Đề thi giữa học kì 2 Toán 7 - Đề số 9

- Đọc dữ liệu số lượng bán ra của điều hòa (cột xanh) và quạt hơi nước (cột vàng) trong tháng 5 và tháng 6 từ biểu đồ cột kép.

- Tính tổng số lượng bán ra trong tháng 5 và tháng 6.

- Số lượng bán ra trong tháng 5 là 23 (điều hòa) + 12 (quạt) = 35 (chiếc).

- Số lượng bán ra trong tháng 6 là 14 (điều hòa) + 26 (quạt) = 40 (chiếc).

- Tổng số lượng bán ra trong tháng 5 và tháng 6 là 35 + 40 = 75 (chiếc).

- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.

- Kiểm tra các số từ 1 đến 10 để liệt kê tất cả các hợp số, từ đó đếm số kết quả thuận lợi.

Các hợp số trong dãy trên là: 4, 6, 8, 9, 10.

Có tất cả 5 kết quả thuận lợi.

- Tìm tổng số kết quả có thể xảy ra khi gieo xúc xắc 6 mặt (từ 1 đến 6).

- Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố "Số chấm là bội của 3".

- Áp dụng công thức tính xác suất: P = Số kết quả thuận lợi : Tổng số kết quả có thể.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi gieo xúc xắc là $6$ (xuất hiện mặt 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 chấm).

Các mặt có số chấm là bội của 3 là: $3$ và $6$ (có $2$ kết quả thuận lợi).

Xác suất của biến cố là: $P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

Nếu đại lượng $y$ tỉ lệ nghịch với đại lượng $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ ($y = \dfrac{a}{x}$) thì đại lượng $x$ cũng tỉ lệ nghịch với đại lượng $y$ theo đúng hệ số tỉ lệ $a$ ($x = \dfrac{a}{y}$).

Vì $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a = \dfrac{1}{2}$ nên $x$ cũng tỉ lệ nghịch với $y$ theo hệ số tỉ lệ là $\dfrac{1}{2}$.

Dựa vào quan hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông trong $\Delta KHN$ vuông tại $H$.

Xét tam giác $KHN$ vuông tại $H$, ta có cạnh $KN$ là cạnh huyền, $HN$ là cạnh góc vuông.

Do đó, $KN > HN$.

Áp dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mot đoạn thẳng đó.

Vì $N$ thuộc đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ nên $NC = NB$.

Theo bài ra $NB = 6\text{~cm}$, suy ra $NC = 6\text{~cm}$.

- Trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90^{{^\circ}}$.

- Tính $\widehat{DPI}$ trong $\Delta DIP$ vuông tại $I$, sau đó suy ra $\widehat{DPE}$ hoặc sử dụng tính chất đối xứng/tam giác bằng nhau: $\Delta PDI = \Delta PEI$ và $\Delta QDI = \Delta QEI$ (theo các ký hiệu bằng nhau trên hình vẽ: $PD = PE$, $QD = QE$).

+) Xét $\Delta PDI$ vuông tại $I$: $\widehat{DPI} = 90^{{^\circ}} - \widehat{PDI} = 90^{{^\circ}} - 35^{{^\circ}} = 55^{{^\circ}}$.

+) Xét $\Delta PDI$ và $\Delta PEI$ có:

$PD = PE$ (gt)

$PI$ chung

$\widehat{PID} = \widehat{PIE} = 90^{{^\circ}}$.

Do đó, $\Delta PDI = \Delta PEI$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{EPI} = \widehat{DPI} = 55^{{^\circ}}$.

Tương tự, $\Delta QDI = \Delta QEI$ (ch - cgv)

Suy ra $\widehat{IEQ} = \widehat{IDQ} = 55^{{^\circ}}$.

Do $\Delta PDI = \Delta PEI$ nên $\widehat{PEI} = \widehat{PDI} = 35^{{^\circ}}$.

Suy ra $\widehat{PEQ} = \widehat{PEI} + \widehat{IEQ} = 35^{{^\circ}} + 55^{{^\circ}} = 90^{{^\circ}}$.

a, b) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu và tính chất của giá trị tuyệt đối $\left| A \middle| = B \right.$ ($B \geq 0$) thì $A = B$ hoặc $A = - B$.

c) Biến đổi tỉ lệ thức $12x = 15y = 10z$ về dạng dãy tỉ số bằng nhau, sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{a - 2c + e}{b - 2d + f}$.

a) $\dfrac{5}{3} - \dfrac{2}{3}\left( {2x - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{5}{2}$

