Đề thi học kì 1 Toán 10 năm 2025 - 2026 trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam

Phủ định của mệnh đề chứa dấu “=” là mệnh đề chứa dấu “$\neq$”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề "1985 + 40 = 2025" là "$1985 + 40 \neq 2025$".

Tập hợp $A\backslash B = \left\{ x \in A \middle| x \notin B \right\}$. Biểu diễn các tập hợp trên trục số để tìm hiệu.

Ta có A = [-3; 4) và $B = ( - 1; + \infty)$.

Các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B là các số thực x thỏa mãn $- 3 \leq x \leq - 1$.

Vậy $A\backslash B = \lbrack - 3; - 1\rbrack$.

Thay tọa độ từng điểm vào bất phương trình $19x - 12y \geq 25$, điểm nào làm bất phương trình sai thì miền nghiệm không chứa điểm đó.

Thay (2; 0) vào bất phương trình: $19.2 - 12.0 = 38 \geq 25$ (đúng).

Thay (-1; -4) vào bất phương trình: $19.( - 1) - 12.( - 4) = 29 \geq 25$ (đúng).

Thay (0; -2) vào bất phương trình: $19.0 - 12.( - 2) = 24 \geq 25$ (sai).

Thay (1; -1) vào bất phương trình: $19.1 - 12.( - 1) = 31 \geq 25$ (đúng).

Do đó, miền nghiệm không chứa điểm (0; -2).

Sử dụng công thức hai góc phụ nhau: $\tan(90^{o} - \alpha) = \cot\alpha$ và $\tan\alpha.\cot\alpha = 1$.

Với $0^{o} < \alpha < 90^{o}$, ta có $\tan(90^{o} - \alpha) = \cot\alpha$.

Do đó $\tan\alpha.\tan(90^{o} - \alpha) = \tan\alpha.\cot\alpha = 1$.

Vận dụng định nghĩa hai vectơ cùng hướng và khái niệm tia trong hình học.

Tập hợp các điểm M sao cho $\overset{\rightarrow}{AM}$ cùng hướng với $\overset{\rightarrow}{AB}$ chính là tia AB.

Dựa vào định nghĩa và tính chất cùng phương, cùng hướng, ngược hướng của các vectơ.

A đúng vì vectơ $\overset{\rightarrow}{0}$ cùng phương với mọi vectơ.

B đúng vì hai vectơ cùng ngược hướng với một vectơ thứ ba khác $\overset{\rightarrow}{0}$ thì cùng hướng với nhau.

C sai vì hai vectơ không cùng hướng có thể là không cùng phương (nằm trên hai đường thẳng cắt nhau), chứ không nhất thiết phải ngược hướng.

D đúng vì tính chất bắc cầu của quan hệ cùng phương giữa các vectơ khác $\overset{\rightarrow}{0}$.

Từ $\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{DC}$ suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành, rồi kiểm tra từng đẳng thức độ dài và đẳng thức vectơ.

Vì $\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{DC}$ nên đoạn AB song song và bằng đoạn DC, suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

Do ABCD là hình bình hành nên mệnh đề ở A, B, C đúng. Hai đường chéo AC và BD không bằng nhau và không cùng phương, nên $\overset{\rightarrow}{AC} = \overset{\rightarrow}{BD}$ là mệnh đề sai.

Sử dụng tính chất trung điểm đối với vectơ.

Theo định nghĩa và tính chất trung điểm của đoạn thẳng dưới dạng vectơ, I là trung điểm của AB khi và chỉ khi $\overset{\rightarrow}{IA} + \overset{\rightarrow}{IB} = \overset{\rightarrow}{0}$.

Sử dụng biểu thức tọa độ các phép toán vectơ.

Ta có $2\overset{\rightarrow}{v} = 2( - 1;3) = ( - 2;6)$.

Suy ra $\overset{\rightarrow}{u} - 2\overset{\rightarrow}{v} = (4 - ( - 2); - 2 - 6) = (6; - 8)$.

Số đo có dạng $a \pm d$ với d là độ chính xác của số đo.

Kết quả đo có dạng $a \pm d = 22^{o}\text{C} \pm 1^{o}\text{C}$, do đó độ chính xác của phép đo là $d = 1^{o}\text{C}$.

Nhớ lại khái niệm các số đặc trưng đo xu thế trung tâm và đo độ phân tán trong thống kê.

Mốt, số trung vị, số trung bình là các số đặc trưng đo xu hướng trung tâm. Khoảng tứ phân vị (cùng với khoảng biến thiên, phương sai, độ lệch chuẩn) là số đặc trưng đo độ phân tán.

Sắp xếp hai mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, tính trung vị và số trung bình của từng mẫu để so sánh.

