Đề giữa học kì 1 Toán 7 năm 2025 – 2026 trường THCS Bát Tràng – Hà Nội

Tập hợp số hữu tỉ $\mathbb{Q}$ gồm các số viết được dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$ (với $a,b \in {\mathbb{Z}},b \neq 0$), tập số tự nhiên $\mathbb{N}$, tập số nguyên $\mathbb{Z}$.

Phương án A sai vì $- \dfrac{2}{5}$ là số hữu tỉ nên $- \dfrac{2}{5} \in {\mathbb{Q}}$.

Phương án B sai vì mẫu số bằng $0$ ($\dfrac{- 3}{0}$ không tồn tại).

Phương án C đúng vì số $0$ viết được dưới dạng $\dfrac{0}{1}$ nên $0 \in {\mathbb{Q}}$.

Phương án D sai vì $- 6$ là số nguyên âm, không phải số tự nhiên ($- 6 \notin {\mathbb{N}}$).

Rút gọn tất cả các số về dạng phân số tối giản để so sánh. Các số có cùng giá trị sau khi rút gọn sẽ được biểu diễn bởi cùng một điểm duy nhất trên trục số.

Ta có:

$0,25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$

$\dfrac{- 25}{- 100} = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$

Muốn nhân hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$. Rút gọn kết quả nếu cần.

$\dfrac{7}{4} \cdot \left( {- \dfrac{2}{5}} \right) = \dfrac{7 \cdot ( - 2)}{4 \cdot 5} = \dfrac{- 14}{20} = \dfrac{- 7}{10}$

Một phân số tối giản với mẫu dương, nếu mẫu có ước nguyên tố khác $2$ và $5$ thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

$\dfrac{- 4}{3}$ có mẫu là $3$ (là số nguyên tố khác $2$ và $5$)

Nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn $\dfrac{- 4}{3} = - 1,(3)$

Sử dụng các công thức lũy thừa cơ bản:

$x^{0} = 1$ (với $x \neq 0$)

$x^{m}:x^{n} = x^{m - n}$ (với $x \neq 0$)

$x^{n} \cdot y^{n} = {(x \cdot y)}^{n}$

$x^{n}:y^{n} = {(x:y)}^{n}$ (với $y \neq 0$)

Ta có: $\left( \dfrac{1}{7} \right)^{100}:\left( \dfrac{1}{7} \right)^{99} = \left( \dfrac{1}{7} \right)^{100 - 99} = \left( \dfrac{1}{7} \right)^{1} = \dfrac{1}{7} \neq 1$

Đưa hai vế về cùng cơ số rồi so sánh số mũ: $a^{f} = a^{g}$ thì $f = g$ (với $a \neq \pm 1,a \neq 0$).

$\left( \dfrac{1}{2} \right)^{x} = \dfrac{1}{32}$

$\left( \dfrac{1}{2} \right)^{x} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{5}$

Suy ra $x = 5$

Sử dụng tính chất quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng: "Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia."

Ta có $a\text{//}b$ và $a\bot c$

Suy ra $b\bot c$ (Quan hệ từ vuông góc đến song song)

Nếu đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng $a, b$ và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau thì $a$ và $b$ song song với nhau.

Vì đường thẳng $c$ cắt hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ và trong các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau nên $a\,\text{//}\, b$.

Áp dụng tính chất của hai góc đối đỉnh, hai góc kề bù và tính chất của hai đường thẳng song song

Ta có: $\widehat{H_{3}} = \widehat{K_{1}} = 120{^\circ}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Nên hai đường thẳng chứa hai đỉnh H, K song song với nhau.

Tại đỉnh H ta có:

$\widehat{H_{1}} = \widehat{H_{3}} = 120^{{^\circ}}$ (đối đỉnh).

$\widehat{H_{2}} + \widehat{H_{3}} = 180^{{^\circ}}$ (kề bù) nên $H_{2} = 180^{{^\circ}} - 120^{{^\circ}} = 60^{{^\circ}}$.

$H_{4} = H_{2} = 60^{{^\circ}}$ (đối đỉnh).

