Đề cuối kì 1 Toán 10 năm 2025 – 2026 trường THPT Trần Cao Vân – Khánh Hòa

Thay tọa độ điểm E(-1; 3) vào từng hệ bất phương trình. Hệ nào thỏa mãn cả hai bất phương trình thì E thuộc miền nghiệm của hệ đó.

Thay x = -1, y = 3 vào các hệ: Với hệ A:

-1 - 3 = -4 < 0 (đúng).

$2( - 1) + 3 - 1 = 0 \geq 0$ (đúng).

Do đó, điểm E(-1; 3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình ở đáp án A.

Sử dụng các định nghĩa và tính chất cơ bản về vectơ: độ dài của vectơ-không, tính chất cùng phương của vectơ-không, điều kiện hai vectơ bằng nhau, và định nghĩa vectơ.

Mệnh đề P, Q, S đúng (theo định nghĩa).

Mệnh đề R sai vì hai vectơ cùng phương và cùng độ dài chỉ bằng nhau khi chúng cùng hướng.

Sử dụng công thức giá trị lượng giác của hai góc bù nhau: $\sin(180^{o} - \alpha) = \sin\alpha$.

Theo tính chất của hai góc bù nhau, với mọi góc $\alpha$ ($0^{o} \leq \alpha \leq 180^{o}$) ta luôn có $\sin(180^{o} - \alpha) = \sin\alpha$.

Sử dụng định nghĩa khoảng biến thiên: Khoảng biến thiên R là hiệu giữa giá trị lớn nhất $x_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất $x_{\min}$ của mẫu số liệu.

Công thức xác định khoảng biến thiên là $R = x_{\max} - x_{\min}$.

Sử dụng định nghĩa khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị $\Delta_{Q}$ là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ và tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$.

Công thức xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$.

Áp dụng định nghĩa mối quan hệ về phương và hướng của hai vectơ: Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Mệnh đề B sai vì hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng, không bắt buộc phải cùng hướng.

Thực hiện các phép toán giao, hợp, hiệu, phần bù trên tập hợp và kiểm tra ký hiệu tập hợp rỗng.

Tập hợp giao của A và B không có phần tử nào chung, do đó $A \cap B = \varnothing$.

Khẳng định D viết $A \cap B = 0$ (dùng số 0 thay cho tập rỗng $\varnothing$) là cách ghi sai ký hiệu toán học.

Sai số tương đối $\delta_{a}$ được tính theo công thức $\delta_{a} = \dfrac{d}{|a|}$, trong đó a là số gần đúng và d là độ chính xác.

Ta có a = 180,57 và d = 6.

Sai số tương đối là: $\delta = \dfrac{6}{180,57} \approx 0,03323 = 3,32\%$.

Vì độ chính xác d = 0,01 đến hàng phần trăm, ta quy tròn số a đến hàng phần mười.

Hàng của độ chính xác d = 0,01 là hàng phần trăm. Do đó, ta quy tròn a = 12,4567 đến hàng phần mười.

Chữ số sau hàng phần mười là 5 nên ta tăng chữ số hàng phần mười lên 1 đơn vị: $12,4567 \approx 12,5$.

Phủ định của mệnh đề dạng "$\exists x \in X,P(x)$” là "$\forall x \in X,\overline{P(x)}$".

Phủ định của bất đẳng thức < là $\geq$

$\overline{P}$: "$\forall x \in R,x^{2} - 3x + 2 \geq 0$".

Thay tọa độ điểm A(4; 1) vào từng bất phương trình, bất phương trình nào cho khẳng định đúng thì A là nghiệm.

Thay x = 4, y = 1 vào các đáp án:

Với A: 2.4 + 3.1 = 11 < 11 (sai).

Với B: 3.4 – 5.1 = 7 > 7 (sai).

Với C: $2.4 - 3.1 + 1 = 6 \leq 0$ (sai).

