Đề thi giữa học kì 2 Toán 7 - Đề số 8

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số dạng $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$.

Ta thấy $\dfrac{- 6}{9} = \dfrac{- 2}{3}$ và $\dfrac{4}{- 6} = \dfrac{- 2}{3}$

Suy ra $\dfrac{- 6}{9} = \dfrac{4}{- 6}$

Do đó, $\dfrac{- 6}{9} = \dfrac{4}{- 6}$ là một ti lệ thức.

Rút gọn các phân số trong từng dãy tỉ số về dạng phân số tối giản để so sánh.

Ta thấy $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$; $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$; $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$

Do đó $\dfrac{4}{6} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{6}{9}$ là dãy tỉ số bằng nhau

Nếu $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k$ thì $y = kx$.

Vì $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $k = - 3$ nên $y = - 3x$. Thay $x = 2$ vào ta được $y = - 3 \cdot 2 = - 6$.

Nếu $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số $k$ thì $x \cdot y = k$ suy ra $x = \dfrac{k}{y}$.

Nếu $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số $k$ thì $x \cdot y = k$ suy ra $x = \dfrac{k}{y}$.

Với $k = - 10$ và $y = - 2$, ta có: $x = \dfrac{- 10}{- 2} = 5$.

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Trong biểu thức không chứa biến ở mẫu số hay dưới dấu căn.

- Đáp án A có 2 biến $x, y$.

- Đáp án C chứa biến ở mẫu $\dfrac{5}{x}$.

- Đáp án D chứa biến trong căn $\sqrt{2x}$.

- Đáp án B ($\dfrac{1}{2}x^{5} - 2x^{3} + 5x - 13$) là đa thức một biến $x$.

- Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác (góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại).

- Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh huyền đối diện góc vuông là cạnh lớn nhất.

Khẳng định "Trong tam giác vuông cạnh góc vuông là cạnh lớn nhất" là sai vì cạnh huyền mới là cạnh lớn nhất.

Sử dụng định nghĩa đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó.

Đoạn thẳng nối một điểm ngoài đường thẳng với một điểm nằm trên đường thẳng đó nhưng không vuông góc với đường thẳng gọi là đường xiên.

Sử dụng định lý mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng.

Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất, hay đường xiên luôn dài hơn đường vuông góc.

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

a) S: Điều kiện đúng phải là $x,y,z \in {\mathbb{N}}^{*}$ và $x,y,z < 235$.

b) Đ: Tổng số bút là 235 nên $x + y + z = 235$.

c) S: Tổng số tiền mỗi loại bằng nhau nên $3x = 4y = 5z$ hay $\dfrac{x}{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{y}{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{z}{\dfrac{1}{5}}$ (hoặc $\dfrac{x}{20} = \dfrac{y}{15} = \dfrac{z}{12}$).

d) Đ: Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\dfrac{x}{20} = \dfrac{y}{15} = \dfrac{z}{12} = \dfrac{x + y + z}{20 + 15 + 12} = \dfrac{235}{47} = 5$

Do đó, $y = 15 \cdot 5 = 75$, $z = 12 \cdot 5 = 60$. Số bút loại II nhiều hơn loại III là: $75 - 60 = 15$ chiếc.

Trọng tâm của tam giác giao bởi 3 đường trung tuyến. Trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

G là trọng tâm $\Delta MNP$ với đường trung tuyến $PK$. Suy ra $GK = \dfrac{1}{3}PK = \dfrac{1}{3} \cdot 15 = 5\text{~cm}$.

- Thu gọn đa thức $A(x)$ bằng cách nhóm các đơn thức đồng dạng.

- Tính $A(0)$ và $A( - 1)$, sau đó lấy $A(0) - A( - 1)$.

$A(x) = (5x^{3} - 5x^{3}) + ( - 13x^{2} + 13x^{2}) + (7x - 4x) + (6 - 19) = 3x - 13$

Ta có:

$A(0) = 3(0) - 13 = - 13$

$A( - 1) = 3( - 1) - 13 = - 16$

$A(0) - A( - 1) = - 13 - ( - 16) = 3$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a - c}{b - d}$.

Vì $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{- 3} = \dfrac{z}{7}$ nên theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{- 3} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{x - y}{5 + 3} = \dfrac{- 24}{8} = - 3$ (Do $x - y = - 24$)

Do đó: $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{- 3} = \dfrac{z}{7} = - 3$

+) Vì $\dfrac{x}{5} = - 3$ nên $x = \left( {- 3} \right).5 = - 15$

+) Vì $\dfrac{y}{- 3} = - 3$ nên $y = \left( {- 3} \right).\left( {- 3} \right) = 9$

+) Vì $\dfrac{z}{7} = - 3$ nên $z = \left( {- 3} \right).7 = - 21$

Vậy $x = - 15;y = 9;z = - 21$

- Gọi ẩn và thiết lập tỉ lệ thức từ đề bài.

- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Gọi số học sinh ba lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là $a, b, c$ (học sinh)

ĐK: $0 < a, b, c < 108$; $a \in {\mathbb{N}}; b \in {\mathbb{N}}; c \in {\mathbb{N}}$ (*)

Vì số HS ba lớp 7A; 7B; 7C lần lượt tỉ lệ với 5; 6; 7 nên ta có:

$\dfrac{a}{5} = \dfrac{b}{6} = \dfrac{c}{7}$

Vì tổng số học sinh ba lớp 7A; 7B; 7C là 108 học sinh nên

$a + b + c = 108$

Vì $\dfrac{a}{5} = \dfrac{b}{6} = \dfrac{c}{7}$ nên theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{a}{5} = \dfrac{b}{6} = \dfrac{c}{7} = \dfrac{a + b + c}{5 + 6 + 7} = \dfrac{108}{18} = 6$

Do đó: $\dfrac{a}{5} = \dfrac{b}{6} = \dfrac{c}{7} = 6$

+) Vì $\dfrac{a}{5} = 6$ nên $a = 6.5 = 30$( Thỏa mãn ĐK (*))

+) Vì $\dfrac{b}{6} = 6$ nên $b = 6.6 = 36$( Thỏa mãn ĐK (*))

+) Vì $\dfrac{c}{7} = 6$ nên $c = 6.7 = 42$( Thỏa mãn ĐK (*))

Vậy số HS ba lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là 30; 36; 42 học sinh.

a) Nhóm các hạng tử đồng dạng để thu gọn. Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất. Hệ số tự do là hệ số của hạng tử bậc 0.

b) Thực hiện cộng hai đa thức theo cột dọc hoặc nhóm các hạng tử đồng dạng.

a) Thu gọn đa thức P rồi tìm bậc, hệ số tự do của đa thức.

Xét đa thức $P(x) = - x^{3} - 5x^{2} + x^{3} + 3x + 7$

$= \left( {- x^{3} + x^{3}} \right) - 5x^{2} + 3x + 7$

$= - 5x^{2} + 3x + 7$

Vậy $P(x) = - 5x^{2} + 3x + 7$

Đa thức P(x) có bậc là bậc 2; có hệ số tự do là 7

b) Theo câu a, ta có: $P(x) = - 5x^{2} + 3x + 7$

Do đó: $P(x) + N(x) = \left( {- 5x^{2} + 3x + 7} \right) + \left( {3x^{3} + 4x^{2} - 5x + 9} \right)$

$\begin{array}{l}=-5x^2+3x+7+3x^3+4x^2-5x+9\\ =\left(-5x^2+4x^2\right)+\left(3x-5x\right)+\left(7+9\right)+3x^3\end{array}$$\begin{array}{l} {= - 5x^{2} + 3x + 7 + 3x^{3} + 4x^{2} - 5x + 9} \\ {= \left( {- 5x^{2} + 4x^{2}} \right) + \left( {3x - 5x} \right) + \left( {7 + 9} \right) + 3x^{3}} \end{array}$

$= - x^{2} - 2x + 16 + 3x^{3}$

$= 3x^{3} - x^{2} - 2x + 16$

Vậy đa thức $P(x) + N(x) =$$3x^{3} - x^{2} - 2x + 16$

a) Công thức thể tích hình hộp chữ nhật: $V = a \cdot b \cdot c$.

b) Đổi đơn vị thể tích từ $\text{cm}^{3}$ sang $\text{dm}^{3}$ (lít) và áp dụng tỉ lệ $1\text{~lít} = 1\text{~kg}$ để tính khối lượng.

a) Tính thể tích của thùng gỗ.
Thể tích của thùng gỗ là: $V = 80.50.40 = 160000$ (cm3)

b) Nếu đổ đầy nước vào thùng, tính khối lượng nước chứa trong thùng. Biết rằng 1 lít nước có khối lượng 1 kg.

Đổi $160000\text{~cm}^{3} = 160dm^{3} = 160$ lít

Vậy nếu đổ đầy nước vào thùng thì khối lượng nước trong thùng là 160 kg

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c).

b) Sử dụng tính chất 2 tam giác bằng nhau để suy ra các cạnh/góc tương ứng bằng nhau. Dùng quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác để so sánh.

a) Xét $\Delta AMC$ và $\Delta PMB$ ta có:

$BM = CM$

$\widehat{M_{1}} = \widehat{M_{3}}$ (hai góc đối đỉnh)

$AM = PM$

Do đó, $\Delta AMC = \Delta PMB$ (c.g.c)

b)

a) Xét $\Delta AMB$ và $\Delta PMC$ ta có:

$BM = CM$

$\widehat{M_{1}} = \widehat{M_{3}}$ (hai góc đối đỉnh)

$AM = PM$

Do đó, $\Delta AMB = \Delta PMC$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{A_{1}} = \widehat{P_{1}}$ (hai góc tương ứng)

$AB = PC$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $AB > AC$ nên $PC > AC$

+) Xét $\Delta PAC$ ta có: $PC > AC$

Suy ra $\widehat{A_{2}} > \widehat{P_{1}}$ (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện)

Do đó, $\widehat{A_{2}} > \widehat{A_{1}}$ (do $\widehat{A_{1}} = \widehat{P_{1}}$)

Vậy $\widehat{MAC} > \widehat{MAB}$.

Biến đổi tỉ lệ thức, sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và lũy thừa của một tỉ số.

Ta có: $\dfrac{a + b}{b} = \dfrac{c + d}{d}$

$(a + b).d = (c + d).b$

$ad + bd = bc + bd$

$ad = bc$

Do đó, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$

Suy ra $\dfrac{a^{2025}}{b^{2025}} = \dfrac{c^{2025}}{d^{2025}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{a^{2025}}{b^{2025}} = \dfrac{c^{2025}}{d^{2025}} = \dfrac{a^{2025} - c^{2025}}{b^{2025} - d^{2025}}(1)$

Lại có: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d}$

Suy ra $\left( \dfrac{a}{b} \right)^{2025} = \left( \dfrac{c}{d} \right)^{2025} = \left( \dfrac{a + c}{b + d} \right)^{2025}$

Do đó: $\dfrac{a^{2025}}{b^{2025}} = \dfrac{c^{2025}}{d^{2025}} = \left( \dfrac{a + c}{b + d} \right)^{2025}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\dfrac{\left( {a + c} \right)^{2025}}{\left( {b + d} \right)^{2025}} = \dfrac{a^{2025} - c^{2025}}{b^{2025} - d^{2025}}$.