Đề thi giữa học kì 2 Toán 7 - Đề số 6

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$.

Ta có: $12:18 = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$ nên cặp tỉ số A lập thành một tỉ lệ thức.

$12:18 = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3} \neq \dfrac{3}{2}$ nên cặp tỉ số B không lập thành một tỉ lệ thức.

$\dfrac{12}{- 18} = \dfrac{- 2}{3} \neq \dfrac{2}{3}$ nên cặp tỉ số C không lập thành một tỉ lệ thức.

$\left( {- 12} \right):\left( {- 18} \right) = \dfrac{- 12}{- 18} = \dfrac{2}{3} \neq \dfrac{- 2}{3}$ nên cặp tỉ số D không lập thành một tỉ lệ thức.

Dựa vào tính chất cơ bản của tỉ lệ thức.

Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, ta có:

Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ thì $ad = bc$.

Ta sử dụng tính chất: Nếu $ad = bc$ thì $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d};\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d};\dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a};\dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}$.

Từ đẳng thức $2.\left( {- 15} \right) = \left( {- 5} \right).6$, ta có:

$\dfrac{2}{- 5} = \dfrac{6}{- 15};\dfrac{2}{6} = \dfrac{- 5}{- 15};\dfrac{- 5}{2} = \dfrac{- 15}{6};\dfrac{6}{2} = \dfrac{- 15}{- 5}$.

Đáp án D là đáp án đúng.

Dựa vào tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên $\dfrac{x_{1}}{x_{2}} = \dfrac{y_{2}}{y_{1}}$; $\dfrac{x_{1}}{y_{2}} = \dfrac{x_{2}}{y_{1}}$; $x_{1}y_{1} = x_{2}y_{2}$

Do đó, $A,C,D$ đúng.

Dựa vào kiến thức về dãy tỉ số bằng nhau.

Vì a; b; c tương ứng tỉ lệ với 2; 5; 7 nên ta có dãy tỉ số bằng nhau là:

$\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{c}{7}$.

Dựa vào kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với đại lượng $x$ theo hệ số tỉ lệ $k = - 3$ ta có hệ thức liên hệ của y và x là $y = - 3x$.

Dựa vào kiến thức về đa thức một biến.

Trong các biểu thức trên, $2x^{3} - x^{2} + 5$ là đa thức một biến.

Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu.

Vì AB < BD, C nằm giữa B và D nên BC < BD.

Do đó AB < AC < AD. (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Dựa vào quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Ta có: $5 = 3 + 2$ nên $5\, cm,\, 3\, cm,\, 2\, cm$ không là độ dài ba cạnh của một tam giác.

$1 + 1 = 2 < 5$ nên $5\, cm,\, 1\, cm,\, 1\, cm$ không là độ dài ba cạnh của một tam giác.

$5 + 3 = 8 > 6;\, 5 + 6 = 11 > 3;\, 3 + 6 = 9 > 5$ nên $5\, cm,\, 3\, cm,\, 6\, cm$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

$5 + 5 = 10$ nên $5\, cm,\, 5\, cm,\, 10\, cm$ không là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Dựa vào kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x nên hệ số tỉ lệ là:

$k = \dfrac{y}{x} = \dfrac{16}{4} = 4$.

Dựa vào kiến thức về biểu thức số, công thức tính chu vi của hình chữ nhật.

Biểu thức biểu thị chu vi của hình chữ nhật là:

$\left( {6 + 8} \right).2\left( {cm} \right)$.

Dựa vào kiến thức về đường vuông góc.

Đường vuông góc kẻ từ H xuống đường thẳng m là HO.

a) Dựa vào tính chất của tỉ lệ thức để tìm x.

b, c) Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm ẩn.

a) Ta có:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{6}{x}}={\displaystyle \frac{-4}{5}}\\ 6.5=-4.x\\ -4x=30\\ x={\displaystyle \frac{-30}{4}}={\displaystyle \frac{-15}{2}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{6}{x} = \dfrac{- 4}{5}} \\ {6.5 = - 4.x} \\ {- 4x = 30} \\ {x = \dfrac{- 30}{4} = \dfrac{- 15}{2}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{- 15}{2}$.

b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{x + 2y}{5 + 2.3} = \dfrac{33}{11} = 3$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l}x=3.5=15\\ y=3.3=9\end{array}$$\begin{array}{l} {x = 3.5 = 15} \\ {y = 3.3 = 9} \end{array}$

