Đề thi học kì 1 Toán 7 - Đề số 7

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$ với $a,b \in {\mathbb{Z}},b \neq 0$.

Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là $\mathbb{Q}$.

Ta có:

+ $\dfrac{1}{2} \in {\mathbb{Q}}$ nên phương án A. $\dfrac{1}{2} \notin {\mathbb{Q}}$ là sai do đó, loại đáp án A.

+ $\dfrac{- 8}{0}$ không đúng với dạng số hữu tỉ (do mẫu số bằng $0$) nên phương án B. $\dfrac{- 8}{0} \in {\mathbb{Q}}$ là sai do đó, loại đáp án B.

+ $5 = \dfrac{5}{1}$ là một số hữu tỉ và $5 \in {\mathbb{Q}}$ nên phương án C. $5 \notin {\mathbb{Q}}$ là sai do đó, loại đáp án C.

+ $\dfrac{4}{- 5}$ là một số hữu tỉ nên $\dfrac{4}{- 5} \in {\mathbb{Q}}$ do đó, phương án D đúng.

Tính lũy thừa của một lũy thừa: Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: $\left( x^{m} \right)^{n} = x^{m.n}$

Tính tích của hai lũy thừa cùng cơ số: Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: $x^{m}.x^{n} = x^{m + n}$

$\left\lbrack \left( {0,3} \right)^{3} \right\rbrack^{4}.\left( {0,3} \right)^{3}$$= \left( {0,3} \right)^{3.4}.\left( {0,3} \right)^{3} = \left( {0,3} \right)^{12}.\left( {0,3} \right)^{3} = \left( {0,3} \right)^{12 + 3} = \left( {0,3} \right)^{15}$

Đổi hỗn số sang phân số, từ phân số đổi sang số thập phân.

Tính căn bậc hai của một số.

Tính giá trị tuyệt đối của một số.

So sánh các số để sắp xếp thứ tự tăng dần của các số.

Ta có:

$\begin{array}{l}2{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{9}{4}}=2,25\\ \sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4\\ -\mid -\sqrt{196}\mid =-\mid \sqrt{196}\mid =-\sqrt{196}\end{array}$$\begin{array}{l} {2\dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4} = 2,25} \\ {\sqrt{16} = \sqrt{4^{2}} = 4} \\ {- \left| {- \sqrt{196}} \right| = - \left| \sqrt{196} \right| = - \sqrt{196}} \end{array}$

*Vì $2,25 < 4$ nên $2\dfrac{1}{4} < \sqrt{16}$ (*)

*Vì $83 < 196$ nên $\sqrt{83} < \sqrt{196}$ suy ra $- \sqrt{83} > - \sqrt{196}$ hay $- \sqrt{83} > - \left| {- \sqrt{196}} \right|$ (1)

Vì $0,0(51) < 1 = \sqrt{1} < \sqrt{83}$ suy ra $- \sqrt{83} < - 1 < - 0,0(51)$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $- \left| {- \sqrt{196}} \right| < - \sqrt{83} < - 0,0(51)$ (**)

Từ (*) và (**), suy ra $D$$- \left| {- \sqrt{196}} \right| < - \sqrt{83} < - 0,0(51) < 2\dfrac{1}{4} < \sqrt{16}$

Vậy thứ tự tăng dần của các số là: $- \left| {- \sqrt{196}} \right|\,\,;\,\, - \sqrt{83}\,\,;\,\, - 0,0(51)\,\,;\,\, 2\dfrac{1}{4}\,\,;\,\,\sqrt{16}.$

+ Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

+ Hai tam giác bằng nhau có các cặp cạnh, cặp góc tương ứng bằng nhau

Xét $\Delta OAB$ và $\Delta ODC$ có:

$\widehat{ABO} = \widehat{DCO}$ (gt)

$BO = DO\,$(gt)

$\widehat{AOB} = \widehat{COD}$(đối đỉnh)

Do đó, $\Delta OAB = \Delta ODC\,$(g.c.g)

Suy ra $\widehat{D} = \widehat{A} = 30{^\circ}$( 2 góc tương ứng)

Vận dụng định lý: Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{0}$.

