Đề thi giữa học kì 1 Toán 7 - Đề số 8

Đưa số thập phân về phân số.

Ta có: $0,0625 = \dfrac{625}{10000} = \dfrac{625:625}{10000:625} = \dfrac{1}{16}$

Vậy phân số biểu diễn số hữu tỉ $0,0625$ là $\dfrac{1}{16}$.

Vận dụng công thức tính lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa: $\left( {x.y} \right)^{n} = x^{n}.y^{n}$

$\left( {0,08} \right)^{6}.10^{6} = \left( {0,08.10} \right)^{6} = 0,8^{6}$

So sánh từng số hạng của tổng.

Ta có: $2 = \sqrt{2^{2}} = \sqrt{4}\,\,;\,\, 6 = \sqrt{6^{2}} = \sqrt{36}$

Vì $4 > 2$ nên $\sqrt{4} > \sqrt{2}$ hay $2 > \sqrt{2}$

$37 > 36$ nên $\sqrt{37} > \sqrt{36}$ hay $\sqrt{37} > 6$

Do đó, $2 + \sqrt{37} > 6 + \sqrt{2}$

Tiên đề Euclid: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đướng thẳng đó.

Qua điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $m,$ có vô số đường thẳng song song với $m$ $\Rightarrow$ Sai

Qua điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $m,$ có duy nhất một đường thẳng song song với $m$ $\Rightarrow$ Đúng

Qua điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d,$ có hai đường thẳng phân biệt cùng song song với $d$$\Rightarrow$ Sai

Nếu hai đường thẳng $AB$ và $AC$ cùng song song với đường thẳng $d$ thì hai đường thẳng $AB$ và $AC$ song song với nhau $\Rightarrow$ Sai

$Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$ thì ta có: $\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2}$

Vì $Om$ là tia phân giác của góc $xOz$ nên $\widehat{zOm} = \dfrac{\widehat{xOz}}{2}$ hay $\widehat{xOz} = 2.\widehat{zOm}$

Vì $On$ là tia phân giác của góc $zOy$ nên $\widehat{nOz} = \dfrac{\widehat{zOy}}{2}$ hay $\widehat{zOy} = 2.\widehat{nOz}$

Vì $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOy}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{xOy} + \widehat{zOy} = 180^{0}$

$\begin{array}{l}2.\widehat{zOm}+2.\widehat{nOz}={180}^0\\ 2.\left(\widehat{zOm}+\widehat{nOz}\right)={180}^0\\ \widehat{zOm}+\widehat{nOz}={180}^0:2\\ \widehat{zOm}+\widehat{nOz}={90}^0\end{array}$$\begin{array}{l} {2.\widehat{zOm} + 2.\widehat{nOz} = 180^{0}} \\ {2.\left( {\widehat{zOm} + \widehat{nOz}} \right) = 180^{0}} \\ {\widehat{zOm} + \widehat{nOz} = 180^{0}:2} \\ {\widehat{zOm} + \widehat{nOz} = 90^{0}} \end{array}$

Vì $Oz$ nằm giữa hai tia $Om$ và $On$ nên $\widehat{zOm} + \widehat{nOz} = \widehat{mOn} = 90^{0}$

Vậy $\widehat{mOn} = 90^{0}$

- Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

+ Hai góc so le trong bằng nhau;

+ Hai góc đồng vị bằng nhau.

- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: Nếu đường thẳng c cắt đường thẳng phân biệt ab, và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng hai thì a và b song song với nhau.

- Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì sẽ vuông góc với đường thẳng còn lại.

Ta có $\widehat{ABD} = 90^{o}\left( {gt} \right)$ nên $AB\bot BD$

Mà $AE\,//\, BD\,\left( {gt} \right)$

Suy ra $AE\bot AB$ hay $\widehat{BAE} = 90^{o}$

Vì $AE\,//\, BD$ nên $\widehat{EDx} = \widehat{AED} = 55^{o}$ (đối đỉnh)

Mà $\widehat{BDE} + \widehat{EDx} = 180^{o}$ (hai góc kề bù)

$\widehat{BDE} = 180^{o} - 55^{o} = 125^{o}$

a) Thực hiện các phép toán với các số hữu tỉ, sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $a.c + b.c = c.\left( {a + b} \right)$

b) Vận dụng quy tắc tính lũy thừa của một lũy thừa: Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: $\left( x^{m} \right)^{n} = x^{m.n}$.