Với D: $3.4 - 5.1 = 7 \leq 7$ (đúng).

Quan sát phần hình vẽ gạch sọc biểu diễn các phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B.

Phần gạch sọc là phần giao nhau giữa hai tập hợp A và B, biểu diễn tập hợp $A\cap B$.

Tính khoảng biến thiên $R = x_{\max} - x_{\min}$.Tính số trung bình $\overline{x}$, phương sai $s^{2}$ và độ lệch chuẩn s của hai mẫu số liệu.So sánh độ lệch chuẩn/phương sai để đánh giá độ ổn định.

Mẫu số liệu Việt Nam (n = 12): 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6.

$\left. x_{\max} = 6,x_{\min} = 1\Rightarrow R_{\text{VN}} = 6 - 1 = 5 \right.$.

Số bàn thắng trung bình: ${\overline{x}}_{\text{VN}} = \dfrac{1 + 2.4 + 3.4 + 4 + 5 + 6}{12} = 3$.

Phương sai $s_{\text{VN}}^{2} = \dfrac{{(1 - 3)}^{2} + 4{(2 - 3)}^{2} + 4{(3 - 3)}^{2} + {(4 - 3)}^{2} + {(5 - 3)}^{2} + {(6 - 3)}^{2}}{12} \approx 1,833$.

Độ lệch chuẩn $s_{\text{VN}} = \sqrt{1,833} \approx 1,354$.

Mẫu số liệu Thái Lan (n = 12): 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 8.

Số bàn thắng trung bình: ${\overline{x}}_{\text{TL}} = \dfrac{0 + 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8}{12} = 3$.

Phương sai $s_{\text{TL}}^{2} = \dfrac{2\left( {0 - 3} \right)^{2} + 2\left( {1 - 3} \right)^{2} + \left( {2 - 3} \right)^{2} + 3\left( {3 - 3} \right)^{2} + \left( {4 - 3} \right)^{2} + \left( {5 - 3} \right)^{2} + \left( {6 - 3} \right)^{2} + \left( {8 - 3} \right)^{2}}{12} = 5,5$.

Độ lệch chuẩn $s_{\text{TL}} = \sqrt{5,5} \approx 2,345$.

a) Đúng. Khoảng biến thiên $R_{\text{VN}} = 6 - 1 = 5$.

b) Sai. Đội tuyển Việt Nam có độ lệch chuẩn nhỏ hơn nên khả năng ghi bàn ổn định hơn đội tuyển Thái Lan.

c) Sai. Cả hai đội tuyển đều có số bàn thắng trung bình bằng 3.

d) Sai. Xét mẫu số liệu về số bàn thắng của đội tuyển Việt Nam có độ lệch chuẩn là 1,354; phương sai là 1,83.

a) Dùng quy tắc hình bình hành cho phép cộng vectơ.

b) Sử dụng định nghĩa hai vecto bằng nhau: cùng hướng và cùng độ dài.

c) Phân tích vectơ $\overset{\rightarrow}{EF}$ theo hai vectơ không cùng phương $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{AD}$.

d) Tính tích vô hướng bằng biểu thức tọa độ.

a) Đúng. Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} = \overset{\rightarrow}{AC}$. Do O là trung điểm AC nên $\overset{\rightarrow}{AC} = 2\overset{\rightarrow}{AO}$. Do đó $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} = 2\overset{\rightarrow}{AO}$.

b) Sai. Ta có $\overset{\rightarrow}{BC}$ và $\overset{\rightarrow}{DA}$ là hai vectơ ngược hướng nhau. Do đó $\overset{\rightarrow}{BC} = \overset{\rightarrow}{DA}$ là sai.

c) Đúng. Chọn hệ trục tọa độ Axy sao cho A(0; 0), B(a; 0), D(0; 2a), C(a; 2a).

Khi đó O là trung điểm $\left. AC\Rightarrow O\left( {\dfrac{a}{2};a} \right) \right.$, E là trung điểm $\left. AD\Rightarrow E(0;a) \right.$.