Vậy x = 15; y = 9.

c) Ta có a, b, c tỉ lệ với ba số 2; 3; -4 nên ta có dãy tỉ số bằng nhau:

$\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{- 4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{c}{- 4} = \dfrac{a + b - c}{2 + 3 - \left( {- 4} \right)} = \dfrac{18}{9} = 2$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l}a=2.2=4\\ b=2.3=6\\ c=2.\left(-4\right)=-8\end{array}$$\begin{array}{l} {a = 2.2 = 4} \\ {b = 2.3 = 6} \\ {c = 2.\left( {- 4} \right) = - 8} \end{array}$

Vậy $a = 4;b = 6;c = - 8$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm số học sinh của mỗi lớp.

Gọi số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a, b, c $\left( {a,b,c \in {\mathbb{N}}*,c > 2} \right)$ (học sinh)

Vì số học sinh lớp 7A, 7B, 7C tương ứng tỉ lệ với 21; 20; 22 nên ta có dãy tỉ số bằng nhau:

$\dfrac{a}{21} = \dfrac{b}{20} = \dfrac{c}{22}$

Do lớp 7C có nhiều hơn lớp 7A 2 học sinh nên áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{b}{20} = \dfrac{c}{22} = \dfrac{a}{21} = \dfrac{c - a}{22 - 21} = \dfrac{2}{1} = 2$.

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l}c=2.22=44\\ a=2.21=42\\ b=2.20=40\end{array}$$\begin{array}{l} {c = 2.22 = 44} \\ {a = 2.21 = 42} \\ {b = 2.20 = 40} \end{array}$ (Thỏa mãn)

Vậy số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 42; 40; 44 học sinh.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và công thức tính diện tích hình chữ nhật để tìm chiều dài và chiều rộng của khu đất đó.

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu đất lần lượt là $x,y\left( {x > y > 0} \right)$ $(m)$.

Vì chiều dài và chiều rộng tỉ lệ với 8 và 5 nên ta có:

$\dfrac{x}{8} = \dfrac{y}{5} = k\left( {k > 0} \right)$ suy ra $x = 8k;y = 5k$.

Mà diện tích khu đất bằng $360m^{2}$ nên ta có $x.y = 360$ hay $8k.5k = 360$

$\begin{array}{l}40k^2=360\\ k^2=9\end{array}$$\begin{array}{l} {40k^{2} = 360} \\ {k^{2} = 9} \end{array}$

$k = 3$ (vì $k > 0$)

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l}x=8.3=24\\ y=5.3=15\end{array}$$\begin{array}{l} {x = 8.3 = 24} \\ {y = 5.3 = 15} \end{array}$(thỏa mãn)

Vậy chiều dài và chiều rộng của khu đất đó lần lượt là $24m$ và $15m$.

a) Chứng minh $\Delta AHB = \Delta AHC$ nên $BH = CH$.

b) Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên để chứng minh.

a) Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ có:

$\widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90^{0}$

$AB = AC$ ($\Delta ABC$ cân tại A)

AH chung

Suy ra $\Delta AHB = \Delta AHC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $BH = CH$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Do M nằm giữa A và H nên HA > HM.

Ta có BH là đường vuông góc, BA và BM là các đường xiên kẻ từ B đến đường thẳng AH nên HM là hình chiếu của BM, HA là hình chiếu của AB xuống AH.

Vì HA > HM nên BA < BM.

Vậy BA > BM (đpcm).

Dựa vào kiến thức về đường trung tuyến trong tam giác.

Lấy điểm D thuộc tia đối của tia AM sao cho AM = DM.

Chứng minh $\Delta AMB = \Delta DMC$ suy ra $AB = CD$.

Sử dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh $AB + AC > AD = 2AM$.

Do AM là trung tuyến của tam giác ABC nên ta có BM = CM.

Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho AM = DM.

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta DMC$ có:

$AM = DM$

$BM = CM$

$\widehat{AMB} = \widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra $\Delta AMB = \Delta DMC$ (c.g.c) suy ra AB = CD (hai cạnh tương ứng)

Khi đó $AB + AC = DC + AC > AD$ (bất đẳng thức tam giác)

Mà AM = DM nên AD = 2.AM

Do đó: $AB + AC > 2AM$.