* Ta có: $\widehat{B} - \widehat{C} = 25^{0}$ hay $\widehat{B} = \widehat{C} + 25^{0}$

Xét $\Delta ABC$ có: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{0}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\begin{array}{l}{75}^0+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0\\ \widehat{B}+\widehat{C}={180}^0-{75}^0\\ \widehat{B}+\widehat{C}={105}^0\\ \widehat{C}+{25}^0+\widehat{C}={105}^0\\ 2\widehat{C}+{25}^0={105}^0\\ 2\widehat{C}={105}^0-{25}^0\\ 2\widehat{C}={80}^0\\ \widehat{C}={80}^0:2\\ \widehat{C}={40}^0\end{array}$$\begin{array}{l} {75^{0} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{0}} \\ {\widehat{B} + \widehat{C} = 180^{0} - 75^{0}} \\ {\widehat{B} + \widehat{C} = 105^{0}} \\ {\widehat{C} + 25^{0} + \widehat{C} = 105^{0}} \\ {2\widehat{C} + 25^{0} = 105^{0}} \\ {2\widehat{C} = 105^{0} - 25^{0}} \\ {2\widehat{C} = 80^{0}} \\ {\widehat{C} = 80^{0}:2} \\ {\widehat{C} = 40^{0}} \end{array}$

Vậy $\widehat{C} = 40^{0}$

Đọc và mô tả dữ liệu của biểu đồ hình quạt tròn.

Số tiền thu được tương ứng = % tương ứng . toàn bộ số tiền thu được

Số tiền công ty Phú Minh thu được từ chè thảo dược là: $10\%.25 = 2,5$ (tỉ đồng)

Số tiền công ty Phú Minh thu được từ chè xanh là: $78\%.25 = 19,5$ (tỉ đồng)

Số tiền công ty Phú Minh thu được từ chè đen là: $12\%.25 = 3$ (tỉ đồng)

Ta có bảng số liệu thống kê số tiền công ty chè Phú Minh thu được ở mỗi loại chè 2020:

Tiêu chí thống kê trong biểu đồ trên được biểu diễn trên trục thẳng đứng.

Tiêu chí thống kê của biểu đồ trên là nhiệt độ.

Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn, từ đó suy ra cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{BAC} = \widehat{BAM} + \widehat{CAM} = 90{^\circ}$

$\widehat{BAM} = 90{^\circ} - \widehat{CAM}$

Và $\Delta ANC$ vuông tại $N$ nên $\widehat{ACN} + \widehat{CAM} = 90{^\circ}$ (hai góc phụ nhau)

Hay $\widehat{ACN} = 90{^\circ} - \widehat{CAM}$

Do đó $\widehat{BAM} = \widehat{ACN}$

Xét $\Delta BAM$ và $\Delta ACN$ có:

$\widehat{BMA} = \widehat{ANC} = 90{^\circ}$

$\widehat{BAM} = \widehat{ACN}$ (cmt)

$AB = AC$ (gt)

Nên $\Delta BAM = \Delta ACN$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra: $MA = NC$ (hai cạnh tương ứng) nên A đúng

$BM = AN$ (hai cạnh tương ứng) nên B đúng

$\widehat{ABM} = \widehat{CAN}$ (hai góc tương ứng) nên D đúng

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

Từ các hình vẽ, ta nhận thấy Hình 3 là hình vẽ của hai góc đối đỉnh.

Vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau.

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Vì $yy'//zz'$ nên $\widehat{xAy^{\prime}} = \widehat{xBz^{\prime}} = 60^{0}$ (hai góc đồng vị)

Vì $\widehat{xBz^{\prime}}$ và $\widehat{zBx^{\prime}}$ là hai đối đỉnh nên $\widehat{xBz^{\prime}} = \widehat{zBx^{\prime}} = 60^{0}$.

Vậy $\widehat{zBx^{\prime}} = 60^{0}$

a) Đổi hỗn số sang phân số.

Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ.

b) Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số:

+ Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: $x^{m}.x^{n} = x^{m + n}$

+ Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia: $x^{m}:x^{n} = x^{m - n}\,\left( {x \neq 0;m \geq n} \right)$

Lũy thừa của một lũy thừa: Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: $\left( x^{m} \right)^{n} = x^{m.n}$

Tính $\left( {a.b} \right)^{m} = a^{m}.b^{m}$

c) Tính căn bậc hai số học của một số thực

Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ.

d) Vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực: $|x| =$$\left\{ \begin{array}{l} {x\,\,\,\,\,\, khi\,\,\, x > 0} \\ {- x\,\,\, khi\,\, x < 0} \\ {0\,\,\,\,\,\,\, khi\,\,\, x = 0} \end{array} \right.$

Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ.

a) $\left( {2\dfrac{5}{6} + 1\dfrac{4}{9}} \right):\left( {10\dfrac{1}{12} - 9,5} \right)$