Tại đỉnh K ta có:

$\widehat{K_{3}} = \widehat{K_{1}} = 120^{{^\circ}}$ (đối đỉnh).

$\widehat{K_{2}} = \widehat{H_{2}} = 60^{{^\circ}}$ (đồng vị) suy ra $\widehat{K_{4}} = \widehat{K_{2}} = 60^{{^\circ}}$ (đối đỉnh).

Trong một định lý toán học:

+ Phần nằm giữa từ "Nếu" và từ "thì" (những điều đã cho biết) là Giả thiết (GT).

+ Phần nằm sau từ "thì" (những điều cần suy ra) là Kết luận (KL).

Điều đã cho biết trong định lí được gọi là Giả thiết.

Dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song và tính chất của hai góc kề bù.

Kết hợp với giả thiết để giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu.

Ta có: $\widehat{B_{1}} - \widehat{\text{A}_{1}} = 50{^\circ}$

Suy ra $\widehat{B_{1}} = 50{^\circ} + \widehat{A_{1}}$

Vì $a\,\text{//}\, b$ nên $\widehat{B_{1}} = \widehat{A_{2}}$ (hai góc đồng vị)

Mặt khác, $\widehat{A_{1}}$ và $\widehat{A_{2}}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{A_{1}} + \widehat{A_{2}} = 180{^\circ}$

Do đó, $\widehat{A_{1}} + \widehat{B_{1}} = 180{^\circ}$

Hay $\widehat{A_{1}} + (50{^\circ} + \widehat{A_{1}}) = 180{^\circ}$

$\begin{array}{l}2\widehat{A_1}+50{}^{\circ }=180{}^{\circ }\\ 2\widehat{A_1}=180{}^{\circ }-50{}^{\circ }\\ 2\widehat{A_1}=130{}^{\circ }\\ \widehat{A_1}=65{}^{\circ }\end{array}$$\begin{array}{l} {2\widehat{A_{1}} + 50{^\circ} = 180{^\circ}} \\ {2\widehat{A_{1}} = 180{^\circ} - 50{^\circ}} \\ {2\widehat{A_{1}} = 130{^\circ}} \\ {\widehat{A_{1}} = 65{^\circ}} \end{array}$

Vậy $\widehat{A_{1}} = 65{^\circ}$

Sử dụng các định lý, định nghĩa hình học cơ bản:

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng $180^{{^\circ}}$

Hai đường thẳng vuông góc tạo thành 4 góc vuông.

Định lý từ vuông góc đến song song: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Phương án A sai (hai đường thẳng cắt nhau chưa chắc đã vuông góc).

Phương án B sai (tạo thành 4 góc vuông).

Phương án C đúng (Định lý từ vuông góc đến song song).

Phương án D sai (hai góc bù nhau có tổng bằng $180^{{^\circ}}$).

a) Thực hiện phép tính lũy thừa trước, rồi đến nhân chia, cuối cùng là cộng trừ.

b) Áp dụng tính chất kết hợp, giao hoán và phân phối của phép nhân đối với phép cộng để tính nhanh một cách hợp lý.

a) $3 - \left( \dfrac{1}{3} \right)^{3} + \dfrac{1}{27} + \left( \dfrac{- 2025}{2026} \right)^{0}$

$\begin{array}{l}=3-{\displaystyle \frac{1}{27}}+{\displaystyle \frac{1}{27}}+1\\ =(3+1)+\left(-{\displaystyle \frac{1}{27}}+{\displaystyle \frac{1}{27}}\right)\\ =4+0\\ =4\end{array}$$\begin{array}{l} {= 3 - \dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{27} + 1} \\ {= (3 + 1) + \left( {- \dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{27}} \right)} \\ {= 4 + 0} \\ {= 4} \end{array}$