Mẫu số liệu ban đầu gồm 5 số: 15, 19, 22, 24, 30.

Số trung bình ban đầu: ${\overline{x}}_{1} = \dfrac{15 + 19 + 22 + 24 + 30}{5} = \dfrac{110}{5} = 22$.

Trung vị ban đầu (giá trị ở vị trí thứ 3): $Me_{1} = 22$.

Bổ sung hai giá trị 20 và 23 vào mẫu số liệu, ta được mẫu gồm 7 số: 15, 19, 20, 22, 23, 24, 30.

Số trung bình mới: ${\overline{x}}_{2} = \dfrac{110 + 20 + 23}{7} = \dfrac{153}{7} \approx 21,86$.

Trung vị mới (giá trị ở vị trí thứ 4): $Me_{2} = 22$.

Như vậy, trung vị không thay đổi còn số trung bình thay đổi.

Thực hiện các phép toán hợp, giao, hiệu và phần bù của các tập hợp khoảng, đoạn trên trục số.

a) Sai. $A \cup B = \lbrack - 5;3)$.

b) Sai. $A \cap B = ( - 3;2\rbrack$.

c) Đúng. $A\backslash B = \left\{ x \in A \middle| x \notin B \right\} = \lbrack - 5; - 3\rbrack$.

d) Sai. $A \cup B = \lbrack - 5;3)$ $\Rightarrow C_{R}(A \cup B) = R\backslash\lbrack - 5;3) = ( - \infty; - 5) \cup \lbrack 3; + \infty)$.

a, b) Dùng định lý cosin trong tam giác ABC: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2AB.BC\cos B$ để tính AC.

c) Dùng định lý cosin tính $\cos A$ và $\cos C$.

d) Dùng định lý sin: $R = \dfrac{AC}{2\sin B}$ để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

a) Đúng. Ta có $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2AB.BC.\cos 60^{o}$ $= 10^{2} + 16^{2} - 2.10.16.\dfrac{1}{2} = 196$ $\left. \Rightarrow AC = 14 \right.$.

Theo định lý cosin: $\cos A = \dfrac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2AB.AC} = \dfrac{10^{2} + 14^{2} - 16^{2}}{2.10.14} = \dfrac{1}{7}$.

b) Đúng. $AC = \sqrt{196} = 14$.

c) Sai. Ta có $\cos B = \cos 60^{o} = \dfrac{1}{2}$, $\cos A = \dfrac{1}{7}$.

$\cos C = \dfrac{AC^{2} + BC^{2} - AB^{2}}{2AC.BC} = \dfrac{14^{2} + 16^{2} - 10^{2}}{2.14.16} = \dfrac{11}{14}$.

Vậy $T = 3.\left( \dfrac{1}{2} \right) - 2.\left( \dfrac{1}{7} \right) + \dfrac{11}{14} = 2$.

d) Đúng. Theo định lý sin: $R = \dfrac{AC}{2\sin B} = \dfrac{14}{2\sin 60^{o}} = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$.

Xác định mối quan hệ độ dài và hướng của các đoạn thẳng/vectơ trên đoạn BC. Sử dụng quy tắc ba điểm và phân tích vectơ $\overset{\rightarrow}{AI}$ theo $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{AC}$.

a) Sai. Vì I nằm trên cạnh BC (nằm giữa B và C) nên hai vectơ $\overset{\rightarrow}{IB}$ và $\overset{\rightarrow}{IC}$ ngược hướng.

b) Đúng. Ta có $\overset{\rightarrow}{IB}$ và $\overset{\rightarrow}{IC}$ ngược hướng, mặt khác BI = 4IC nên $\overset{\rightarrow}{IB} = - 4\overset{\rightarrow}{IC}$.

c) Sai. Ta có $\overset{\rightarrow}{AI} - \overset{\rightarrow}{CI} = \overset{\rightarrow}{AI} + \overset{\rightarrow}{IC} = \overset{\rightarrow}{AC}$.

d) Đúng. Từ $\overset{\rightarrow}{IB} = - 4\overset{\rightarrow}{IC}$ $\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{AI} = - 4(\overset{\rightarrow}{AC} - \overset{\rightarrow}{AI})$ $\left. \Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{AI} = - 4\overset{\rightarrow}{AC} + 4\overset{\rightarrow}{AI} \right.$ $\Leftrightarrow 5\overset{\rightarrow}{AI} = \overset{\rightarrow}{AB} + 4\overset{\rightarrow}{AC}$ $\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AI} = \dfrac{1}{5}\overset{\rightarrow}{AB} + \dfrac{4}{5}\overset{\rightarrow}{AC}$.

