Đề thi học kì 1 Toán 6 - Đề số 9

“không vượt quá” tức là “nhỏ hơn hoặc bằng”.

Viết tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp hoặc chỉ ra tính chất đặc trưng của phần tử.

$A =${$x$ |$x$ là số tự nhiên, $x \leq 6$}.

Sử dụng kiến thức thứ tự trong tập hợp số nguyên.

Ta có: $- 13 < - 2 < 0 < 1 < 3 < 5$

Nên chọn $\left\{ {- 13; - 2;0;1;3;5} \right\}$

Sử dụng phương pháp tìm bội chung nhỏ nhất của hai số:

- Chọn các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng;

- Với mỗi thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn luỹ thừa với số mũ lớn nhất;

- Lấy tích của các luỹ thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất.

BCNN của $2^{3}.3.5$ và $2.3^{2}.5$ là: $2^{3}.3^{2}.5 = 360.$

Tìm các giá trị của x thoả mãn $- 10 \leq x < 11$.

Tính tổng bằng cách nhóm các cặp số đối nhau.

Ta có: $- 10 \leq x < 11$ suy ra $x \in \left\{ {- 10; - 9; - 8;...;8;9;10} \right\}$

$\left( {- 10} \right) + \left( {- 9} \right) + \left( {- 8} \right) + ... + 8 + 9 + 10 = \left\lbrack {\left( {- 10} \right) + 10} \right\rbrack + \left\lbrack {\left( {- 9} \right) + 9} \right\rbrack + ... = 0$

Số liền trước của 21 là 20.

Tìm $x$ để $32 - x = 20$.

Ta có: Số liền trước của 21 là 20.

$32 - x = 20$

$x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 32 - 20$

$x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 12$

Quan sát và nhận dạng hình thang cân.

Hình thang cân có hai góc ở đáy bằng nhau, hai cạnh bên bằng nhau.

Diện tích hình thoi bằng tích hai đường chéo chia 2.

Diện tích hình thoi là $\dfrac{1}{2}.6.8 = 24\, cm^{2}$.

Quan sát dựa vào hình có trục đối xứng.

Hình (1): hình bình hành không có trục đối xứng.

Thực hiện các phép tính theo đúng thứ tự.

Sử dụng các tính chất của phép cộng, phép nhân để tính hợp lí.

a) $\left( {- 17} \right) + 54 + 17 = \left\lbrack {\left( {- 17} \right) + 17} \right\rbrack + 54 = 0 + 54 = 54$.

b) $5^{10}:5^{8} + 60:12 + \left( {- 10} \right) = 5^{2} + 5 + \left( {- 10} \right) = 25 + 5 + \left( {- 10} \right) = 30 + \left( {- 10} \right) = 20.$

c) $\left\{ {240 - \left\lbrack {76 - \left( {9 - 3} \right)^{2}} \right\rbrack} \right\}:50$

$= \left\{ {240 - \left\lbrack {76 - 6^{2}} \right\rbrack} \right\}:50$

$= \left\{ {240 - \left\lbrack {76 - 36} \right\rbrack} \right\}:50$

$= \left\{ {240 - 40} \right\}:50$

$= 200:50 = 4$

a) Sử dụng quy tắc chuyển vế.

b) Chuyển $- 5$ sang vế phải; tìm $x + 3$; giải tìm x như phần a.

a) $x - 17 = - 15$

$\,\,\,\,\,\, x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 15 + 17$

$\,\,\,\,\,\, x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2$

b) $\left( {x + 3} \right).20 - 5 = 75$

$\,\,\,\,\,\,\left( {x + 3} \right).20\,\,\,\,\,\,\, = 75 + 5$

$\,\,\,\,\,\,\left( {x + 3} \right).20\,\,\,\,\,\,\, = 80$

$\,\,\,\,\,\,\,\, x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 80:20$

$\,\,\,\,\,\,\,\, x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4$

$\,\,\,\,\,\,\,\, x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4 - 3$

$\,\,\,\,\,\,\,\, x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1$

Số cây mỗi bạn trồng được là ước chung lớn hơn 2 của 132 và 135.

Giải bài toán tìm ước chung.

Đưa ra lời giải cho bài toán.

a) Gọi số cây mỗi bạn của hai lớp trồng được là $x,\,\,\left( {x \in {\mathbb{N}}*} \right)$.

Mỗi bạn trong cả hai lớp đều trồng được một số cây như nhau nên ta có $x$ thuộc ước chung của 132 và 135.

$132 = 2^{2}.3.11;\,\, 135 = 3^{3}.5$

ƯCLN (132; 135) = 3.

Suy ra ƯC (132;135) = {1;3}

Mà $x > 2$

Nên $x = 3$.

Vậy số cây mỗi bạn của hai lớp trồng được là 3.

b) Số học sinh của lớp 6A là: $132:3 = 44$(học sinh).

Số học sinh của lớp 6B là: $135:3 = 45$(học sinh).

a) Tính độ dài đáy QP bằng 3 lần độ dài đáy MN.

b) Diện tích hình thang tính bằng công thức: (đáy lớn + đáy nhỏ) . chiều cao : 2

c) Chu vi hình thang bằng tổng độ dài các cạnh.

a) Độ dài đáy PQ là: $3.4 = 12$ cm.

b) Diện tích hình thang MNPQ là: $(4 + 12).3:2 = 24\,\, cm^{2}$.

c) Ta có MNPQ là hình thang cân nên độ dài hai cạnh bên NP và MQ là bằng nhau.

