Đề thi học kì 1 Toán 10 năm 2025 - 2026 trường THPT Quế Sơn - Đà Nẵng

Mệnh đề là một câu khẳng định có tính đúng hoặc sai, không phải là câu nghi vấn, câu cảm thán hay câu cầu khiến.

Các phát biểu B, C, D lần lượt là câu nghi vấn, câu cảm thán và mệnh đề chứa biến. Phát biểu A là một câu khẳng định. Do đó A là mệnh đề.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát $ax + by \leq c$ (hoặc $\geq , < , >$), trong đó a, b không đồng thời bằng 0.

Bất phương trình $5x - 2y \geq 3$ có dạng bậc nhất hai ẩn x, y. Các bất phương trình còn lại chứa $y^{2}$ hoặc ẩn ở mẫu.

Với $90^{o} < \alpha < 180^{o}$ (góc tù), ta có $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha < 0$, $\tan\alpha < 0$, $\cot\alpha < 0$.

Dựa vào dấu các giá trị lượng giác của góc tù, khẳng định $\cos\alpha < 0$ là đúng.

Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau: $\sin(180^{o} - \alpha) = \sin\alpha$ và $\cos(180^{o} - \alpha) = - \cos\alpha$.

Theo công thức góc bù nhau, đẳng thức $\sin(180^{o} - \alpha) = \sin\alpha$ là đúng.

Dựa vào định nghĩa vectơ.

Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là $\overset{\rightarrow}{AB}$.

Liệt kê.

Các vectơ thỏa mãn gồm: $\overset{\rightarrow}{AB}$, $\overset{\rightarrow}{BA}$, $\overset{\rightarrow}{AC}$, $\overset{\rightarrow}{CA}$, $\overset{\rightarrow}{BC}$, $\overset{\rightarrow}{CB}$. Có tổng cộng 6 vectơ.

Dựa vào định nghĩa hai vectơ bằng nhau.

Do ABCD là hình thoi nên AB // CD và AB = CD, hai vectơ $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{DC}$ cùng hướng nên $\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{DC}$.

Áp dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng và phép trừ vectơ.

Ta có $\overset{\rightarrow}{BC} + \overset{\rightarrow}{CA} = \overset{\rightarrow}{BA}$ theo quy tắc ba điểm, do đó khẳng định $\overset{\rightarrow}{BC} + \overset{\rightarrow}{CA} = \overset{\rightarrow}{AB}$ là sai.

Nếu $\overset{\rightarrow}{a} = x\overset{\rightarrow}{i} + y\overset{\rightarrow}{j}$ thì tọa độ của vectơ $\overset{\rightarrow}{a}$ là (x; y).

Ta có $\overset{\rightarrow}{a} = 4\overset{\rightarrow}{j} - \overset{\rightarrow}{i} = - \overset{\rightarrow}{i} + 4\overset{\rightarrow}{j}$, nên tọa độ của $\overset{\rightarrow}{a}$ là (-1; 4).

Tọa độ của vectơ $k\overset{\rightarrow}{a} - m\overset{\rightarrow}{b}$ được tính theo công thức $(kx_{a} - mx_{b};ky_{a} - my_{b})$.

Hoành độ: $x_{c} = 2.1 - 5.3 = 2 - 15 = - 13$.

Tung độ: $y_{c} = 2.2 - 5.8 = 4 - 40 = - 36$.

Vậy $\overset{\rightarrow}{c} = ( - 13; - 36)$.

Công thức định nghĩa sai số tuyệt đối của số gần đúng a so với số đúng $\overline{a}$ là $\Delta_{a} = \left| {a - \overline{a}} \right|$.

Sai số tuyệt đối của số gần đúng a là $\Delta_{a} = \left| {a - \overline{a}} \right|$.

Vì độ chính xác d = 400 đến hàng trăm nên ta quy tròn số a đến hàng nghìn.

Làm tròn a đến hàng ngìn: 7142000.

Biểu diễn các tập hợp dưới dạng khoảng, đoạn và thực hiện các phép toán giao, hợp, kiểm tra phần tử thuộc tập hợp.

a) Sai. Vì A = [-2; 5) lấy các giá trị x < 5 nên $5 \notin A$.

b) Sai. Vì $B = \left\{ x \in R \middle| x > 2 \right\} = (2; + \infty)$.

c) Đúng. Ta có $A \cap B = \lbrack - 2;5) \cap (2; + \infty) = (2;5)$.

d) Đúng. Ta có $A \cup B = \lbrack - 2;5) \cup (2; + \infty) = \lbrack - 2; + \infty)$.

Sử dụng công thức tọa độ vectơ $\overset{\rightarrow}{MN} = (x_{N} - x_{M};y_{N} - y_{M})$, điều kiện hình bình hành $\overset{\rightarrow}{AD} = \overset{\rightarrow}{BC}$ và công thức tọa độ trung điểm.

a) Đúng. Ta có $\overset{\rightarrow}{BC} = (2 - ( - 4);2 - 1) = (6;1)$.

b) Sai. Ta có $\overset{\rightarrow}{AD} = (x_{0} - ( - 1);y_{0} - 5) = (x_{0} + 1;y_{0} - 5)$.

c) Đúng. Tứ giác ABCD là hình bình hành $\left. \Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{AD} = \overset{\rightarrow}{BC} \right.$ $\left. \Leftrightarrow(x_{0} + 1;y_{0} - 5) = (6;1) \right.$ $\left. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {x_{0} = 5} \\ {y_{0} = 6} \end{array} \right.$ \right. $\left. \Rightarrow D(5;6) \right.$.

d) Sai. Trung điểm I của BC có tọa độ $x_{I} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1$, $\left. y_{I} = \dfrac{1 + 2}{2} = \dfrac{3}{2}\Rightarrow I\left( {- 1;\dfrac{3}{2}} \right) \right.$.