F là trung điểm $\left. BO\Rightarrow F\left( {\dfrac{\dfrac{a}{2} + a}{2};\dfrac{a + 0}{2}} \right) = F\left( {\dfrac{3a}{4};\dfrac{a}{2}} \right) \right.$.

Suy ra $\overset{\rightarrow}{EF} = \left( {\dfrac{3a}{4} - 0;\dfrac{a}{2} - a} \right) = \left( {\dfrac{3}{4}a; - \dfrac{1}{2}a} \right) = \dfrac{3}{4}\overset{\rightarrow}{AB} - \dfrac{1}{4}\overset{\rightarrow}{AD}$.

d) Sai. Ta có $\overset{\rightarrow}{BE} = \overset{\rightarrow}{E} - \overset{\rightarrow}{B} = ( - a;a)$, $\overset{\rightarrow}{AC} = (a;2a)$.

Tích vô hướng $\overset{\rightarrow}{BE}.\overset{\rightarrow}{AC} = - a.a + a.2a = a^{2}$.

Sử dụng định lý sin trong các tam giác IKA và IKB để tính độ dài các cạnh IA và IB, sau đó khoảng cách giữa hai ghe thuyền là AB = IB - IA.

Xét tam giác IKA có $\widehat{IKA} = 45^{o}$, $\widehat{AIK} = 50^{o}$. Suy ra $\widehat{IAK} = 180^{o} - (50^{o} + 45^{o}) = 85^{o}$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác IKA: $\left. \dfrac{IA}{\sin\widehat{IKA}} = \dfrac{IK}{\sin\widehat{IAK}}\Rightarrow IA = \dfrac{300.\sin 45^{o}}{\sin 85^{o}} \approx 212,98 \right.$ (m).

Xét tam giác IKB:Có $\widehat{IKB} = 60^{o}$, $\widehat{BIK} = 50^{o}$. Suy ra $\widehat{IBK} = 180^{o} - (50^{o} + 60^{o}) = 70^{o}$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác IKB: $\left. \dfrac{IB}{\sin\widehat{IKB}} = \dfrac{IK}{\sin\widehat{IBK}}\Rightarrow IB = \dfrac{300.\sin 60^{o}}{\sin 70^{o}} \approx 276,48 \right.$ (m).

Khoảng cách giữa hai ghe thuyền A và B là: $AB = IB - IA = 276,48 - 212,9 \approx 64$ (m).

Sử dụng quy tắc hình bình hành $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} = \overset{\rightarrow}{AC}$, từ đó biến đổi biểu thức vectơ về một vectơ duy nhất và tính độ dài.

Vì ABCD là hình vuông nên $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} = \overset{\rightarrow}{AC}$.

Khi đó: $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{AD} = (\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD}) + \overset{\rightarrow}{AC} = \overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{AC} = 2\overset{\rightarrow}{AC}$.

Độ dài đường chéo hình vuông cạnh $a = 3\sqrt{2}$ là: $AC = a\sqrt{2} = (3\sqrt{2})\sqrt{2} = 6$.

Suy ra $\left| {\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{AD}} \right| = \left| {2\overset{\rightarrow}{AC}} \right| = 2AC = 2.6 = 12$.

Sử dụng công thức tọa độ trung điểm $x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2}$, $y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2}$, sau đó tính tổng x + y.

Tọa độ trung điểm I(x; y) của AB là: $x = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$, $y = \dfrac{- 5 + 1}{2} = - 2$.

Do đó x + y = 3 + (-2) = 1.

Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ: $\cos(\overset{\rightarrow}{a},\overset{\rightarrow}{b}) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b}}{\left| \overset{\rightarrow}{a} \middle| . \middle| \overset{\rightarrow}{b} \right|} = \dfrac{x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}.\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$.