b) $\dfrac{- 7}{11}.\dfrac{3}{19} + \dfrac{- 7}{11}.\dfrac{16}{19} + \dfrac{- 4}{11}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{-7}{11}}\mathrm{.}\left({\displaystyle \frac{3}{19}}+{\displaystyle \frac{16}{19}}\right)+{\displaystyle \frac{-4}{11}}\\ ={\displaystyle \frac{-7}{11}}.1+{\displaystyle \frac{-4}{11}}\\ ={\displaystyle \frac{-7}{11}}+{\displaystyle \frac{-4}{11}}\\ ={\displaystyle \frac{-11}{11}}\\ =-1\end{array}$$\begin{array}{l} {= \dfrac{- 7}{11}.\left( {\dfrac{3}{19} + \dfrac{16}{19}} \right) + \dfrac{- 4}{11}} \\ {= \dfrac{- 7}{11}.1 + \dfrac{- 4}{11}} \\ {= \dfrac{- 7}{11} + \dfrac{- 4}{11}} \\ {= \dfrac{- 11}{11}} \\ {= - 1} \end{array}$

Áp dụng quy tắc chuyển vế: khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.

a) $x - 0,2 = \dfrac{3}{5}$

$\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{3}{5}}\\ x={\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}\\ x={\displaystyle \frac{4}{5}}\end{array}$$\begin{array}{l} {x - \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{5}} \\ {x = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}} \\ {x = \dfrac{4}{5}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{4}{5}$.

b) $3x + 1^{99} = \left( \dfrac{- 5}{7} \right)^{2026}:\left( \dfrac{- 5}{7} \right)^{2025}$

$\begin{array}{l}3x+1={\left({\displaystyle \frac{-5}{7}}\right)}^{2026-2025}\\ 3x+1={\displaystyle \frac{-5}{7}}\\ 3x={\displaystyle \frac{-5}{7}}-1\\ 3x={\displaystyle \frac{-5}{7}}-{\displaystyle \frac{7}{7}}\\ 3x={\displaystyle \frac{-12}{7}}\\ x={\displaystyle \frac{-4}{7}}\end{array}$$\begin{array}{l} {3x + 1 = \left( \dfrac{- 5}{7} \right)^{2026 - 2025}} \\ {3x + 1 = \dfrac{- 5}{7}} \\ {3x = \dfrac{- 5}{7} - 1} \\ {3x = \dfrac{- 5}{7} - \dfrac{7}{7}} \\ {3x = \dfrac{- 12}{7}} \\ {x = \dfrac{- 4}{7}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{- 4}{7}$

c) $\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^{2} - \dfrac{9}{25} = 0$

$\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^{2} = \dfrac{9}{25}$

TH1: $\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^{2} = \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2}$

$x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{5}$

$\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{6}{10}}+{\displaystyle \frac{5}{10}}\\ x={\displaystyle \frac{11}{10}}\end{array}$$\begin{array}{l} {x = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2}} \\ {x = \dfrac{6}{10} + \dfrac{5}{10}} \\ {x = \dfrac{11}{10}} \end{array}$

TH2: $\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^{2} = \left( {- \dfrac{3}{5}} \right)^{2}$

$x - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{3}{5}$

$\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x=-{\displaystyle \frac{6}{10}}+{\displaystyle \frac{5}{10}}\\ x={\displaystyle \frac{-1}{10}}\end{array}$$\begin{array}{l} {x = - \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2}} \\ {x = - \dfrac{6}{10} + \dfrac{5}{10}} \\ {x = \dfrac{- 1}{10}} \end{array}$

Vậy $x \in \left\{ {\dfrac{11}{10};\dfrac{- 1}{10}} \right\}$

Tính tổng số tiền mua vở và bút theo giá niêm yết ban đầu.

Số tiền được giảm = Tổng số tiền ban đầu $\times$ Phần trăm giảm giá ($20\%$).

Số tiền thực tế phải trả = Tổng tiền ban đầu - Số tiền được giảm.

Số tiền thừa cửa hàng trả lại = Số tiền mang đi - Số tiền thực tế phải trả.

a) Số tiền bạn An mua vở và bút là:

$10\,.\, 12\, 000 + 6.5\, 000 = 150\, 000$(đồng)

Số tiền bạn An được giảm là:

$150\, 000.20\% = 30\, 000$(đồng)

b) Số tiền phải trả sau khi giảm là:

$150\, 000 - 30\, 000 = 120\, 000$(đồng)

Cửa hàng trả lại số tiền là:

$160\, 000 - 120\, 000 = 40\, 000$(đồng)

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $180^\circ$.

Tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau và bằng một nửa góc ban đầu.

a) Vì $\widehat{zOy}$ và $\widehat{xOt}$ là hai góc đối đỉnh

nên $\widehat{zOy} = \widehat{xOt} = 60{^\circ}$

b) Vì $\widehat{xOz}$ và $\widehat{xOt}$ là hai góc kề bù

nên $\widehat{xOz} + \widehat{xOt} = 180{^\circ}$

Suy ra $\widehat{xOz} = 180{^\circ} - \widehat{xOt} = 180{^\circ} - 60{^\circ} = 120{^\circ}$

c) Vì $Om$ là tia phân giác của $\widehat{xOz}$

nên $\widehat{mOz} = \widehat{mOx} = \dfrac{\widehat{xOz}}{2} = \dfrac{120{^\circ}}{2} = 60{^\circ}$

Vì tia $Oz$ nằm giữa hai tia $Om$ và $Oy$ nên

$\widehat{mOy} = \widehat{mOz} + \widehat{zOy} = 60{^\circ} + 60{^\circ} = 120{^\circ}$

a) Áp dụng định lý từ vuông góc đến song song

b) Sử dụng tính chất của hai góc kề bù và tính chất của hai đường thẳng song song

c) Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^{{^\circ}}$

a) Ta có:

$\left. \left.$$\begin{array}{l} {xy\bot AB\,\,(gt)} \\ {mn\bot AB\,\,(gt)} \end{array}$ \right\}\Rightarrow xy\text{//}mn \right. (Từ vuông góc đến song song)

b) Ta có góc $\widehat{ECx}$ và góc $\widehat{xCD}$ là hai góc kề bù, nên:

$\widehat{ECx} + \widehat{xCD} = 180{^\circ}$

Suy ra $\widehat{xCD} = 180{^\circ} - \widehat{ECx} = 180{^\circ} - 80{^\circ} = 100{^\circ}$

Có: $xy\text{//}mn\,\,(cmt)$ nên $\widehat{CDB} = \widehat{xCD} = 100{^\circ}$(so le trong)

c) Xét $\Delta CHD$ ta có:

$\widehat{HCD} + \widehat{CDH} + \widehat{H} = 180{^\circ}$ (Định lý tổng 3 góc trong một tam giác)

$\begin{array}{l}80{}^{\circ }+\widehat{CDH}+90{}^{\circ }=180{}^{\circ }\\ \widehat{CDH}=180{}^{\circ }-170{}^{\circ }=10{}^{\circ }\end{array}$$\begin{array}{l} {80{^\circ} + \widehat{CDH} + 90{^\circ} = 180{^\circ}} \\ {\widehat{CDH} = 180{^\circ} - 170{^\circ} = 10{^\circ}} \end{array}$

Đánh giá lũy thừa bậc chẵn: Với mọi số thực $a$ và số tự nhiên $n$, ta luôn có $a^{2n} \geq 0$.

Tổng của các số không âm bằng $0$ khi và chỉ khi từng số hạng trong tổng đồng thời bằng $0$.

Ta có: $\left( {3x - 5} \right)^{2022} \geq 0;\ \left( {y^{2} - \dfrac{4}{9}} \right)^{2024} \geq 0;$ $\left( {x - 2z} \right)^{2026} \geq 0.$

nên để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:

$\left( {3x - 5} \right)^{2022} = 0;\ \left( {y^{2} - \dfrac{4}{9}} \right)^{2024} = 0;$ $\left( {x - 2z} \right)^{2026} = 0.$

Suy ra: $x = \dfrac{5}{3}; y = \pm \dfrac{2}{3}; z = \dfrac{5}{6}$

Vậy $\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {\dfrac{5}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{6}} \right);\left( {\dfrac{5}{3};\dfrac{- 2}{3};\dfrac{5}{6}} \right)} \right\}$