$\begin{array}{l}2x-{\displaystyle \frac{1}{4}}=-{\displaystyle \frac{5}{4}}\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$\begin{array}{l} {2x - \dfrac{1}{4} = - \dfrac{5}{4}} \\ {x = - \dfrac{1}{2}} \end{array}$

b) $\dfrac{5}{4} + \left| {x - 2} \right| = \left( {- \dfrac{3}{2}} \right)^{2}$

$\dfrac{5}{4} + \left| {x - 2} \right| = \dfrac{9}{4}$

$\left| {x - 2} \right| = 1$

TH1: $x - 2 = 1$

$x = 3$

TH2: $x - 2 = - 1$

$x = 1$

Vậy $x \in \left\{ 1;3 \right\}$

c) $12x = 15y = 10z$ và $x - 2y + z = - 6$

Vì $12x = 15y = 10z$ nên $\dfrac{x}{\dfrac{1}{12}} = \dfrac{y}{\dfrac{1}{15}} = \dfrac{z}{\dfrac{1}{10}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{\dfrac{1}{12}} = \dfrac{y}{\dfrac{1}{15}} = \dfrac{z}{\dfrac{1}{10}} = \dfrac{x - 2y + z}{\dfrac{1}{12} - 2.\dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{10}} = \dfrac{- 6}{\dfrac{1}{20}} = - 120$

+) $\dfrac{x}{\dfrac{1}{12}} = - 120$ suy ra $x = - 120.\dfrac{1}{12} = - 10$

+) $\dfrac{y}{\dfrac{1}{15}} = - 120$ suy ra $y = - 120.\dfrac{1}{15} = - 8$

+) $\dfrac{z}{\dfrac{1}{10}} = - 120$ suy ra $y = - 120.\dfrac{1}{10} = - 12$

Vậy $x = - 10; y = - 8; z = - 12$.

1. a, b) Đọc dữ liệu biểu đồ cột tương ứng với từng cơ sở.

c) Tính tổng số sản phẩm Tháng 1 ($T_{1}$) và Tháng 2 ($T_{2}$).

Tỉ lệ phần trăm tăng là: $\dfrac{T_{2} - T_{1}}{T_{1}} \times 100\%$.

2. a) Liệt kê các số từ 1 đến 100.

b) Liệt kê các bội của 11 nhỏ hơn hoặc bằng 100 và tính xác suất theo công thức $P = \dfrac{n(B)}{n(A)}$.

1.

a) Cơ sở 2 bán được nhiều sản phẩm nhất trong tháng 1

b) Cơ sở 3 có số sản phẩm tháng 2 tăng nhiều nhất so với tháng 1.

c) Tổng sản phẩm bán được tại 3 cơ sở trong tháng 2 tăng bao nhiêu phần trăm so với tháng 1? (Làm tròn đến hàng phần mười): 31,8%

2.

a) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra

$A = \left\{ {1;2;3;...;99;100} \right\}$

b) Gọi B là biến cố “Số xuất hiện trên tấm thẻ rút ra là một bội của 11”.

$B = \left\{ {11;22;33;44;55;66;77;88;99} \right\}$

Xác suất của biến cố B bằng: $\dfrac{9}{100}$.

Bài toán đại lượng tỉ lệ nghịch: Khi khối lượng công việc như nhau, số học sinh và số ngày hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Lập hệ thức và sử dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau kết hợp với điều kiện đề bài $x + y - z = 20$.

Gọi số học sinh của 3 tổ lần lượt là x, y, z (học sinh) $\left( {x;y;z \in {\mathbb{N}}*} \right)$

Vì 3 tổ hoàn thành 3 công trình măng non giống nhau và năng suất lao động của mỗi học sinh là như nhau nên số học sinh mỗi tổ và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Khi đó: $4x = 3y = 6z$

Suy ra: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{2}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{2} = \dfrac{x + y - z}{3 + 4 - 2} = \dfrac{20}{5} = 4$

Suy ra: $x = 12; y = 16; z = 8(TMÐK)$

Vây tổ thứ nhất có 12 học sinh, tổ thứ hai có 16 học sinh, tổ thứ ba có 8 học sinh.

a) Chứng minh $\Delta ABM = \Delta ACM$ (c.c.c) để suy ra $AM\bot BC$ tại trung điểm $M$. Chứng minh $\Delta ABD = \Delta ACE$ (c.g.c).

b) Sử dụng hai tam giác bằng nhau ở câu a để suy ra góc $\widehat{BAH} = \widehat{CAK}$.

Chứng minh $\Delta AHB = \Delta ACK$ (cạnh huyền - góc nhọn)

Nên $AH = AK$ suy ra $\Delta AHK$ cân tại $A$.

