)$

$\begin{array}{l}=5x^2-3x-2-x^2-3x+4\\ =(5x^2-x^2)+(-3x-3x)+(-2+4)\\ =4x^2-6x+2\end{array}$$\begin{array}{l} {= 5x^{2} - 3x - 2 - x^{2} - 3x + 4} \\ {= (5x^{2} - x^{2}) + ( - 3x - 3x) + ( - 2 + 4)} \\ {= 4x^{2} - 6x + 2} \end{array}$

Dựa vào kiến thức tỉ lệ nghịch.

Gọi $x$ (ngày) là thời gian 10 công nhân làm xong công việc ($x > 0$).

Vì năng suất làm việc là như nhau, nên số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có phương trình: $15.6 = 10.x$

Suy ra: $x = \dfrac{15.6}{10} = 9$ (Thỏa mãn)

Vậy 10 công nhân thì làm xong công việc trong 9 ngày.

a) Cộng/trừ các đơn thức đồng dạng bằng cách cộng/trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.

b) Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai rồi thu gọn.

c) Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

a) $5x^{4} - 3x^{4} + 0,5x^{4} = 2,5x^{4}$

b) $\left( {2x^{2} - 5x} \right)\left( {2x - 3} \right)$

$= 2x^{2}.2x - 5x.2x - 2x^{2}.3 + 5x.3$

$\begin{array}{l}=4x^3-10x^2-6x^2+15x\\ =4x^3-16x^2+15x\end{array}$$\begin{array}{l} {= 4x^{3} - 10x^{2} - 6x^{2} + 15x} \\ {= 4x^{3} - 16x^{2} + 15x} \end{array}$

c) $\left( {2x^{3} - 3x^{2} + 4x + 3} \right):\left( {2x + 1} \right)$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p} = \dfrac{a - b}{m - n} = \dfrac{b - c}{n - p} = \dfrac{c - a}{p - m}$ để biểu diễn các hiệu $x - y$, $y - z$, $z - x$ theo cùng một giá trị trung gian.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{2024} = \dfrac{y}{2025} = \dfrac{z}{2026} = \dfrac{x - y}{- 1} = \dfrac{y - z}{- 1} = \dfrac{z - x}{2}$

Suy ra:

$\begin{array}{l}x-y=y-z\\ z-x=-2\left(x-y\right)\end{array}$$\begin{array}{l} {x - y = y - z} \\ {z - x = - 2\left( {x - y} \right)} \end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(z-x\right)}^2=\left(z-x\right)\left(z-x\right)\\ =-2\left(x-y\right)\mathrm{.}\left(-2\right)\left(x-y\right)\\ =4\left(x-y\right)\left(y-z\right)\end{array}$$\begin{array}{l} {\left( {z - x} \right)^{2} = \left( {z - x} \right)\left( {z - x} \right)} \\ {= - 2\left( {x - y} \right).\left( {- 2} \right)\left( {x - y} \right)} \\ {= 4\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)} \end{array}$

Vậy $4\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right) = \left( {z - x} \right)^{2}$