Tính tọa độ $\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BA},\overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{CB}$. Sử dụng tích vô hướng và tọa độ điểm D để kiểm tra góc giữa hai vectơ.

a) Sai. Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = (2 - 4; - 3 - 1) = ( - 2; - 4)$ $\Rightarrow 3\overset{\rightarrow}{AB} = ( - 6; - 12)$.

b) Đúng. Ta có $\overset{\rightarrow}{BA} = (2;4)$ và $\overset{\rightarrow}{BC} = (8 - 2;9 - ( - 3)) = (6;12)$.

Nhận thấy $\overset{\rightarrow}{BC} = 3\overset{\rightarrow}{BA}$ với 3 > 0, do đó $\overset{\rightarrow}{BA}$ cùng hướng với $\overset{\rightarrow}{BC}$.

c) Sai. Ta có $\overset{\rightarrow}{AC} = (8 - 4;9 - 1) = (4;8)$ và $\overset{\rightarrow}{CB} = (2 - 8; - 3 - 9) = ( - 6; - 12)$.

Tích vô hướng $\overset{\rightarrow}{AC}.\overset{\rightarrow}{CB} = 4.( - 6) + 8.( - 12) = - 120$.

d) Sai. Đặt D(x; y).

Ta có $\overset{\rightarrow}{OD} = (x;y)$, $\overset{\rightarrow}{DB} = (2 - x; - 3 - y)$, $\overset{\rightarrow}{DC} = (8 - x;9 - y)$.

Mà $30\overset{\rightarrow}{OD} + 19\overset{\rightarrow}{DB} - 3\overset{\rightarrow}{DC} = \overset{\rightarrow}{0}$, do đó: $\left\{ \begin{array}{l} \left. 30x + 19(2 - x) - 3(8 - x) = 0\Leftrightarrow x = - 1 \right. \\ \left. 30y + 19( - 3 - y) - 3(9 - y) = 0\Leftrightarrow y = 6 \right. \end{array} \right.$.

Suy ra D(-1; 6).

Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = ( - 2; - 4)$ và $\overset{\rightarrow}{BD} = ( - 1 - 2;6 - ( - 3)) = ( - 3;9)$.

Khi đó $\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{BD} = ( - 2)( - 3) + ( - 4).9 = - 30$.

$\left| \overset{\rightarrow}{AB} \right| = \sqrt{{( - 2)}^{2} + {( - 4)}^{2}} = 2\sqrt{5}$, $\left| \overset{\rightarrow}{BD} \right| = \sqrt{{( - 3)}^{2} + 9^{2}} = 3\sqrt{10}$.

$\cos(\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BD}) = \dfrac{- 30}{2\sqrt{5}.3\sqrt{10}} = - \dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $(\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BD}) = 135^{o}$.

Sử dụng công thức: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

Gọi A là tập hợp học sinh giỏi Toán, B là tập hợp học sinh giỏi Văn của lớp 10A.

Theo bài ra ta có: n(A) = 28, n(B) = 15, $n(A \cap B) = 7$.

Số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Toán và Văn là $n(A \cup B)$.

Ta có:$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 28 + 15 - 7 = 36$.

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

Gọi số gam thịt bò và số gam thịt lợn cần mua mỗi ngày lần lượt là x và y $(x,y \geq 0)$.

Từ giả thiết ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}0\le x\le 1600\\ 0\le y\le 1100\\ 80\mathrm{\%}x+60\mathrm{\%}y\ge 900\\ 20\mathrm{\%}x+40\mathrm{\%}y\ge 400\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {0 \leq x \leq 1600} \\ {0 \leq y \leq 1100} \\ {80\% x + 60\% y \geq 900} \\ {20\% x + 40\% y \geq 400} \end{array} \right.$ hay $\{\begin{array}{l}0\le x\le 16\\ 0\le y\le 11\\ 4x+3y\ge 45\\ x+2y\ge 20\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {0 \leq x \leq 16} \\ {0 \leq y \leq 11} \\ {4x + 3y \geq 45} \\ {x + 2y \geq 20} \end{array} \right.$.

Số tiền gia đình phải chi trả là F(x, y) = 4,5x + 3,5y (nghìn đồng).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền đa giác được tạo bởi các đỉnh: A(16; 2), B(16; 11), C(3; 11), D(6; 7).

Tính giá trị F(x, y) tại các đỉnh:

F(A) = F(16; 2) = 4,5. 16 + 3,5. 2 = 72 + 7 = 79.

F(B) = F(16; 11) = 4,5. 16 + 3,5. 11 = 72 + 38,5 = 110,5.

F(C) = F(3; 11) = 4,5. 3 + 3,5. 11 = 13,5 + 38,5 = 52.

F(D) = F(6; 7) = 4,5. 6 + 3,5. 7 = 27 + 24,5 = 51,5.

