Đề thi giữa học kì 2 Toán 7 - Đề số 1

Dựa vào kiến thức về tỉ lệ thức.

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ta suy ra $a.d = b.c$

Dựa vào kiến thức về tỉ lệ thức.

Từ đẳng thức 2.12 = 8.3 ta có thể lập được 4 tỉ lệ thức là:

$\frac{2}{3} = \frac{8}{{12}};\frac{2}{8} = \frac{3}{{12}};\frac{3}{2} = \frac{{12}}{8};\frac{8}{2} = \frac{{12}}{3}$.

Dựa vào kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Vì đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ 2 nên ta có công thức $y = 2x$.

Dựa vào kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a nên $a = xy = 2.12 = 24$.

Dựa vào kiến thức về đa thức một biến.

Đa thức ${x^2} - 2x$ là đa thức một biến.

Thay giá trị của x vào biểu thức để tính giá trị của biểu thức.

Giá trị của biểu thức $7x - 4$ tại x = 9 là:

$7.9 - 4 = 59$.

Dựa vào quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác để so sánh.

Trong tam giác ABC có AC < BC < AB (4cm < 6cm < 8cm) suy ra $\widehat B < \widehat A < \widehat C$.

Dựa vào quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác.

Ta có 3 + 4 = 7 < 8 nên 3cm, 4cm, 8cm không thể là ba cạnh của một tam giác.

Ta có 3 + 7 = 10 nên 10cm, 7cm, 3cm không thể là ba cạnh của một tam giác.

Ta có 4 + 5 = 9 nên 9cm, 5cm, 4cm không thể là ba cạnh của một tam giác.

Vậy chỉ có 6cm, 7cm, 10cm là ba cạnh của một tam giác.

Dựa vào mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.

Vì AB là đường vuông góc kẻ từ A xuống BE nên AB nhỏ nhất.

Quan sát hình vẽ ta thấy C nằm giữa B và D nên BC < BD suy ra AC < AD.

Mà D lại nằm giữa B và E nên BD < BE suy ra AD < AE.

Suy ra AB < AC < AD < AE.

Dựa vào kiến thức về các đường đã học.

Quan sát hình vẽ ta thấy AD nằm giữa góc BAC và $\widehat {BAD} = \widehat {CAD}$ nên AD là đường phân giác của tam giác ABC.

Dựa vào kiến thức về sự đồng quy của các đường trong tam giác.

Tam giác ABC có hai đường cao AD và BE cắt nhau tại I nên I là giao điểm của hai đường cao trong tam giác suy ra CI cũng là đường cao của tam giác ABC.

Dựa vào tính chất của điểm đồng quy trong tam giác.

Điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức.

a) Ta có: $\frac{x}{6} = \frac{4}{3}$

Suy ra $x.3 = 4.6$

$x = \frac{{4.6}}{3} = 8$

Vậy x = 8.

b) Ta có: $7:x = - 9:4$

Suy ra $\frac{7}{x} = \frac{{ - 9}}{4}$

$\begin{array}{l}7.4=-9.x\\ x=\frac{7.4}{-9}=\frac{-28}{9}\end{array}$$\begin{array}{l}7.4 =  - 9.x\\x = \frac{{7.4}}{{ - 9}} = \frac{{ - 28}}{9}\end{array}$

Vậy $x = \frac{{ - 28}}{9}$.

c) Ta có: $\frac{x}{7} = \frac{y}{3}$ và $x - y = - 16$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{7} = \frac{y}{3} = \frac{x - y}{7 - 3} = \frac{-16}{4} = -4$

Suy ra $\frac{x}{7} = -4$ nên $x = -4.7 = -28$

$\frac{y}{3} = -4$ nên $y = -4.3 = -12$

Vậy $x = -28; y = -12$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Gọi số học sinh giỏi của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a, b, c. $\left( {a,b,c \in \mathbb{N}*} \right)$

Vì số học sinh giỏi của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt tỉ lệ với 4; 3; 2 nên ta có: $\frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{2}$.

Vì tổng số học sinh giỏi của cả ba lớp là 45 em ta có a + b + c = 45.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{a}{4} = \frac{b}{3} = \frac{c}{2} = \frac{{a + b + c}}{{4 + 3 + 2}} = \frac{{45}}{9} = 5$

Suy ra $a = 5.4 = 20$

$\begin{array}{l}b=5.3=15\\ c=5.2=10\end{array}$$\begin{array}{l}b = 5.3 = 15\\c = 5.2 = 10\end{array}$

Vậy số học sinh giỏi của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 20; 15; 10 học sinh.

