Đề thi giữa học kì 2 Toán 7 - Đề số 7

Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với đỉnh cân đồng thời là đường trung trực, đường cao, đường phân giác.

Tam giác ABC cân tại B nên đường trung tuyến BN đồng thời là đường phân giác.

Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để so sánh các cạnh với nhau.

Ta có: $\widehat{C} = 180^{0} - \left( {50^{0} + 90^{0}} \right) = 40^{0}$ (Tổng các góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{C} < \widehat{A} < \widehat{B}$ (Do $40^{0} < 50^{0} < 90^{0}$)

Suy ra $AB < BC < AC$ hay $AC > BC > AB$.

Tính chất hai đại lượng tỉ lệ thuận

$x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận $\left. \Rightarrow y = ax\left( {a \neq 0} \right) \right.$

Thay $x = 5;y = 10$ vào ta được: $\left. 10 = a.5\Rightarrow a = 2 \right.$

Vậy hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$ là $a = 2$.

Ta có: $y = 2x$, khi $x = 2$ thì $y = 2.2 = 4$.

Tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch: tích 2 giá trị tương ứng của 2 đại lượng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)

Hệ số tỉ lệ là: -21 . 12 = -252.

Khi x = 7 thì y = -252 : 7 = -36.

Mô tả

Tổng lập phương của hai số x và y là x³ + y³

Hệ số cao nhất của đa thức là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức.

Đa thức M = 10x² – 4x + 3 – 5x⁵ có hệ số cao nhất là -5.

Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3}.9 = 3(cm)$.

Bất đẳng thức tam giác: Kiểm tra tổng độ dài 2 cạnh nhỏ hơn có lớn hơn độ dài cạnh lớn nhất không. Nếu không thì bộ 3 độ dài đó không tạo được thành tam giác.

Vì 1 + 2 = 3 nên không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

a) Thực hiện các phép toán với phân số.

b) Vận dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau: Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $ad = bc$.

a) $\dfrac{1}{12} + x = \dfrac{- 11}{12}$

$\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{-11}{12}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}\\ x={\displaystyle \frac{-11-1}{12}}\\ x={\displaystyle \frac{-12}{12}}=-1\end{array}$$\begin{array}{l} {x = \dfrac{- 11}{12} - \dfrac{1}{12}} \\ {x = \dfrac{- 11 - 1}{12}} \\ {x = \dfrac{- 12}{12} = - 1} \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = - 1$

b) $\dfrac{2x - 1}{27} = \dfrac{3}{2x - 1}$

$\begin{array}{l}{\left(2x-1\right)}^2=27.3=81\\ {\left(2x-1\right)}^2={\left(\pm 9\right)}^2\end{array}$$\begin{array}{l} {\left( {2x - 1} \right)^{2} = 27.3 = 81} \\ {\left( {2x - 1} \right)^{2} = \left( {\pm 9} \right)^{2}} \end{array}$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}2x-1=9\\ 2x=10\\ x=5\end{array}$$\begin{array}{l} {2x - 1 = 9} \\ {2x = 10} \\ {x = 5} \end{array}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}2x-1=-9\\ 2x=-8\\ x=-4\end{array}$$\begin{array}{l} {2x - 1 = - 9} \\ {2x = - 8} \\ {x = - 4} \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 5$ hoặc $x = - 4$.

Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là $x,y,z$ (điều kiện: $x,y,z \in {\mathbb{N}}^{*}$)

Vận dụng kiến thức về tỉ lệ nghịch để tìm các đại lượng của đề bài.

Gọi số công nhân của 3 đội lần lượt là $x,y,z$ (điều kiện: $x,y,z \in {\mathbb{N}}^{*}$)

Vì đội I có nhiều hơn đội II là $4$ người nên: $x - y = 4$

Vì số năng suất mỗi người là như sau, nên số người và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:

$4x = 6y = 8z$ hay $\dfrac{x}{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{y}{\dfrac{1}{6}} = \dfrac{z}{\dfrac{1}{8}}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{x}{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{y}{\dfrac{1}{6}} = \dfrac{z}{\dfrac{1}{8}} = \dfrac{x - y}{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}} = \dfrac{4}{\dfrac{1}{12}} = 48$

+) $\left. \dfrac{x}{\dfrac{1}{4}} = 48\Rightarrow x = 193 \right.$ (tmđk)

+) $\left. \dfrac{y}{\dfrac{1}{6}} = 48\Rightarrow x = 288 \right.$ (tmđk)

+) $\left. \dfrac{z}{\dfrac{1}{8}} = 48\Rightarrow x = 384 \right.$ (tmđk)

Vậy số công nhân của $3$ đội lần lượt là: $193$ công nhân, $288$ công nhân, $384$ công nhân.