Giá trị nhỏ nhất của F(x, y) đạt tại D(6; 7) và bằng 51,5 nghìn đồng.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm. Tìm các tứ phân vị $Q_{1}$, $Q_{2},$$Q_{3}$ và khoảng tứ phân vị $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$. Giá trị x được gọi là giá trị bất thường nếu $x < Q_{1} - 1,5\Delta_{Q}$ hoặc $x > Q_{3} + 1,5\Delta_{Q}$.

Sắp xếp 10 giá trị theo thứ tự tăng dần:

22 24 37 38 38 43 47 48 48 70

Cỡ mẫu n = 10. Trung vị $Q_{2} = \dfrac{38 + 43}{2} = 40,5$.

Nửa số liệu bên trái: 22, 24, 37, 38, 38 $\left. \Rightarrow Q_{1} = 37 \right.$.

Nửa số liệu bên phải: 43, 47, 48, 48, 70 $\left. \Rightarrow Q_{3} = 48 \right.$.

Khoảng tứ phân vị: $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 48 - 37 = 11$.

Ta có: $Q_{1} - 1,5\Delta_{Q} = 37 - 1,5.11 = 20,5$, $Q_{3} + 1,5\Delta_{Q} = 48 + 1,5.11 = 64,5$.

Các giá trị bất thường là các giá trị nhỏ hơn 20,5 hoặc lớn hơn 64,5.

Trong mẫu số liệu, chỉ có giá trị 70 thỏa mãn 70 > 64,5.

Vậy mẫu số liệu có 1 giá trị bất thường.

Tính quãng đường máy bay đã bay được sau 15 phút (AC). Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC để tính khoảng cách còn lại đến Đà Nẵng (BC). Áp dụng định lý sin hoặc cosin trong tam giác ABC để tính góc $\widehat{ACB}$, từ đó tính góc chếch $\alpha = 180^{o} - \widehat{ACB}$.

Đổi 15 phút = 0,25 giờ.

Quãng đường máy bay bay trong 15 phút đầu tiên là: AC = 820.0,25 = 205 (km).

Xét tam giác ABC có AB = 605 km, AC = 205 km, $\widehat{BAC} = 10^{o}$.

Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2.AB.AC.\cos A$

$= 605^{2} + 205^{2} - 2.605.205.\cos 10^{o} \approx 163768,45$

$\left. \Rightarrow BC \approx \sqrt{163768,45} \approx 404,7 \right.$ (km).

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC:

$\left. \dfrac{AB}{\sin\widehat{ACB}} = \dfrac{BC}{\sin A}\Rightarrow\sin\widehat{ACB} = \dfrac{AB.\sin A}{BC} \approx \dfrac{605.\sin 10^{o}}{404,7} \approx 0,25959 \right.$.

Ta có $\sin\widehat{ACB} = \sin\alpha$ (hai góc bù nhau), mà $\alpha$ là góc nhọn nên $\alpha \approx \arcsin 0,25959 \approx 15^{o}$.

Xác định hàng quy tròn dựa vào độ chính xác d.

Độ chính xác d = 1945 nằm giữa 1000 và 10000. Do đó, hàng quy tròn của số a là hàng chục nghìn.

Quy tròn số a = 30041975 đến hàng chục nghìn, ta được 30040000.

Vậy m + n + p + q = 0 + 4 + 0 + 0 = 4.

Sử dụng tính chất đường trung tuyến và giao điểm trong tam giác ABC để thiết lập tỉ lệ vectơ $\overset{\rightarrow}{AN}$ và $\overset{\rightarrow}{AM}$. Tìm tọa độ điểm B hoặc sử dụng tỉ lệ trên đoạn BD để tìm tọa độ D.

Trong tam giác ABC, AM là đường trung tuyến. Đường thẳng BD đi qua đỉnh B và trung điểm O của AC. Do đó, N là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: $\left. x_{N} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}\Rightarrow 3 = \dfrac{3 + x_{B} + 5}{3}\Rightarrow x_{B} = 1 \right.$;

$\left. y_{N} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}\Rightarrow 2 = \dfrac{0 + y_{B} + 8}{3}\Rightarrow y_{B} = - 2 \right.$.

Suy ra B(1; -2). Vì ABCD là hình bình hành nên $\overset{\rightarrow}{AD} = \overset{\rightarrow}{BC}$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{BC} = (x_{C} - x_{B};y_{C} - y_{B}) = (5 - 1;8 - ( - 2)) = (4;10)$.

Do đó $\left. \overset{\rightarrow}{AD} = (4;10)\Rightarrow D(x_{A} + 4;y_{A} + 10) = (3 + 4;0 + 10) = (7;10) \right.$.

Suy ra a = 7, b = 10. Giá trị a – b = 7 – 10 = -3.