Đề thi học kì 1 Toán 10 năm 2025 - 2026 trường THPT Phú Lộc - Huế

Nếu $\overset{\rightarrow}{u} = x\overset{\rightarrow}{i} + y\overset{\rightarrow}{j}$ thì tọa độ của vectơ $\overset{\rightarrow}{u}$ là (x; y).

Ta có $\overset{\rightarrow}{u} = 3\overset{\rightarrow}{i} - 9\overset{\rightarrow}{j}$. Do đó, tọa độ của vectơ $\overset{\rightarrow}{u}$ là (3; -9).

Hiệu của hai tập hợp A và B, ký hiệu A \ B, là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

Các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B là 0 và 1. Do đó, A \ B = {0; 1}.

Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in X,P(x)$" là mệnh đề "$\exists x \in X,\overline{P(x)}$”.

Mệnh đề phủ định là "$\exists x \in R,x^{2} + 5x + 10 \leq 0$".

Sử dụng công thức tính sai số tuyệt đối của số gần đúng: $\Delta_{a} = \left| {\overline{a} - a} \right|$.

Sai số tuyệt đối của số gần đúng a biểu thị khoảng cách giữa số đúng $\overline{a}$ và số gần đúng a, được tính theo công thức $\Delta_{a} = \left| {\overline{a} - a} \right|$.

Mệnh đề toán học là một câu khẳng định đúng hoặc sai. Câu cảm thán, câu hỏi,… không phải là mệnh đề.

"Ăn phở rất ngon!" là một câu cảm thán không thể xác định tính đúng sai khách quan. Vì vậy, câu này không phải là mệnh đề.

Liệt kê tất cả các số tự nhiên x thỏa mãn điều kiện $x \leq 5$.

Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 5 là A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào bất phương trình 2x - y > 5, điểm nào làm cho bất phương trình thỏa mãn (mệnh đề đúng) thì thuộc miền nghiệm.

Thay tọa độ điểm N(2; -2) vào biểu thức 2x - y:

2.2 – (-2) = 6 > 5 (thỏa mãn).

Thay các điểm còn lại thấy không thỏa mãn.

Vậy điểm N(2; -2) thuộc miền nghiệm.

Phân biệt số đúng và số gần đúng.

Sĩ số học sinh của một lớp là số đúng.

Quan sát hình vẽ.

Quan sát hình vẽ, từ gốc của vectơ $\overset{\rightarrow}{a}$, đi sang phải 2 ô vuông theo chiều dương trục Ox và đi lên 3 ô vuông theo chiều dương trục Oy. Do đó, $\overset{\rightarrow}{a} = 2\overset{\rightarrow}{i} + 3\overset{\rightarrow}{j}$, nên tọa độ của $\overset{\rightarrow}{a}$ là (2; 3).

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$\{\begin{array}{c}x+y>2024\\ 2x-y<2025\end{array}$$\left\{ \begin{matrix} {x + y > 2024} \\ {2x - y < 2025} \end{matrix} \right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Áp dụng định lý côsin, định lý sin trong tam giác.

Theo định lý côsin trong tam giác ABC, ta có công thức tính cạnh $a$ là $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$.

Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp và quy tắc ba điểm.

Ta biến đổi tổng vectơ: $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{CD} + \overset{\rightarrow}{BC} + \overset{\rightarrow}{DA}$ $= \left( {\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{BC}} \right) + \left( {\overset{\rightarrow}{CD} + \overset{\rightarrow}{DA}} \right)$ $= \overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{CA}$ $= \overset{\rightarrow}{AA} = \overset{\rightarrow}{0}$.

a) So sánh thu nhập bình quân của 6 vùng trong bảng.

b) Tính số trung bình: $\overline{x} = \dfrac{\sum x_{i}}{n}$.

c) Tính khoảng biến thiên $R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}$.

d) Sử dụng tính chất của độ lệch chuẩn khi cộng tất cả các giá trị trong mẫu số liệu với cùng một hằng số.

a) Sai. Thu nhập của Tây Nguyên là 3,6 triệu đồng/tháng, trong khi Trung du và miền núi phía Bắc là 3,4 triệu đồng/tháng (thấp nhất).

b) Đúng. Thu nhập trung bình của 6 vùng là:

$\overline{x} = \dfrac{6,2 + 3,4 + 4,1 + 3,6 + 6,5 + 4,4}{6} = 4,7$ (triệu đồng/tháng).

c) Đúng. Khoảng biến thiên R = 6,5 - 3,4 = 3,1 triệu đồng.

d) Đúng. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu sẽ không thay đổinếu mọi giá trị trong mẫu số liệu đều cộng thêm cùng một hằng số.

a) Kiểm tra các điểm O, B, D có thẳng hàng hay không.

b) Sử dụng tính chất O là trung điểm của AC và hướng của vectơ.

c) Áp dụng quy tắc hình bình hành.

d) Tính độ dài vectơ tổng $\overset{\rightarrow}{BA} + \overset{\rightarrow}{BC} = \overset{\rightarrow}{BD}$ theo định lý Pythagore.

a) Sai. Vì O thuộc đoạn thẳng BD nên ba điểm O, B, D thẳng hàng, do đó $\overset{\rightarrow}{OB}$ cùng phương với BD.

b) Đúng. O là trung điểm của AC nên $OA = \dfrac{1}{2}AC$, và $\overset{\rightarrow}{OA}$ ngược hướng với $\overset{\rightarrow}{AC}$, suy ra $\overset{\rightarrow}{OA} = - \dfrac{1}{2}\overset{\rightarrow}{AC}$.

c) Đúng. Theo quy tắc hình bình hành: $\overset{\rightarrow}{BA} + \overset{\rightarrow}{BC} = \overset{\rightarrow}{BD}$.

