Đề thi giữa học kì 2 Toán 7 - Đề số 5

Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $AG = \dfrac{2}{3}AM;GM = \dfrac{1}{3}AM;AG = 2GM$

Vận dụng kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

$x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên $y = \dfrac{a}{x}\left( {a \neq 0} \right)$

Thay $x = 5;y = 10$ vào ta được: $10 = \dfrac{a}{5}$ nên $a = 10.5 = 50$

Vậy hệ số tỉ lệ của $y$ so với $x$ là $50$.

Ta có: $y = \dfrac{50}{x}$, khi $x = 2$ thì $y = \dfrac{50}{2} = 25$.

Sử dụng tính chất tia phân giác của góc và định lí tổng 3 góc trong một tam giác.

Ta có: $\widehat{BOC} = 180^{{^\circ}} - \widehat{B_{1}} - \widehat{C_{1}}$.

Vì BD và CE lần lượt là các tia phân giác của góc B và C nên ta có: $\widehat {{B_1}} = \dfrac{{\widehat B}}{2};{\mkern 1mu} \widehat {{C_1}} = \dfrac{{\widehat C}}{2}$.

Trong tam giác ABC ta có: $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^{{^\circ}} - \widehat{A} = 180^{{^\circ}} - 70^{{^\circ}} = 110^{{^\circ}}$.

$\widehat{BOC} = 180^{{^\circ}} - \widehat{B_{1}} - \widehat{C_{1}} = 180^{{^\circ}} - \dfrac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2} = 180^{{^\circ}} - 55^{{^\circ}} = 125^{{^\circ}}$

+ Mọi điểm nằm trên đường phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc.

+ Giao của ba đường phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.

+ Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó.

Gọi $I$ là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác thì $I$ cách đều ba cạnh của tam giác.

+ Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.

+ Tam giác cân có hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau.

+ Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{o}$

+ Theo tính chất của tam giác cân thì A, D đúng.

+ Ta có $\widehat{A} = \widehat{B} = \dfrac{180^{o} - \widehat{C}}{2} < 90^{o}$ . Vậy B đúng.

+ Tam giác ABC cân tại C thì $AC > AB$ hoặc $AC \leq AB$. Vậy đáp án C sai.

Gọi số gam trong $10\, 000m$ dây đồng là $x(g)$

Vì khối lượng của dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài của dây đồng nên lập được dãy tỉ số bằng nhau, từ đó tìm được $x$.

Đổi $10km = 10\, 000m$

Gọi số gam trong $10\, 000m$ dây đồng là $x(g)$

Vì khối lượng của dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài của dây đồng nên ta có:

$\dfrac{43}{5} = \dfrac{x}{10\, 000}$

Suy ra $x = \dfrac{43}{5}.10\, 000 = 86\, 000(g) = 86\left( {kg} \right)$

Vậy $10km$ dây đồng nặng $86kg$

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y = \dfrac{a}{x}$ hay $x.y = a$ (a là hằng số khác 0) thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên hệ số tỉ lệ $a = x_{1}.y_{1} = \dfrac{- 1}{2}.8 = - 4$

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ $a = - 4$ nên $y = \dfrac{- 4}{x}$

Vậy công thức biểu diễn y theo x là $y = \dfrac{- 4}{x}$

Vậy $a = - 4$, $y = \dfrac{- 4}{x}$.

- Để trừ hai đa thức, ta nhóm các hạng tử cùng bậc với nhau và rút gọn.

- Thay $x = - 1$ vào đa thức h(x) vừa tìm được để tìm giá trị của h(x).