Vận dụng quy tắc tính thương của hai lũy thừa cùng cơ số: $x^{m}:x^{n} = x^{m - n}\,\left( {x \neq 0;m \geq n} \right)$.

d) Tính căn bậc hai của một số thực: $\sqrt{a^{2}} = a(a \geq 0)$

a) $\left( {- \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{3}} \right):\dfrac{5}{11} + \left( {- \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}} \right):\dfrac{5}{11}$

$\begin{array}{l}=\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\mathrm{.}{\displaystyle \frac{11}{5}}+\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\mathrm{.}{\displaystyle \frac{11}{5}}\\ =\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{-1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\mathrm{.}{\displaystyle \frac{11}{5}}\\ =\left[\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{-1}{4}}\right)+\left({\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\right]\mathrm{.}{\displaystyle \frac{11}{5}}\\ =\left({\displaystyle \frac{-4}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{3}}\right)\mathrm{.}{\displaystyle \frac{11}{5}}\\ =\left(-1+1\right)\mathrm{.}{\displaystyle \frac{11}{5}}\\ =0.{\displaystyle \frac{11}{5}}=0\end{array}$$\begin{array}{l} {= \left( {- \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{3}} \right).\dfrac{11}{5} + \left( {- \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}} \right).\dfrac{11}{5}} \\ {= \left( {- \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{- 1}{4} + \dfrac{1}{3}} \right).\dfrac{11}{5}} \\ {= \left\lbrack {\left( {- \dfrac{3}{4} + \dfrac{- 1}{4}} \right) + \left( {\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}} \right)} \right\rbrack.\dfrac{11}{5}} \\ {= \left( {\dfrac{- 4}{4} + \dfrac{3}{3}} \right).\dfrac{11}{5}} \\ {= \left( {- 1 + 1} \right).\dfrac{11}{5}} \\ {= 0.\dfrac{11}{5} = 0} \end{array}$

b) $\dfrac{27^{10}.16^{25}}{6^{30}.32^{15}}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{{\left(3^3\right)}^{10}\mathrm{.}{\left(2^4\right)}^{25}}{(2.3{)}^{30}\mathrm{.}{\left(2^5\right)}^{15}}}={\displaystyle \frac{3^{3.10}{.2}^{4.25}}{2^{30}{.3}^{30}{.2}^{5.15}}}\\ ={\displaystyle \frac{3^{30}{.2}^{100}}{2^{30}{.3}^{30}{.2}^{75}}}={\displaystyle \frac{2^{100}}{2^{30+75}}}\\ ={\displaystyle \frac{2^{100}}{2^{105}}}={\displaystyle \frac{1}{2^5}}={\displaystyle \frac{1}{32}}\end{array}$$\begin{array}{l} {= \dfrac{\left( 3^{3} \right)^{10}.\left( 2^{4} \right)^{25}}{(2.3)^{30}.\left( 2^{5} \right)^{15}} = \dfrac{3^{3.10}.2^{4.25}}{2^{30}.3^{30}.2^{5.15}}} \\ {= \dfrac{3^{30}.2^{100}}{2^{30}.3^{30}.2^{75}} = \dfrac{2^{100}}{2^{30 + 75}}} \\ {= \dfrac{2^{100}}{2^{105}} = \dfrac{1}{2^{5}} = \dfrac{1}{32}} \end{array}$

c) $\sqrt{144} + \sqrt{49} - 25\sqrt{\dfrac{4}{25}}$

$\begin{array}{l}=12+7-25.{\displaystyle \frac{2}{5}}\\ =19-10\\ =9\end{array}$$\begin{array}{l} {= 12 + 7 - 25.\dfrac{2}{5}} \\ {= 19 - 10} \\ {= 9} \end{array}$

a) Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ, vận dụng quy tắc chuyển vế tìm $x$

b) Giải $\left\lbrack {A(x)} \right\rbrack^{2} = a^{2} = \left( {- a} \right)^{2}$

Trường hợp 1: $A(x) = a$

Trường hợp 2: $A(x) = - a$

c) Vận dụng kiến thức căn bậc hai số học của số thực, tìm $x$

d) $|x| = a$

Trường hợp $a < 0$, khi đó phương trình không có nghiệm $x$

Trường hợp $a > 0$, vận dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của một số thực: $|x| =$$\left\{ \begin{array}{l} {x\,\,\,\,\,\, khi\,\,\, x > 0} \\ {- x\,\,\, khi\,\, x < 0} \\ {0\,\,\,\,\,\,\, khi\,\,\, x = 0} \end{array} \right.$

a) $\left( {- 1\dfrac{1}{2}} \right) + \left( {\dfrac{4}{5} + x} \right) = 0,5$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{-3}{2}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}+x={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{1}{2}}-\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{4}{5}}\\ x={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}\\ x={\displaystyle \frac{4}{2}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}\\ x=2-{\displaystyle \frac{4}{5}}\\ x={\displaystyle \frac{10}{5}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}\\ x={\displaystyle \frac{6}{5}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{- 3}{2} + \dfrac{4}{5} + x = \dfrac{1}{2}} \\ {x = \dfrac{1}{2} - \left( {- \dfrac{3}{2}} \right) - \dfrac{4}{5}} \\ {x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{5}} \\ {x = \dfrac{4}{2} - \dfrac{4}{5}} \\ {x = 2 - \dfrac{4}{5}} \\ {x = \dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5}} \\ {x = \dfrac{6}{5}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{6}{5}$