Suy ra độ dài cạnh MQ bằng 5 cm.

Chu vi hình thang MNPQ là: $5 + 4 + 12 + 5 = 26$ cm.

Sử dụng phương pháp quy nạp.

Sử dụng:

$\begin{array}{l}{\left(k+1\right)}^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1\\ {\left(k+1\right)}^3=k^3+3k^2+3k+1\\ {\left(k+1\right)}^2=k^2+2k+1\end{array}$$\begin{array}{l} {\left( {k + 1} \right)^{4} = k^{4} + 4k^{3} + 6k^{2} + 4k + 1} \\ {\left( {k + 1} \right)^{3} = k^{3} + 3k^{2} + 3k + 1} \\ {\left( {k + 1} \right)^{2} = k^{2} + 2k + 1} \end{array}$

Ta có: $3n^{4} - 14n^{3} + 21n^{2} - 10n\,\, \vdots \,\, 24\,\,\,(1)\,\,\,$

+) Với $n = 1$ ta có: $3 - 14 + 21 - 10 = 0\,\, \vdots \,\, 24$ (đúng)

+) Giả sử $(1)$ đúng với $n = k,\,\,\, k \geq 1$ nghĩa là:$3k^{4} - 14k^{3} + 21k^{2} - 10k \vdots 24$ $(2)$ (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh $(1)$ đúng vói $n = k + 1$ nghĩa là:$3\left( {k + 1} \right)^{4} - 14\left( {k + 1} \right)^{3} + 21\left( {k + 1} \right)^{2} - 10\left( {k + 1} \right) \vdots 24$

$\begin{array}{l}3{\left(k+1\right)}^4-14{\left(k+1\right)}^3+21{\left(k+1\right)}^2-10\left(k+1\right)\\ =3\left(k^4+4k^3+6k^2+4k+1\right)-14\left(k^3+3k^2+3k+1\right)+21\left(k^2+2k+1\right)-10\left(k+1\right)\\ =3k^4+12k^3+18k^2+12k+3-14k^3-42k^2-42k-14+21k^2+42k+21-10k-10\\ =\left(3k^4-14k^3+21k^2-10k\right)+\left(12k^3+18k^2+12k+3-42k^2-42k-14+42k+21-10\right)\\ =\left(3k^4-14k^3+21k^2-10k\right)+\left(12k^3-24k^2+12k\right)\\ =\left(3k^4-14k^3+21k^2-10k\right)+12k\left(k^2-2k+1\right)\\ =\left(3k^4-14k^3+21k^2-10k\right)+12k\left(k-1\right)\left(k-1\right)\end{array}$$\begin{array}{l} {\,\,\,\,\, 3\left( {k + 1} \right)^{4} - 14\left( {k + 1} \right)^{3} + 21\left( {k + 1} \right)^{2} - 10\left( {k + 1} \right)} \\ {= 3\left( {k^{4} + 4k^{3} + 6k^{2} + 4k + 1} \right) - 14\left( {k^{3} + 3k^{2} + 3k + 1} \right) + 21\left( {k^{2} + 2k + 1} \right) - 10\left( {k + 1} \right)} \\ {= 3k^{4} + 12k^{3} + 18k^{2} + 12k + 3 - 14k^{3} - 42k^{2} - 42k - 14 + 21k^{2} + 42k + 21 - 10k - 10} \\ {= \left( {3k^{4} - 14k^{3} + 21k^{2} - 10k} \right) + \left( {12k^{3} + 18k^{2} + 12k + 3 - 42k^{2} - 42k - 14 + 42k + 21 - 10} \right)} \\ {= \left( {3k^{4} - 14k^{3} + 21k^{2} - 10k} \right) + \left( {12k^{3} - 24k^{2} + 12k} \right)} \\ {= \left( {3k^{4} - 14k^{3} + 21k^{2} - 10k} \right) + 12k\left( {k^{2} - 2k + 1} \right)} \\ {= \left( {3k^{4} - 14k^{3} + 21k^{2} - 10k} \right) + 12k\left( {k - 1} \right)\left( {k - 1} \right)} \end{array}$

Vì $\left( {3.k^{4} - 14k^{3} + 21k^{2} - 10k} \right)\,\, \vdots \,\, 24$ theo $(2)$

Vì $\left. k\left( {k - 1} \right)\,\, \vdots \,\, 2\Rightarrow 12k\left( {k - 1} \right)\left( {k - 1} \right)\,\, \vdots \,\, 24. \right.$

$\left. \Rightarrow\left( {3.k^{4} - 14k^{3} + 21k^{2} - 10k} \right) + 12k\left( {k - 1} \right)\left( {k - 1} \right)\,\, \vdots \,\, 24 \right.$

$\left. \Rightarrow(1) \right.$ đúng với $n = k + 1$

Vậy $3n^{4} - 14n^{3} + 21n^{2} - 10n\,\, \vdots \,\, 24\,\,\,\forall n \geq 1$ (đpcm).