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức $A(x),\, B(x)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính $A(x) + B(x);\, A(x) - B(x)$.

c) Chứng minh rằng đa thức $C(x)$ không có nghiệm.

a) Thu gọn:

$\begin{array}{l}A(x)=2x^4-5x^3+7x-5+4x^3+3x^2+2x+3\\ A(x)=2x^4+\left(-5x^3+4x^3\right)+3x^2+\left(7x+2x\right)-5+3\\ A(x)=2x^4-x^3+3x^2+9x-2\end{array}$$\begin{array}{l} {A(x) = 2\, x^{4} - 5\, x^{3} + 7\, x - 5 + 4\, x^{3} + 3\, x^{2} + 2\, x + 3} \\ {A(x) = 2\, x^{4} + \left( {- 5\, x^{3} + 4\, x^{3}} \right) + 3x^{2} + \left( {7\, x + 2\, x} \right) - 5 + 3} \\ {A(x) = 2\, x^{4} - x^{3} + 3\, x^{2} + 9\, x\, - 2} \end{array}$

$\begin{array}{l}B(x)=5x^4-3x^3+5x-3x^4-2x^3+9-6x\\ B(x)=\left(5x^4-3x^4\right)+\left(-3x^3-2x^3\right)+\left(5x-6x\right)+9\\ B(x)=2x^4-5x^3-x+9\end{array}$$\begin{array}{l} {B(x) = 5\, x^{4} - 3\, x^{3} + 5\, x - 3\, x^{4} - 2\, x^{3}\, + 9 - 6\, x} \\ {B(x) = \left( {5\, x^{4} - 3\, x^{4}} \right) + \left( {- 3\, x^{3} - 2\, x^{3}} \right) + \left( {5\, x - 6\, x} \right) + 9} \\ {B(x) = \,\,\,\,\,\, 2\, x^{4}\, - \, 5x^{3} - x + 9} \end{array}$

b) Tính $A(x) + B(x);\, A(x) - B(x)$.

$\begin{array}{l}+)A(x)+B(x)=\left(2x^4-x^3+3x^2+9x-2\right)+\left(2x^4-5x^3-x+9\right)\\ =\left(2x^4+2x^4\right)+\left(-x^3-5x^3\right)+3x^2+\left(9x-x\right)+\left(-2+9\right)\\ =4x^4-6x^3+3x^2+8x+7\end{array}$$\begin{array}{l} {+ )\, A(x) + B(x) = \left( {2\, x^{4} - x^{3} + 3\, x^{2} + 9\, x - 2} \right) + \left( {2\, x^{4} - 5\, x^{3} - x + 9} \right)} \\ {= \left( {2\, x^{4} + 2\, x^{4}} \right) + \left( {- x^{3} - 5\, x^{3}} \right) + 3\, x^{2} + \left( {9\, x - x} \right) + \left( {- 2 + 9} \right)} \\ {= \,\,\, 4\, x^{4} - 6\, x^{3} + 3\, x^{2} + 8\, x + 7} \end{array}$

$\begin{array}{l}+)A(x)-B(x)=\left(2x^4-x^3+3x^2+9x-2\right)-\left(2x^4-5x^3-x+9\right)\\ =\left(2x^4-x^3+3x^2+9x-2\right)-2x^4+5x^3+x-9\\ =\left(2x^4-2x^4\right)+\left(-x^3+5x^3\right)+3x^2+\left(9x+x\right)+\left(-2-9\right)\\ =4x^3+3x^2+10x-11\end{array}$$\begin{array}{l} {+ )\, A(x) - B(x) = \left( {2\, x^{4} - x^{3} + 3\, x^{2} + 9\, x - 2} \right) - \left( {2\, x^{4} - 5\, x^{3} - x + 9} \right)} \\ {= \left( {2\, x^{4} - \, x^{3} + 3\, x^{2} + 9\, x - 2} \right) - 2\, x^{4} + 5\, x^{3} + x - 9} \\ {= \left( {2\, x^{4} - \, 2\, x^{4}} \right) + \left( {- x^{3} + 5\, x^{3}} \right) + 3\, x^{2} + \left( {9\, x + x} \right) + \left( {- 2 - 9} \right)} \\ {= \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 4\, x^{3} + \, 3\, x^{2} + 10\, x - 11} \end{array}$

c) Chứng minh rằng đa thức $C(x)$ không có nghiệm.