$\begin{array}{l}=\left({\displaystyle \frac{17}{6}}+{\displaystyle \frac{13}{9}}\right):\left({\displaystyle \frac{121}{12}}-{\displaystyle \frac{19}{2}}\right)\\ =\left({\displaystyle \frac{51}{18}}+{\displaystyle \frac{26}{18}}\right):\left({\displaystyle \frac{121}{12}}-{\displaystyle \frac{114}{12}}\right)\\ ={\displaystyle \frac{77}{18}}:{\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{77}{18}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{12}{7}}\\ ={\displaystyle \frac{22}{3}}\end{array}$$\begin{array}{l} {= \left( {\dfrac{17}{6} + \dfrac{13}{9}} \right):\left( {\dfrac{121}{12} - \dfrac{19}{2}} \right)} \\ {= \left( {\dfrac{51}{18} + \dfrac{26}{18}} \right):\left( {\dfrac{121}{12} - \dfrac{114}{12}} \right)} \\ {= \dfrac{77}{18}:\dfrac{7}{12} = \dfrac{77}{18}.\dfrac{12}{7}} \\ {= \dfrac{22}{3}} \end{array}$

b) $\dfrac{32^{3}.9^{5}}{8^{3}.6^{6}}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{{\left(2^5\right)}^3\mathrm{.}{\left(3^2\right)}^5}{{\left(2^3\right)}^3\mathrm{.}(2.3{)}^6}}={\displaystyle \frac{2^{5.3}{.3}^{2.5}}{2^{3.3}{.2}^6{.3}^6}}\\ ={\displaystyle \frac{2^{15}{.3}^{10}}{2^9{.2}^6{.3}^6}}={\displaystyle \frac{2^{15}{.3}^{10}}{2^{9+6}{.3}^6}}\\ ={\displaystyle \frac{2^{15}{.3}^{10}}{2^{15}{.3}^6}}={\displaystyle \frac{3^{10}}{3^6}}\\ =3^{10-6}=3^4=81\end{array}$$\begin{array}{l} {= \dfrac{\left( 2^{5} \right)^{3}.\left( 3^{2} \right)^{5}}{\left( 2^{3} \right)^{3}.(2.3)^{6}} = \dfrac{2^{5.3}.3^{2.5}}{2^{3.3}.2^{6}.3^{6}}} \\ {= \dfrac{2^{15}.3^{10}}{2^{9}.2^{6}.3^{6}} = \dfrac{2^{15}.3^{10}}{2^{9 + 6}.3^{6}}} \\ {= \dfrac{2^{15}.3^{10}}{2^{15}.3^{6}} = \dfrac{3^{10}}{3^{6}}} \\ {= 3^{10 - 6} = 3^{4} = 81} \end{array}$

c) $\sqrt{64} + 2\sqrt{\left( {- 3} \right)^{2}} - 8.\sqrt{\dfrac{25}{16}}$

$\begin{array}{l}=\sqrt{8^2}+2.\sqrt{3^2}-8.\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2}\\ =8+2.3-8.{\displaystyle \frac{5}{4}}\\ =8+6-10\\ =4\end{array}$$\begin{array}{l} {= \sqrt{8^{2}} + 2.\sqrt{3^{2}} - 8.\sqrt{\left( \dfrac{5}{4} \right)^{2}}} \\ {= 8 + 2.3 - 8.\dfrac{5}{4}} \\ {= 8 + 6 - 10} \\ {= 4} \end{array}$

d) $\left| \dfrac{1}{- 5} \right| - \dfrac{\left( {- 2} \right)^{2}}{\left| {- 5} \right|} - \dfrac{|2|}{5}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ ={\displaystyle \frac{-5}{5}}=-1\end{array}$$\begin{array}{l} {= \dfrac{1}{5} - \dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5}} \\ {= \dfrac{- 5}{5} = - 1} \end{array}$

a) Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ

Vận dụng quy tắc chuyển vế, tìm $x$.

b) Biến đổi về dạng $\left. a^{f{(x)}} = a^{g{(x)}}\Rightarrow f(x) = g(x) \right.$

c) Tính căn bậc hai số học của số thực

Đổi hỗn số sang phân số

Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ

Vận dụng quy tắc chuyển vế, tìm $x$.

d) $|x| = a$

Trường hợp $a < 0$, khi đó phương trình không có nghiệm $x$

Trường hợp $a > 0$, vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực: $|x| =$$\left\{ \begin{array}{l} {x\,\,\,\,\,\, khi\,\,\, x > 0} \\ {- x\,\,\, khi\,\, x < 0} \\ {0\,\,\,\,\,\,\, khi\,\,\, x = 0} \end{array} \right.$

a) $x - \dfrac{1}{2} = 3\dfrac{1}{2}:\dfrac{2}{7}$

$\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}:{\displaystyle \frac{2}{7}}\\ x-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{2}{7}}=1\\ x=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$\begin{array}{l} {x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}:\dfrac{2}{7}} \\ {x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}.\dfrac{2}{7} = 1} \\ {x = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2}} \\ {x = \dfrac{3}{2}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{3}{2}$

b) $3^{- 1}.3^{x} + 5.3^{x - 1} = 162$ ($x$ là số nguyên)