Ta có: $\left. \overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b} = 2.3 + 1.( - 6) = 0\Rightarrow\cos(\overset{\rightarrow}{a},\overset{\rightarrow}{b}) = 0 \right.$.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm. Vì số giá trị n = 11 là số lẻ, trung vị $M_{e}$ chính là giá trị ở vị trí thứ $\dfrac{n + 1}{2} = 6$.

Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 3; 4; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 8; 9; 10.

Số giá trị là n = 11, do đó giá trị thứ 6 là trung vị. Vậy $M_{e} = 7$.

a) ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{DC}$.

b) H là trực tâm tam giác ABC khi $\overset{\rightarrow}{AH}\bot\overset{\rightarrow}{BC}$ và $\overset{\rightarrow}{BH}\bot\overset{\rightarrow}{AC}$, tương ứng với hệ điều kiện tích vô hướng $\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{AH}.\overset{\rightarrow}{BC} = 0} \\ {\overset{\rightarrow}{BH}.\overset{\rightarrow}{AC} = 0} \end{array} \right.$.

a) Gọi D(x; y).

Ta có: $\overset{\rightarrow}{AB} = (4 - 1;5 - 2) = (3;3)$ và $\overset{\rightarrow}{DC} = (7 - x;4 - y)$.

Vì ABCD là hình bình hành nên $\left. \overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{DC}\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {3 = 7 - x} \\ {3 = 4 - y} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x = 4} \\ {y = 1} \end{array} \right.$ \right..

Vậy D(4; 1) thì ABCD là hình bình hành.

b) Gọi H(x; y). Ta có: $\overset{\rightarrow}{AH} = (x - 1;y - 2)$, $\overset{\rightarrow}{BC} = (3; - 1)$, $\overset{\rightarrow}{BH} = (x - 4;y - 5)$, $\overset{\rightarrow}{AC} = (6;2)$.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên: $\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{AH}\bot\overset{\rightarrow}{BC}} \\ {\overset{\rightarrow}{BH}\bot\overset{\rightarrow}{AC}} \end{array} \right.$ $\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{AH}.\overset{\rightarrow}{BC} = 0} \\ {\overset{\rightarrow}{BH}.\overset{\rightarrow}{AC} = 0} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {3(x - 1) - 1(y - 2) = 0} \\ {6(x - 4) + 2(y - 5) = 0} \end{array} \right.$ \right. $\left. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {x = 3} \\ {y = 8} \end{array} \right.$ \right..

Vậy H(3; 8) là trực tâm của tam giác ABC.

Dựng điểm F sao cho ABFC là hình bình hành, khi đó hợp lực $\overset{\rightarrow}{F} = \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} = \overset{\rightarrow}{AF}$. Tính độ lớn cạnh AF bằng cách sử dụng định lý cosin trong tam giác ABF.

Vẽ điểm F thỏa mãn ABFC là hình bình hành.

Khi đó hợp lực: $\overset{\rightarrow}{F} = \overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}} = \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} = \overset{\rightarrow}{AF}$.

Vì ABFC là hình bình hành và $\widehat{BAC} = 120^{o}$ nên góc $\widehat{ABF} = 180^{o} - 120^{o} = 60^{o}$.

Độ dài $AB = \left| \overset{\rightarrow}{F_{1}} \right| = \sqrt{5}$ và $BF = AC = \left| \overset{\rightarrow}{F_{2}} \right| = 2\sqrt{2}$.

Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABF ta có:

$AF^{2} = AB^{2} + BF^{2} - 2.AB.BF.\cos\widehat{ABF}$

$= {(\sqrt{5})}^{2} + {(2\sqrt{2})}^{2} - 2.\sqrt{5}.2\sqrt{2}.\cos 60^{o} = 13 - 2\sqrt{10}$.

$\left. \Rightarrow AF = \sqrt{13 - 2\sqrt{10}} \approx 2,58 \right.$ (N).

Vậy độ lớn của hợp lực $\overset{\rightarrow}{F}$ là khoảng 2,58 N.