\(\begin{array}{l} {h(x) = f(x) - g(x) = \left( {- x^{5} + 2x^{4} - x^{2} - 1} \right) - \left( {- 6 + 2x - 3x^{3} - x^{4} + 3x^{5}} \right)\,\,\,} \\ {\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu} = - x^{5} + 2x^{4} - x^{2} - 1 + 6 - 2x + 3x^{3} + x^{4} - 3x^{5}} \\ {\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu} = \left( {- x^{5} - 3x^{5}} \right) + \left( {2x^{4} + x^{4}} \right) + 3x^{3} - x^{2} - 2x + 5} \\ {\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu}\mspace{6mu} = - 4x^{5} + 3x^{4} + 3x^{3} - x^{2} - 2x + 5.} \end{array}\)

Thay $x = - 1$ vào đa thức h(x) ta có: $h( - 1) = - 4.{( - 1)}^{5} + 3.{( - 1)}^{4} + 3.{( - 1)}^{3} - {( - 1)}^{2} - 2.( - 1) + 5 = - 4.( - 1) + 3.1 + 3.( - 1) - 1 + 2 + 5 = 10$

Vậy giá trị của h(x) là 10 tại $x = - 1$.

a) $- 0,1:x = - 0,2:0,06$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{-0,1}{x}}={\displaystyle \frac{-0,2}{0,06}}\\ {\displaystyle \frac{-0,1}{x}}={\displaystyle \frac{-1}{5}}:{\displaystyle \frac{3}{50}}\\ {\displaystyle \frac{-0,1}{x}}={\displaystyle \frac{-1}{5}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{50}{3}}\\ {\displaystyle \frac{-0,1}{x}}={\displaystyle \frac{-10}{3}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{- 0,1}{x} = \dfrac{- 0,2}{0,06}} \\ {\dfrac{- 0,1}{x} = \dfrac{- 1}{5}:\dfrac{3}{50}} \\ {\dfrac{- 0,1}{x} = \dfrac{- 1}{5}.\dfrac{50}{3}} \\ {\dfrac{- 0,1}{x} = \dfrac{- 10}{3}} \end{array}$

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có:

$\begin{array}{l}-0,1.3=-10x\\ -0,3=-10x\\ x=-0,3:\left(-10\right)\\ x={\displaystyle \frac{-3}{10}}\mathrm{.}\left({\displaystyle \frac{1}{-10}}\right)\\ x={\displaystyle \frac{3}{100}}\end{array}$$\begin{array}{l} {- 0,1.3 = - 10x} \\ {- 0,3 = - 10x} \\ {x = - 0,3:\left( {- 10} \right)} \\ {x = \dfrac{- 3}{10}.\left( \dfrac{1}{- 10} \right)} \\ {x = \dfrac{3}{100}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{3}{100}$

b) $\dfrac{2 - x}{4} = \dfrac{3x - 1}{3}$

$\begin{array}{l}3\left(2-x\right)=4\left(3x-1\right)\\ 6-3x=12x-4\\ -3x-12x=-4-6\\ -15x=-10\\ x={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$\begin{array}{l} {3\left( {2 - x} \right) = 4\left( {3x - 1} \right)} \\ {6 - 3x = 12x - 4} \\ {- 3x - 12x = - 4 - 6} \\ {- 15x = - 10} \\ {x = \dfrac{2}{3}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{2}{3}$

Gọi số tiền lãi của ba đơn vị kinh doanh A, B và C lần lượt là $x,y,z$ (triệu đồng) (điều kiện: $x,y,z \in {\mathbb{N}}$)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải toán.

Gọi số tiền lãi của ba đơn vị kinh doanh A, B và C lần lượt là $x,y,z$ (triệu đồng) (điều kiện: $x,y,z > 0$)

Theo bài ra, ta có: $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{y}{3}}={\displaystyle \frac{z}{7}}\\ x+y+z=960\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{7}} \\ {x + y + z = 960} \end{array} \right.$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{x + y + z}{2 + 3 + 7} = \dfrac{960}{12} = 80$

+) $\dfrac{x}{2} = 80$ suy ra $x = 160$ (tmđk)

+) $\dfrac{y}{3} = 80$ suy ra $y = 240$ (tmđk)