Sử dụng hệ quả của bất đẳng thức tam giác.

Theo đề bài AC = 30km, AB = 90km suy ra AC < AB.

Trong ∆ABC có: CB > AB – AC (hệ quả của bất đẳng thức tam giác)

Suy ra CB > 90 – 30 = 60km

Vậy nếu đặt tại C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B không nhận được tín hiệu.

a) Chứng minh $\Delta DHF = \Delta MHF$ (hai cạnh góc vuông) suy ra DF = FM (hai cạnh tương ứng).

b) Chứng minh $\Delta DHI = \Delta MHI$ (hai cạnh góc vuông) suy ra $\widehat {DIH} = \widehat {HIM}$ (hai góc tương ứng) suy ra IE là tia phân giác của góc DIM.

c) Chứng minh IH là đường trung tuyến của tam giác DIM và $IF = \frac{2}{3}IH$ nên F là trọng tâm của tam giác DIM. Do đó MN là đường trung tuyến của tam giác DIM.

a) Xét $\Delta DHF$ và $\Delta MHF$ có:

DH = HM

$\widehat {DHF} = \widehat {MHF}\left( { = {{90}^0}} \right)$

HF chung

suy ra $\Delta DHF = \Delta MHF$ (hai cạnh góc vuông)

suy ra DF = FM (hai cạnh tương ứng). (đpcm)

b) Xét $\Delta DHI$ và $\Delta MHI$ có:

$DH = HM$

$\widehat {DHI} = \widehat {MHI}\left( { = {{90}^0}} \right)$

HI chung

Suy ra $\Delta DHI = \Delta MHI$ (hai cạnh góc vuông) suy ra $\widehat {DIH} = \widehat {HIM}$ (hai góc tương ứng)

Mà IE nằm trong góc DIM suy ra IE là tia phân giác của góc DIM. (đpcm)

c) Vì $\Delta DHI = \Delta MHI$ nên DI = IM (hai cạnh tương ứng) suy ra tam giác DIM cân tại I.

Mà IH $\bot$ DH nên IH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác DIM.

Do EH = HF (gt) và EF = FI (gt) nên $\frac{{IF}}{{HI}} = \frac{{2HF}}{{3HF}} = \frac{2}{3}$ suy ra $IF = \frac{2}{3}HI$ hay F là trọng tâm của tam giác DIM.

Chứng minh IH là đường trung tuyến của tam giác DIM và $IF = \frac{2}{3}IH$ nên F là trọng tâm của tam giác DIM. Do đó MN là đường trung tuyến của tam giác DIM.

Mà MF cắt DI tại N nên MN là đường trung tuyên của tam giác DIM. (đpcm)

Biến đổi $\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}$ thành $\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{a + c}}{{ac}}$ và rút gọn để tìm a, b, c.

Thay a, b, c vào M để tính giá trị của M.

Ta có:$\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ac}}{{a + c}}$

$\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{a + c}}{{ac}}$

$\frac{a}{{ab}} + \frac{b}{{ab}} = \frac{b}{{bc}} + \frac{c}{{bc}} = \frac{a}{{ac}} + \frac{c}{{ac}}$

suy ra $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$

Ta có $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{c}$ suy ra  $a = c$ (1)

$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$ suy ra  $a = b$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra  a = b = c

Thay vào M, ta được:

$\begin{array}{l}M=\frac{2ab+3bc+ca}{2a^2+3b^2+c^2}\\ M=\frac{2.a\mathrm{.}a+3.a\mathrm{.}a+a\mathrm{.}a}{2a^2+3a^2+a^2}\\ M=\frac{6a^2}{6a^2}=1\end{array}$$\begin{array}{l}M = \frac{{2ab + 3bc + ca}}{{2{a^2} + 3{b^2} + {c^2}}}\\M = \frac{{2.a.a + 3.a.a + a.a}}{{2{a^2} + 3{a^2} + {a^2}}}\\M = \frac{{6{a^2}}}{{6{a^2}}} = 1\end{array}$

Vậy M = 1.