b) $\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)^{2} = \dfrac{1}{9}$

$\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)^{2} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} = \left( {- \dfrac{1}{3}} \right)^{2}$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ x={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ x={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$\begin{array}{l} {x - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}} \\ {x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}} \\ {x = \dfrac{2}{3}} \end{array}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ x={\displaystyle \frac{-1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ x=0\end{array}$$\begin{array}{l} {x - \dfrac{1}{3} = - \dfrac{1}{3}} \\ {x = \dfrac{- 1}{3} + \dfrac{1}{3}} \\ {x = 0} \end{array}$

Vậy $x \in \left\{ {\dfrac{2}{3};0} \right\}$

c) $5.\sqrt{x} - \sqrt{\dfrac{1}{25}} = 0$

$\begin{array}{l}5.\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{5}}=0\\ 5.\sqrt{x}={\displaystyle \frac{1}{5}}\\ \sqrt{x}={\displaystyle \frac{1}{5}}:5={\displaystyle \frac{1}{5}}\mathrm{.}{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{1}{25}}\end{array}$$\begin{array}{l} {5.\sqrt{x} - \dfrac{1}{5} = 0} \\ {5.\sqrt{x} = \dfrac{1}{5}} \\ {\sqrt{x} = \dfrac{1}{5}:5 = \dfrac{1}{5}.\dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{25}} \end{array}$

$\begin{array}{l}\sqrt{x}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{25}}\right)}^2}\\ x={\displaystyle \frac{1}{625}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\sqrt{x} = \sqrt{\left( \dfrac{1}{25} \right)^{2}}} \\ {x = \dfrac{1}{625}} \end{array}$

Vậy $x = \dfrac{1}{625}$

- Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

+ Hai góc so le trong bằng nhau;

+ Hai góc đồng vị bằng nhau.

Vì $m\,//\, n$ nên $\widehat{B_{1}} = \widehat{mAB} = 80^{o}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{B_{1}} + \widehat{B_{2}} = 180^{o}$ (hai góc kề bù)

$\widehat{B_{2}} = 180^{o} - \widehat{B_{1}} = 180^{o} - 80^{o} = 100^{o}$

Mà $\widehat{B_{3}} = \widehat{B_{1}}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat{B_{3}} = 80^{o}$

Tương tự $\widehat{B_{4}} = \widehat{B_{2}} = 100^{o}.$

- Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

+ Hai góc so le trong bằng nhau;

+ Hai góc đồng vị bằng nhau.

- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: Nếu đường thẳng c cắt đường thẳng phân biệt ab, và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng hai thì a và b song song với nhau.

a) Ta có $\widehat{xBA} = 48^{o},\,\widehat{BCD} = 48^{o}\,\left( {gt} \right)$

$\widehat{xBA} = \widehat{BCD}\,\left( {= 48^{o}} \right)$

Mà hai góc trên ở vị trí đồng vị

Nên $AB\,//\, CD\,\left( {dhnb} \right)$

b) Vì $AB\,//\, CD\,\left( {cmt} \right)$ nên $\widehat{yAB} = \widehat{ADC}$ (hai góc đồng vị)

Ta lại có:

$\widehat{yAB} + \widehat{BAD} = 180^{o}$ (hai góc kề bù)

$\widehat{yAB} + 135^{o} = 180^{o}$

$\widehat{yAB} = 180^{o} - 135^{o} = 45^{o}$

Suy ra $\widehat{ADC} = \widehat{yAB} = 45^{o}.$

Đánh giá biểu thức $\left. A \leq k\left( {k \in {\mathbb{R}}} \right)\Rightarrow MaxA = k \right.$

Chú ý: Bình phương 1 số luôn lớn hơn hoặc bằng 0

Ta có: $x^{2} \geq 0$ với mọi số thực $x$ nên $x^{2} + 36 \geq 36$ với mọi số thực $x$.

Suy ra $\sqrt{x^{2} + 49} \geq \sqrt{49} = 7$ với mọi số thực $x$.

Do đó, $- \sqrt{x^{2} + 49} \leq - 7$ với mọi số thực $x$.

Suy ra $A = - \sqrt{x^{2} + 49} + 2023 \leq - 7 + 2023 = 2016$ hay $A \leq 2016$ với mọi số thực $x$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = 0$ nên $x = 0$.

Vậy $MaxA = 2016$ khi $x = 0$.