Mặt khác, theo quy tắc ba điểm, $\overset{\rightarrow}{BO} + \overset{\rightarrow}{OD} = \overset{\rightarrow}{BD}$.

Vậy $\overset{\rightarrow}{BA} + \overset{\rightarrow}{BC} = \overset{\rightarrow}{BO} + \overset{\rightarrow}{OD}$.

d) Đúng. Ta có $\left| {\overset{\rightarrow}{BA} + \overset{\rightarrow}{BC}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{BD} \right| = BD$.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABD:

$BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$.

Do đó $\left| {\overset{\rightarrow}{BA} + \overset{\rightarrow}{BC}} \right| = 5$.

Áp dụng công thức tính số trung bình.

Lượng mưa trung bình của mẫu số liệu là: $\overline{x} = \dfrac{120 + 150 + 180 + 200 + 250}{5} = 180$ (mm).

Dựng điểm $B_{1}$ sao cho $\overset{\rightarrow}{AB_{1}} = 2\overset{\rightarrow}{AB}$. Biến đổi $2\overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{AC} = \overset{\rightarrow}{AB_{1}} - \overset{\rightarrow}{AC} = \overset{\rightarrow}{CB_{1}}$, sau đó tính độ dài đoạn thẳng $CB_{1}$.

Lấy điểm $B_{1}$ thuộc tia AB sao cho $AB_{1} = 2AB$, khi đó $\overset{\rightarrow}{AB_{1}} = 2\overset{\rightarrow}{AB}$.

Ta có: $2\overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{AC} = \overset{\rightarrow}{AB_{1}} - \overset{\rightarrow}{AC} = \overset{\rightarrow}{CB_{1}}$. Suy ra độ dài: $\left| {2\overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{AC}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{CB_{1}} \right| = CB_{1}$.

Xét tam giác $CBB_{1}$ vuông tại B: $BC = AB = 3\sqrt{2}$ và $BB_{1} = AB = 3\sqrt{2}$ (do $AB_{1} = 2AB$).

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $CBB_{1}$: $CB_{1} = \sqrt{BC^{2} + BB_{1}^{2}} = \sqrt{\left( {3\sqrt{2}} \right)^{2} + \left( {3\sqrt{2}} \right)^{2}} = 6$.

Tính thời gian di chuyển giữa các mốc: từ 7h00 đến 9h00 (2 giờ) đi từ A đến B, từ 7h00 đến 12h00 (5 giờ) đi từ A đến C. Do chuyển động thẳng đều nên $\overset{\rightarrow}{AC} = \dfrac{5}{2}\overset{\rightarrow}{AB}$. Sử dụng tọa độ vectơ để tìm x, y và tính T = x - 2y.

Thời gian bão đi từ A đến B (từ 7h đến 9h) là: 9 - 7 = 2 (giờ).

Thời gian bão đi từ A đến C (từ 7h đến 12h) là: 12 - 7 = 5 (giờ).

Vì bão chuyển động thẳng đều cùng hướng nên $\overset{\rightarrow}{AC} = \dfrac{5}{2}\overset{\rightarrow}{AB}$.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {180 - 120;30 - \left( {- 50} \right)} \right) = \left( {60;80} \right)$.

Gọi C(x; y), suy ra $\overset{\rightarrow}{AC} = \left( {x - 120;y + 50} \right)$.

Từ $\overset{\rightarrow}{AC} = \dfrac{5}{2}\overset{\rightarrow}{AB}$, ta có hệ phương trình: $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {x - 120 = \dfrac{5}{2}.60} \\ {y + 50 = \dfrac{5}{2}.80} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x = 270} \\ {y = 150} \end{array} \right.$ \right..

Suy ra tọa độ điểm C(270; 150). Vậy T = x - 2y = 270 – 2.150 = - 30.

Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu là hiệu giữa giá trị lớn nhất ($x_{\text{max}}$) và giá trị nhỏ nhất ($x_{\text{min}}$): $R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 65 - 43 = 22 (%).

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc kẹp giữa: $S = \dfrac{1}{2}ac\sin B$.

Diện tích tam giác ABC là: $S = \dfrac{1}{2}ac\sin B = \dfrac{1}{2}.8.5.\sin 30^{o} = 10$.

Vậy diện tích tam giác ABC bằng 10.