Sắp xếp dãy số theo thứ tự không giảm, số trung vị là giá trị chính giữa của mẫu số liệu.

Sắp xếp dãy số tăng dần: 5, 7, 8, 10, 16, 18, 20, 22, 22, 25.

Số trung vị là $M_{e} = \dfrac{16 + 18}{2} = 17$.

Sử dụng công thức tính số trung bình của mẫu số liệu.

Tổng số học sinh N = 10 + 5 + 8 + 6 + 7 + 2 + 1 = 39.

Số trung bình $\overline{x} = \dfrac{4.5 + 5.10 + 6.8 + 7.6 + 8.7 + 9.2 + 10.1}{5 + 10 + 8 + 6 + 7 + 2 + 1} = \dfrac{244}{39} \approx 6,26$.

Trọng tâm G(a; b) của tam giác ABC có tọa độ $a = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}$, $b = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$.

Ta có $a = \dfrac{- 3 + 9 + 0}{3} = 2$ và $b = \dfrac{- 6 + ( - 3) + 6}{3} = - 1$.

Giá trị T = 2a + 3b = 2.2 + 3(-1) = 1.

Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ: $\cos\alpha = \dfrac{\overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b}}{\left| \overset{\rightarrow}{a} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{b} \right|}$.

$\left. \cos\alpha = \dfrac{2.3 + 1.( - 1)}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{3^{2} + {( - 1)}^{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow\alpha = 45^{o} \right.$.

Sử dụng quy tắc ba điểm chen các điểm H, K vào các vectơ $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{DC}$, sau đó dùng tính chất vectơ trung điểm.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{AH} + \overset{\rightarrow}{HK} + \overset{\rightarrow}{KB}$, $\overset{\rightarrow}{DC} = \overset{\rightarrow}{DH} + \overset{\rightarrow}{HK} + \overset{\rightarrow}{KC}$.

Cộng từng vế hai đẳng thức trên:

$\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{DC} = (\overset{\rightarrow}{AH} + \overset{\rightarrow}{DH}) + (\overset{\rightarrow}{HK} + \overset{\rightarrow}{HK}) + (\overset{\rightarrow}{KB} + \overset{\rightarrow}{KC})$

Vì H là trung điểm AD nên $\overset{\rightarrow}{AH} + \overset{\rightarrow}{DH} = \overset{\rightarrow}{0}$, K là trung điểm BC nên $\overset{\rightarrow}{KB} + \overset{\rightarrow}{KC} = \overset{\rightarrow}{0}$.

Do đó: $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{DC} = \overset{\rightarrow}{0} + 2\overset{\rightarrow}{HK} + \overset{\rightarrow}{0} = 2\overset{\rightarrow}{HK}$ (đpcm).

Tính góc $\widehat{ACB}$ dựa vào tổng ba góc trong tam giác, sau đó áp dụng định lý sin trong tam giác ABC.

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{C} = 180^{o} - \widehat{A} - \widehat{B} = 180^{o} - 40^{o} - 60^{o} = 80^{o}$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC:

$\dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{AB}{\sin C}$ $\left. \Rightarrow AC = \dfrac{AB.\sin B}{\sin C} = \dfrac{40.\sin 60^{o}}{\sin 80^{o}} \right.$ $\left. \Rightarrow AC \approx 35,18 \right.$ (m).

Vậy khoảng cách AC khoảng 35,18 m.

Độ dài BM ngắn nhất khi M là chân đường cao hạ từ B xuống đường thẳng AC. Sử dụng điều kiện $\overset{\rightarrow}{BM}\bot\overset{\rightarrow}{AC}$ và hai vectơ $\overset{\rightarrow}{AM},\overset{\rightarrow}{AC}$ cùng phương.

BM ngắn nhất khi M là chân đường cao hạ từ B xuống cạnh AC.

Gọi M(x; y). Ta có: $\overset{\rightarrow}{BM} = (x - 1;y - 3)$, $\overset{\rightarrow}{AC} = ( - 1;6)$, $\overset{\rightarrow}{AM} = (x + 1;y - 1)$.

Vì $\overset{\rightarrow}{BM}\bot\overset{\rightarrow}{AC}$ và $\overset{\rightarrow}{AM},\overset{\rightarrow}{AC}$ cùng phương nên: $\{\begin{array}{l}(-1)\mathrm{.}(x-1)+6(y-3)=0\\ {\displaystyle \frac{x+1}{-1}}={\displaystyle \frac{y-1}{6}}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {( - 1).(x - 1) + 6(y - 3) = 0} \\ {\dfrac{x + 1}{- 1} = \dfrac{y - 1}{6}} \end{array} \right.$ $\left. \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} {- x + 6y = 17} \\ {6x + y = - 5} \end{array} \right.$ \right..

Giải hệ phương trình trên ta được: $\{\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{47}{37}}\\ y={\displaystyle \frac{97}{37}}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x = - \dfrac{47}{37}} \\ {y = \dfrac{97}{37}} \end{array} \right.$. Vậy $M\left( {- \dfrac{47}{37};\dfrac{97}{37}} \right)$.