Dùng công thức góc ở đáy của tam giác cân để chứng minh $HK//DE$.

c) Chứng minh $\Delta IBC$ cân tại $I$ từ đó suy ra $I$ thuộc đường trung trực của BC.

Do AM cũng là đường trung trực của BC nên A, M, I thẳng hàng.

a) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ ta có:

$BM = CM$ ($M$ là trung điểm của $BC$)

$AM$ chung

$AB = AC$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Do đó, $\Delta ABM = \Delta ACM$ (c.c.c)

Suy ra $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180{^\circ}$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90{^\circ}$

Hay $AM\bot BC$

Suy ra $AM$ là trung trực của BC.

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ ta có:

$BD = CE$ (gt)

$\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$AB = AC$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Do đó, $\Delta ABD = \Delta ACE$ (c.g.c)

b) Vì $\Delta ABD = \Delta ACE$ (cma)

nên $\widehat{BAD} = \widehat{CAE}$ (hai góc tương ứng)

hay $\widehat{BAH} = \widehat{CAK}$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta ACK$ ta có:

$\widehat{AHB} = \widehat{ACK} = 90{^\circ}$

$\widehat{BAH} = \widehat{CAK}$ (cmt)

$AB = AC$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Do đó, $\Delta AHB = \Delta ACK$ (ch.gn)

Suy ra $AH = AK$ (hai cạnh tương ứng)

Từ đó suy ra $\Delta AHK$ cân tại $A$

Suy ra $\widehat{AHK} = \widehat{ADE} = \dfrac{180^{0} - \widehat{DAE}}{2}$

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên DE//HK.

c) Vì $\Delta AHB = \Delta ACK$ nên $\widehat{ABH} = \widehat{ACK}$ (hai cạnh tương ứng)

Lai có: $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (do $\Delta ABD = \Delta ACE$)

Suy ra $\widehat{ABH} - \widehat{ABD} = \widehat{ACK} - \widehat{ACE}$

Hay $\widehat{DBH} = \widehat{ECK}$

Do đó, $\widehat{CBI} = \widehat{BCI}$

Suy ra $\Delta IBC$ cân tại $I$

nên $IB = IC$

Do đó, $I$ thuộc đường trung trực của $BC$

Mà $AM$ là đường trung trực của $BC$ (cma)

Nên $A, M, I$ thẳng hàng.

a) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a + b - c}{c} = \dfrac{b + c - a}{a} = \dfrac{c + a - b}{b} = \dfrac{(a + b - c) + (b + c - a) + (c + a - b)}{c + a + b} = 1$.

Biến đổi $1 + \dfrac{b}{a} = \dfrac{a + b}{a}$ rồi thay giá trị vào biểu thức $M$.

b) Nguyên lý Dirichlet: Chia tam giác đều cạnh 2 thành 4 tam giác đều nhỏ có cạnh bằng 1 bằng cách nối trung điểm các cạnh. Khi đó 5 điểm nằm trong 4 tam giác nhỏ thì phải có ít nhất 2 điểm cùng nằm trong 1 tam giác nhỏ.

a) Ta có: $\dfrac{a + b - c}{c} = \dfrac{b + c - a}{a} = \dfrac{c + a - b}{b}$

Suy ra $\dfrac{a + b - c}{c} + 1 = \dfrac{b + c - a}{a} + 1 = \dfrac{c + a - b}{b} + 1$

Hay $\dfrac{a + b}{c} = \dfrac{b + c}{a} = \dfrac{c + a}{b}$

Vì $a + b + c > 0$ nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{a + b}{c} = \dfrac{b + c}{a} = \dfrac{a + c}{b} = \dfrac{2\left( {a + b + c} \right)}{a + b + c} = 2$

Suy ra $a + b = 2c; b + c = 2a; a + c = 2b$

$M = \left( {1 + \dfrac{b}{a}} \right)\left( {1 + \dfrac{a}{c}} \right)\left( {1 + \dfrac{c}{b}} \right) = \dfrac{\left( {a + b} \right)\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)}{abc} = \dfrac{2c.2b.2a}{abc} = 8.$

b)

Gọi $D,E,F$ lần lượt là trung điểm $AB,AC,BC.$

Khi đó, ta có 4 tam giác đều có cạnh bằng 1 là $\Delta ADE,\ \Delta DEF,\ \Delta DBF,\ \Delta EFC.$

Có 5 điểm nằm trong 4 tam giác nhỏ kể trên nên theo nguyên tắc Dirichlet luôn tồn tại 1 tam giác nhỏ chứa ít nhất 2 điểm đã cho.

Chẳng hạn $\Delta DBF$ chứa 2 điểm $M,N$($M,N$ không trùng $D,B,P$).

Khi đó $MN < 1$.