+) $\dfrac{z}{7} = 80$ suy ra $z = 560$ (tmđk)

Vậy số tiền lãi của ba đơn vị kinh doanh là: Đơn vị A: 160 triệu đồng, đơn vị B: 240 triệu đồng, đơn vị C: 560 triệu đồng.

a) Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến của hai đa thức $F(x)$ và $G(x)$. Khi thu gọn các đơn thức đồng dạng ta cộng hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến, sau đó sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến số.

b) Tính $M(x) = F(x) - G(x)$. Ta thực hiện trừ hai đa thức. Sau đó tìm nghiệm của đa thức $M(x)$, ta cho $M(x) = 0$ để tìm nghiệm.

c) Biến đổi $\left. N(x) + F(x) = - G(x)\Rightarrow N(x) = - F(x) - G(x) \right.$, rồi thực hiện tính.

Chú ý: Trước dấu trừ các hạng tử đổi dấu.

a) Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.

Thu gọn $F(x):$

$\begin{array}{l}F(x)=5x^2-1+3x+x^2-5x^3\\ F(x)=-5x^3+\left(5x^2+x^2\right)+3x-1\\ F(x)=-5x^3+6x^2+3x-1\end{array}$$\begin{array}{l} {F(x) = 5x^{2} - 1 + 3x + x^{2} - 5x^{3}} \\ {F(x) = - 5x^{3} + \left( {5x^{2} + x^{2}} \right) + 3x - 1} \\ {F(x) = - 5x^{3} + 6x^{2} + 3x - 1} \end{array}$

Thu gọn $G(x):$

$\begin{array}{l}G(x)=2-3x^3+6x^2+5x-2x^3-x\mathrm{.}\\ G(x)=\left(-3x^3-2x^3\right)+6x^2+\left(5x-x\right)+2\\ G(x)=-5x^3+6x^2+4x+2\end{array}$$\begin{array}{l} {G(x) = 2 - 3x^{3} + 6x^{2} + 5x - 2x^{3} - x.} \\ {G(x) = \left( {- 3x^{3} - 2x^{3}} \right) + 6x^{2} + \left( {5x - x} \right) + 2} \\ {G(x) = - 5x^{3} + 6x^{2} + 4x + 2} \end{array}$

b) Tính $M(x)$

$\begin{array}{l}M(x)=F(x)-G(x)\\ M(x)=\left(-5x^3+6x^2+3x-1\right)-\left(-5x^3+6x^2+4x+2\right)\\ M(x)=-5x^3+6x^2+3x-1+5x^3-6x^2-4x-2\\ M(x)=\left(-5x^3+5x^3\right)+\left(6x^2-6x^2\right)+\left(3x-4x\right)+\left(-1-2\right)\\ M(x)=-x-3\end{array}$$\begin{array}{l} {M(x) = F(x) - G(x)} \\ {M(x) = \left( {- 5x^{3} + 6x^{2} + 3x - 1} \right) - \left( {- 5x^{3} + 6x^{2} + 4x + 2} \right)} \\ {M(x) = - 5x^{3} + 6x^{2} + 3x - 1 + 5x^{3} - 6x^{2} - 4x - 2} \\ {M(x) = \left( {- 5x^{3} + 5x^{3}} \right) + \left( {6x^{2} - 6x^{2}} \right) + \left( {3x - 4x} \right) + \left( {- 1 - 2} \right)} \\ {M(x) = \,\, - x - 3} \end{array}$

Tìm nghiệm của đa thức $M(x)$:

Ta có: $\left. M(x) = - x - 3 = 0\Leftrightarrow x = - 3 \right.$

Vậy $x = - 3$ là nghiệm của đa thức $M(x)$.

c) Ta có:

$\begin{array}{l}N(x)+F(x)=-G(x)\\ N(x)=-F(x)-G(x)=-\left[F(x)+G(x)\right]\end{array}$$\begin{array}{l} {N(x) + F(x) = - G(x)} \\ {N(x) = - F(x) - G(x) = - \left\lbrack {F(x) + G(x)} \right\rbrack} \end{array}$