$\begin{array}{l}{3}^{-1+x}+{5.3}^{x-1}=162\\ 3^{x-1}\mathrm{.}\left(1+5\right)=162\\ 3^{x-1}.6=162\\ 3^{x-1}=162:6\\ 3^{x-1}=27\\ 3^{x-1}=3^3\\ x-1=3\\ x=3+1\end{array}$$\begin{array}{l} {3^{- 1 + x} + 5.3^{x - 1} = 162} \\ {3^{x - 1}.\left( {1 + 5} \right) = 162} \\ {3^{x - 1}.6 = 162} \\ {3^{x - 1} = 162:6} \\ {3^{x - 1} = 27} \\ {3^{x - 1} = 3^{3}} \\ {x - 1 = 3} \\ {x = 3 + 1} \end{array}$

$x = 4$ (thỏa mãn $x$ là số nguyên)

Vậy $x = 4$

c) $\sqrt{1,96} + 3\dfrac{x}{4} = \sqrt{0,04} + \dfrac{1}{4}.\sqrt{\left( \dfrac{89}{5} \right)^{2}}$

$\begin{array}{l}\sqrt{{\left(1,4\right)}^2}+{\displaystyle \frac{12+x}{4}}=\sqrt{{\left(0,2\right)}^2}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{89}{5}}\\ 1,4+{\displaystyle \frac{12+x}{4}}=0,2+{\displaystyle \frac{89}{20}}\\ {\displaystyle \frac{12+x}{4}}=0,2+{\displaystyle \frac{89}{20}}-1,4\\ {\displaystyle \frac{12+x}{4}}={\displaystyle \frac{4}{20}}+{\displaystyle \frac{89}{20}}-{\displaystyle \frac{28}{20}}\\ {\displaystyle \frac{12+x}{4}}={\displaystyle \frac{13}{4}}\\ 12+x=13\\ x=13-12\\ x=1\end{array}$$\begin{array}{l} {\sqrt{\left( {1,4} \right)^{2}} + \dfrac{12 + x}{4} = \sqrt{\left( {0,2} \right)^{2}} + \dfrac{1}{4}.\dfrac{89}{5}} \\ {1,4 + \dfrac{12 + x}{4} = 0,2 + \dfrac{89}{20}} \\ {\dfrac{12 + x}{4} = 0,2 + \dfrac{89}{20} - 1,4} \\ {\dfrac{12 + x}{4} = \dfrac{4}{20} + \dfrac{89}{20} - \dfrac{28}{20}} \\ {\dfrac{12 + x}{4} = \dfrac{13}{4}} \\ {12 + x = 13} \\ {x = 13 - 12} \\ {x = 1} \end{array}$

Vậy $x = 1$

d) $\left| {2x:\dfrac{4}{5} - \dfrac{1,6}{4}} \right| = \dfrac{7}{5}$

$\left| {2x:\dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5}} \right| = \dfrac{7}{5}$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}2x:{\displaystyle \frac{4}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{7}{5}}\\ 2x:{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{7}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ 2x:{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{9}{5}}\\ 2x={\displaystyle \frac{9}{5}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{36}{25}}\\ x={\displaystyle \frac{36}{25}}:2={\displaystyle \frac{36}{25}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{18}{25}}\end{array}$$\begin{array}{l} {2x:\dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{5}} \\ {2x:\dfrac{4}{5} = \dfrac{7}{5} + \dfrac{2}{5}} \\ {2x:\dfrac{4}{5} = \dfrac{9}{5}} \\ {2x = \dfrac{9}{5}.\dfrac{4}{5} = \dfrac{36}{25}} \\ {x = \dfrac{36}{25}:2 = \dfrac{36}{25}.\dfrac{1}{2}} \\ {x = \dfrac{18}{25}} \end{array}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}2x:{\displaystyle \frac{4}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{-7}{5}}\\ 2x:{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{-7}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ 2x:{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{-5}{5}}=-1\\ 2x=-1.{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{-4}{5}}\\ x={\displaystyle \frac{-4}{5}}:2={\displaystyle \frac{-4}{5}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{-2}{5}}\end{array}$$\begin{array}{l} {2x:\dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{- 7}{5}} \\ {2x:\dfrac{4}{5} = \dfrac{- 7}{5} + \dfrac{2}{5}} \\ {2x:\dfrac{4}{5} = \dfrac{- 5}{5} = - 1} \\ {2x = - 1.\dfrac{4}{5} = \dfrac{- 4}{5}} \\ {x = \dfrac{- 4}{5}:2 = \dfrac{- 4}{5}.\dfrac{1}{2}} \\ {x = \dfrac{- 2}{5}} \end{array}$