Ta có: $C(x) = x^{4} + 4\, x^{2} + 5$.

Vì $x^{4}\, > 0,\,\,\forall\, x$ và $x^{2} > 0,\,\forall\, x$ nên $C(x) > 0,\,\,\forall\, x.$

Do đó không có giá trị nào của $x$ làm cho $C(x) = 0$.

Vậy $C(x)$ là đa thức không có nghiệm.

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c.

b) Chứng minh $\Delta ABD$ là tam giác cân có một góc bằng $60^{0}$, rồi suy ra $\Delta ABD$ là tam giác đều.

c) Chứng minh $DE = DH$ (hai cạnh tương ứng). Mà $DH = DB$ (giả thiết) $\left. \Rightarrow DE = DB \right.$.

d) Chứng minh DF và IF cùng vuông góc với AC nên DI trùng với DF hay I, D, F thẳng hàng.

a) Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHD$ ta có:

$HD = HB$ (gt)

$AH\,\, chung$

$\widehat{AHB} = \widehat{AHD} = 90^{0}$
Do đó, $\Delta AHB = \,\Delta AHD$ (c.g.c)

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, có $\widehat{C} = 30^{0}$

Suy ra $\widehat{B} = 90^{0} - 30^{0} = 60^{0}$ (định lý tổng ba góc của một tam giác).

Vì $\Delta AHB = \,\Delta AHD$ (cmt)

nên $AB = AD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta ABD$ cân tại $A$ mà $\widehat{B} = 60^{0}$

Do đó, $\Delta ABD$ là tam giác đều.

c) Vì $\Delta ABD$ là tam giác đều (cmt) nên $\widehat{DAB} = 60^{0}$

Suy ra $\widehat{CAD} = 90^{0} - \widehat{DAB} = 90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$

Xét $\Delta ACD$ có $\widehat{ACD} = \widehat{CAD} = 30^{0}$

Suy ra $\Delta ACD$ cân tại $D.$

Suy ra $CD = AD$

Xét $\Delta DEC$ và $\Delta DHA$ có:

$CD = AD\,\,\left( {cmt} \right)$

$\widehat{E} = \widehat{H} = 90^{0}$

$\widehat{CDE} = \widehat{ADH}$ (đối đỉnh)

Do đó, $\Delta DEC = \Delta DHA$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $DE = DH$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $DH = DB$ (giả thiết)

Nên $DE = DB$.

d) Xét $\Delta CED$ và $\Delta AHD$ có:

HD = HB (gt)

Mà DE = BH nên DE = DH.

$\Delta CED = \Delta AHD$ (cạnh góc vuông - góc nhọn)

suy ra CE = AH, CD = DA, $\widehat{DCE} = \widehat{DAH}$

Vì CD = DA nên tam giác CDA cân, do đó $\widehat{DCF} = \widehat{DAF}$

Xét tam giác CDF và tam giác ADF có:

CD = AD

FD chung

$\widehat{CFD} = \widehat{AFD}( = 90^{{^\circ}})$

nên $\Delta CDF = \Delta ADF$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

suy ra CF = FA.

Suy ra $\widehat{DCE} + \widehat{DCF} = \widehat{DAH} + \widehat{DAF}$

hay $\widehat{ECF} = \widehat{HAF}$

Suy ra tam giác ACI cân tại I.

Suy ra $CI = IA$

Xét tam giác CIF và tam giác AIF có:

CI = AI (cmt)

IF chung

CF = FA (cmt)

suy ra $\Delta CIF = \Delta AIF$ (c.c.c)

suy ra $\widehat{CFI} = \widehat{AFI}$

Mà hai góc này là hai góc kề bù nên $\widehat{CFI} = \widehat{AFI} = \dfrac{180^{{^\circ}}}{2} = 90^{{^\circ}}$ hay $IF\bot CA$

Mà $DF\bot AC$ nên DF và IF trùng nhau, hay I, D, F thẳng hàng.

Vận dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau để chứng minh.

Ta có: $\dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{c}}={\displaystyle \frac{a+b}{2ab}}\\ 2ab=ac+bc\\ ab+ab=ac+bc\\ ab-bc=ac-ab\\ b\left(a-c\right)=a\left(c-b\right)\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{1}{c} = \dfrac{a + b}{2ab}} \\ {2ab = ac + bc} \\ {ab + ab = ac + bc} \\ {ab - bc = ac - ab} \\ {b\left( {a - c} \right) = a\left( {c - b} \right)} \end{array}$

Suy ra $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a - c}{c - b}$ (đpcm)