Trong đó:

$F(x) = - 5x^{3} + 6x^{2} + 3x - 1$

$G(x) = - 5x^{3} + 6x^{2} + 4x + 2$

$\begin{array}{l}F(x)+G(x)\\ =\left(-5x^3+6x^2+3x-1\right)+\left(-5x^3+6x^2+4x+2\right)\\ =-10x^3+12x^2+7x+1\end{array}$$\begin{array}{l} {F(x) + G(x)} \\ {= \left( {- 5x^{3} + 6x^{2} + 3x - 1} \right) + \left( {- 5x^{3} + 6x^{2} + 4x + 2} \right)} \\ {= - 10x^{3} + 12x^{2} + 7x + 1} \end{array}$

$\begin{array}{l}N(x)=-\left[F(x)+G(x)\right]\\ =-\left(-10x^3+12x^2+7x+1\right)\\ =10x^3-12x^2-7x-1\end{array}$$\begin{array}{l} {N(x) = - \left\lbrack {F(x) + G(x)} \right\rbrack} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \left( {- 10x^{3} + 12x^{2} + 7x + 1} \right)} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 10x^{3} - 12x^{2} - 7x - 1} \end{array}$

Vậy $N(x) = 10x^{3} - 12x^{2} - 7x - 1$.

+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân.

+ Tính chất trọng tâm, đường trung tuyến trong tam giác.

a) Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$

Vì AM là trung tuyến nên $BM = MC$

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ có AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao hay $AM\bot BC$.

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có:

AM chung

$AB = AC$(cmt)

$BM = MC$ (cmt)

Do đó, $\Delta AMB =$$\Delta AMC$ (c.c.c) (đpcm)

b) Xét $\Delta BAM$ và $\Delta BDM$ có:

$\widehat{BMA} = \widehat{BMC} = 90^{{^\circ}}\left( {AM\bot BC} \right)$

BM chung

AM = MD

Do đó, $\Delta BAM = \Delta BDM(c.g.c)$

Suy ra $\widehat{ABM} = \widehat{DBM}$ (2 góc tương ứng)

Hay $BC$ là tia phân giác $\widehat{ABD}$ (đpcm)

c) Xét $\Delta ACD$ có CM là đường trung tuyến, điểm E thuộc CM thỏa mãn $\dfrac{CE}{CM} = \dfrac{2}{3}$

Suy ra $E$ là trọng tâm $\Delta ACD$

Hay $AE$ cũng là đường trung tuyến của $\Delta ACD$

Lại có I là trung điểm DC

Suy ra A, E, I thẳng hàng và $AE = 2EI$.

Xét $\Delta AEC$, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: $AE < AC + EC$

Mà $AC = AB$ nên $2EI = AE < AB + EC$ (đpcm).

Xét với $x = - 1$, ta tìm được mối liên hệ của $f\left( {- 1} \right)$ và $f(1)$

Xét với $x = 1$, ta tìm được $f(1)$.

+ Với $x = - 1$, ta có:

$f\left( {- 1} \right) + \left( {- 1} \right).f(1) = - 1 + 1$

$\begin{array}{l}f\left(-1\right)-f(1)=0\\ f\left(-1\right)=f(1)\end{array}$$\begin{array}{l} {f\left( {- 1} \right) - f(1) = 0} \\ {f\left( {- 1} \right) = f(1)} \end{array}$

+ Với $x = 1$, ta có:

$f(1) + 1.f\left( {- 1} \right) = 1 + 1$

$f(1) + f\left( {- 1} \right) = 2$

Suy ra, $f(1) + f(1) = 2$

$\begin{array}{l}2f(1)=2\\ f(1)=1\end{array}$$\begin{array}{l} {2f(1) = 2} \\ {f(1) = 1} \end{array}$

Vậy $f(1) = 1$.