Vậy $x \in \left\{ {\dfrac{18}{25};\dfrac{- 2}{5}} \right\}$

a) Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

b) + Hai góc kề bù có tổng bằng $180{^\circ}$

+1 góc bằng $90{^\circ}$ thì hai đường thẳng vuông góc với nhau.

c) + Hai tam giác bằng nhau có các cặp cạnh, cặp góc tương ứng bằng nhau

+ Hai đường thẳng song song có các cặp góc so le trong bằng nhau.

a) Xét tam giác $ABM$ và tam giác $ACM$, ta có:

$AB = AC$ (giả thiết)

$BM = MC$($M$ là trung điểm của $BC$)

$AM$ là cạnh chung

Suy ra $\Delta ABM = \Delta ACM$ (c.c.c)

$\widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}}$ (hai góc tương ứng) hay $AM$ là tia phân giác của $\angle BAC$

Suy ra ${\widehat{M}}_{1} = \widehat{M_{2}}$ (hai góc tương ứng).

b) Mà $\widehat{M_{1}} + \widehat{M_{2}} = 180{^\circ}$ (kề bù) nên $\widehat{M_{1}} = \widehat{M_{2}} = 90{^\circ}$.

Suy ra $AM\bot BC$.

c) $\text{Ta}$ có $CN\text{~//~}AB$ nên $\widehat{B_{1}} = \widehat{C_{1}}$ (hai góc so le trong).

Xét $\Delta ABM$ và $NCM$, ta có:

$\widehat{M_{1}} = \widehat{M_{2}}$ (hai góc đối đỉnh)

$MB = MC$ ($M$ là trung điểm của $BC$)

$\widehat{B_{1}} = \widehat{C_{1}}$ (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta ABM = \Delta NCM$ (g.c.g)

Suy ra $AM = MN$ (hai cạnh tương ứng).

Hay $M$ là trung điểm của $AN$.

Để $P = \dfrac{M(x)}{n(x)}$ có giá trị nguyên

+ Bước 1: Biến đổi $P = m(x) + \dfrac{k}{n(x)}$. Trong đó $k$ là số nguyên

+ Bước 2: Lập luận: Để $P$ có giá trị nguyên thì $k \vdots n(x)$ hay $n(x) \in U(k)$

+ Bước 3: Lập bảng giá trị và kiểm tra $x$ với điều kiện đã tìm

+ Bước 4: Kết luận

$G = \dfrac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 3}$ (điều kiện: $x \geq 0$)

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{\sqrt{x}-3+8}{\sqrt{x}-3}}\\ ={\displaystyle \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}}+{\displaystyle \frac{8}{\sqrt{x}-3}}\\ =1+{\displaystyle \frac{8}{\sqrt{x}-3}}\end{array}$$\begin{array}{l} {= \dfrac{\sqrt{x} - 3 + 8}{\sqrt{x} - 3}} \\ {= \dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{8}{\sqrt{x} - 3}} \\ {= 1 + \dfrac{8}{\sqrt{x} - 3}} \end{array}$

Để $G \in {\mathbb{Z}}$ thì $\dfrac{8}{\sqrt{x} - 3} \in {\mathbb{Z}}$

Vì $x \in {\mathbb{Z}}$ suy ra $\sqrt{x} \in {\mathbb{Z}}$ ($x$ là số chính phương) hoặc $\sqrt{x} \in I$ (là số vô tỉ)

TH1: $\sqrt{x} \in I$ là số vô tỉ thì $\sqrt{x} - 3$ là số vô tỉ

Suy ra $\dfrac{8}{\sqrt{x} - 3}$ là số vô tỉ (Loại)

TH2: $\sqrt{x} \in {\mathbb{Z}}$ thì $\sqrt{x} - 3 \in {\mathbb{Z}}$

Để $\dfrac{8}{\sqrt{x} - 3} \in {\mathbb{Z}}$ suy ra $8 \vdots \left( {\sqrt{x} - 3} \right)$ hay $\left( {\sqrt{x} - 3} \right) \in$ Ư $(8) = \left\{ {\pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8} \right\}$

Ta có bảng sau:

Vậy để $G$ có giá trị nguyên thì $x \in \left\{ {1;4;16;25;49;121} \right\}$