Đặt $\overset{\rightarrow}{F} = \overset{\rightarrow}{T_{1}} + \overset{\rightarrow}{T_{2}}$. Khi vật cân bằng $\left. \overset{\rightarrow}{F} = - \overset{\rightarrow}{P}\Rightarrow F = P = 700 \right.$ N. Sử dụng định lý côsin trong tam giác lực được tạo bởi các vectơ lực căng để tính độ lớn $T_{1} = T_{2}$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta gọi $\overset{\rightarrow}{F} = \overset{\rightarrow}{T_{1}} + \overset{\rightarrow}{T_{2}}$.

Khi diễn viên xiếc đứng cân bằng trên dây, ta có:

$\left. \overset{\rightarrow}{T_{1}} + \overset{\rightarrow}{T_{2}} + \overset{\rightarrow}{P} = \overset{\rightarrow}{0}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{F} + \overset{\rightarrow}{P} = \overset{\rightarrow}{0}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{F} = - \overset{\rightarrow}{P} \right.$.

Do đó độ lớn F = P = 700 N.

Vì dây không giãn và vị trí diễn viên xiếc cân bằng đối xứng nên độ lớn hai lực căng dây bằng nhau: $\left| \overset{\rightarrow}{T_{1}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{T_{2}} \right| = T_{1}$.

Góc hợp bởi hai lực $\overset{\rightarrow}{T_{1}}$ và $\overset{\rightarrow}{T_{2}}$ là $140^{o}$.

Trong hình bình hành tạo bởi $\overset{\rightarrow}{T_{1}}$ và $\overset{\rightarrow}{T_{2}}$, góc kề bù với góc $140^{o}$ có số đo là $180^{o} - 140^{o} = 40^{o}$.

Xét tam giác lực, áp dụng định lý côsin ta có:

$F^{2} = T_{1}^{2} + T_{2}^{2} - 2T_{1}T_{2}\cos\left( {180^{o} - 140^{o}} \right)$ $\left. \Leftrightarrow F^{2} = 2T_{1}^{2} - 2T_{1}^{2}\cos 40^{o} = 2T_{1}^{2}\left( {1 - \cos 40^{o}} \right) \right.$.

Suy ra: $T_{1} = \sqrt{\dfrac{F^{2}}{2\left( {1 - \cos 40^{o}} \right)}} = \sqrt{\dfrac{700^{2}}{2\left( {1 - \cos 40^{o}} \right)}} \approx 1023$ N.

Vậy lực căng của dây treo khi diễn viên xiếc đứng cân bằng khoảng 1023 N.

a) Tọa độ $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {x_{B} - x_{A};y_{B} - y_{A}} \right)$, sau đó cộng tọa độ tương ứng với $\overset{\rightarrow}{u}$.

b) Điểm C thuộc trục hoành nên C(x; 0). Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi $\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{AC} = 0$.

a) Ta có tọa độ của vectơ $\overset{\rightarrow}{AB}$ là: $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 1 - 2; - 1 - 3} \right) = \left( {- 3; - 4} \right)$.

Tọa độ vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = \left( {5; - 4} \right)$. Suy ra $\overset{\rightarrow}{x} = \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{u}$ là: $\overset{\rightarrow}{x} = \left( {- 3 + 5; - 4 + \left( {- 4} \right)} \right) = \left( {2; - 8} \right)$.

b) Vì điểm C nằm trên trục hoành Ox nên tọa độ điểm C có dạng C(x; 0).

Ta có: $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 3; - 4} \right)$ và $\overset{\rightarrow}{AC} = \left( {x - 2;0 - 3} \right) = \left( {x - 2; - 3} \right)$.

Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi $\left. \overset{\rightarrow}{AB}\bot\overset{\rightarrow}{AC}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{AC} = 0 \right.$ $\left. \Leftrightarrow - 3\left( {x - 2} \right) + \left( {- 4} \right)\left( {- 3} \right) = 0 \right.$ $\left. \Leftrightarrow x = 6 \right.$. Vậy tọa độ điểm C cần tìm là C(6; 0).

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

Xác định trung vị $M_{e} = Q_{2}$ (là trung bình cộng hai số ở giữa vì n = 10).

Tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ là trung vị của 5 số đầu, $Q_{3}$ là trung vị của 5 số cuối.

Mốt $M_{o}$ là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất trong mẫu số liệu.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 5,0; 5,5; 6,2; 6,5; 6,5; 6,5; 7,0; 7,8; 8,0; 9,0.

Cỡ mẫu n = 10 là số chẵn, nên trung vị $M_{e}$ là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6 trong dãy.

+) Số trung vị: $M_{e} = \dfrac{6,5 + 6,5}{2} = 6,5$.

+) Tứ phân vị: Tứ phân vị thứ hai $Q_{2} = M_{e} = 6,5$.

Nửa số liệu bên trái gồm 5 giá trị: 5,0; 5,5; 6,2; 6,5; 6,5. Do đó $Q_{1} = 6,2$.

Nửa số liệu bên phải gồm 5 giá trị: 6,5; 7,0; 7,8; 8,0; 9,0. Do đó $Q_{3} = 7,8$.

+) Mốt: Trong mẫu số liệu, giá trị 6,5 xuất hiện nhiều nhất (3 lần). Vậy mốt của mẫu số liệu là $M_{o} = 6,5$.