Đề thi học kì 1 Toán 10 năm 2025 - 2026 trường THPT Ngô Gia Tự - Đắk Lắk

Áp dụng quy tắc làm tròn số đã học.

Ta có $\sqrt[3]{7} = 1,912931183...$ Chữ số ở hàng phần nghìn là 2, chữ số ngay sau nó là 9. Vì $9 \geq 5$ nên ta làm tròn tăng 1 đơn vị ở hàng phần nghìn: $1,9129... \approx 1,913$.

Vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = x\overset{\rightarrow}{i} + y\overset{\rightarrow}{j}$ có tọa độ là $\overset{\rightarrow}{u} = \left( {x;y} \right)$.

Từ đẳng thức $\overset{\rightarrow}{u} = - 2\overset{\rightarrow}{i} + 1\overset{\rightarrow}{j}$, suy ra tọa độ của vectơ $\overset{\rightarrow}{u}$ là $\left( {- 2;1} \right)$.

Sử dụng quy tắc 3 điểm.

Theo quy tắc hiệu: $\overset{\rightarrow}{CA} - \overset{\rightarrow}{CB} = \overset{\rightarrow}{BA}$, nên khẳng định A đúng.

Theo quy tắc cộng: $\overset{\rightarrow}{BC} + \overset{\rightarrow}{CA} = \overset{\rightarrow}{BA}$ hay $\overset{\rightarrow}{CA} + \overset{\rightarrow}{BC} = \overset{\rightarrow}{BA}$, nên khẳng định C đúng.

Theo quy tắc cộng: $\overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{CB} = \overset{\rightarrow}{AB}$, nên khẳng định D đúng.

Ta có $\overset{\rightarrow}{CB} + \overset{\rightarrow}{AC} = \overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{CB} = \overset{\rightarrow}{AB} \neq \overset{\rightarrow}{BA}$, nên khẳng định B sai.

Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.

$\overset{\rightarrow}{OB} = \overset{\rightarrow}{FA}$.

Tập hợp hợp $X \cup Y$ là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc X hoặc thuộc Y.

Liệt kê tất cả các phần tử thuộc X hoặc Y: $X \cup Y = \left\{ {1;2;3;4;5;6;8;9} \right\}$.

Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu đó.

Giá trị 78 xuất hiện nhiều nhất (3 lần), do đó mốt của mẫu số liệu là 78.

Thay tọa độ từng điểm vào hệ bất phương trình. Điểm nào làm cho tất cả các bất phương trình trong hệ đều đúng thì thuộc miền nghiệm.

Thay tọa độ điểm (0; -2) vào hệ: $\left\{ \begin{array}{l} {2.0 - 5\left( {- 2} \right) - 1 = 9 > 0} \\ {2.0 + \left( {- 2} \right) + 5 = 3 > 0} \\ {0 + \left( {- 2} \right) + 1 = - 1 < 0} \end{array} \right.$ (đúng).

Vậy điểm (0; -2) thuộc miền nghiệm của hệ.

Hai vectơ song song hoặc trùng nhau và chỉ cùng một chiều từ điểm đầu đến điểm cuối thì cùng hướng. Sử dụng tính chất đường trung bình MN của tam giác ABC thì MN // BC.

Vì M, N là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MN // BC. Vectơ $\overset{\rightarrow}{MN}$ cùng chiều với vectơ $\overset{\rightarrow}{BC}$. Do đó hai vectơ $\overset{\rightarrow}{MN}$ và $\overset{\rightarrow}{BC}$ cùng hướng.

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC: $\dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{AB}{\sin C}$.

Theo định lý sin, ta có: $\dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{AB}{\sin C}$ $\left. \Rightarrow AC = \dfrac{AB.\sin B}{\sin C} = \dfrac{5.\sin 60^{o}}{\sin 45^{o}} = \dfrac{5\sqrt{6}}{2} \right.$.

Sử dụng công thức hai góc bù nhau: $\cos\left( {180^{o} - \alpha} \right) = - \cos\alpha$.

Ta nhóm các cặp góc bù nhau:

$B = \left( {\cos 0^{o} + \cos 180^{o}} \right) + \left( {\cos 20^{o} + \cos 160^{o}} \right) + \left( {\cos 40^{o} + \cos 140^{o}} \right)$

$+ \left( {\cos 60^{o} + \cos 120^{o}} \right) + \left( {\cos 80^{o} + \cos 100^{o}} \right)$

Vì $\cos\left( {180^{o} - \alpha} \right) = - \cos\alpha$ nên $\cos\alpha + \cos\left( {180^{o} - \alpha} \right) = 0$. Vậy B = 0.

Kiểm tra tính đúng sai của từng phát biểu toán học.

17 chỉ chia hết cho 1 và chính nó nên 17 là số nguyên tố (mệnh đề đúng).

$\sqrt{5}$ là số vô tỷ, thuộc tập số thực R (mệnh đề đúng).

7 là số lẻ, không chia hết cho 2 (mệnh đề sai).

2024 có chữ số tận cùng là 4 nên là số chẵn (mệnh đề đúng).

Dựa vào công thức tích vô hướng của hai vectơ.

Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, khẳng định đúng là $\overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b} = \left| \overset{\rightarrow}{a} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{b} \right|\cos\left( {\overset{\rightarrow}{a},\overset{\rightarrow}{b}} \right)$.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên $R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}$.

Số trung vị $M_{e} = Q_{2}$ là trung bình cộng của 2 số chính giữa.

Tứ phân vị $Q_{1}$, $Q_{3}$ và khoảng tứ phân vị $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$.

Số trung bình $\overline{x}$ và phương sai $s^{2} = \dfrac{1}{n}{\sum\left( {x_{i} - \overline{x}} \right)^{2}}$.

Sắp xếp mẫu số liệu gồm n = 10 phần tử theo thứ tự tăng dần:

159, 160, 161, 162, 163, 165, 167, 168, 170, 172.

a) Sai. Số trung bình $\overline{x} = \dfrac{159 + 160 + 161 + 162 + 163 + 165 + 167 + 168 + 170 + 172}{10} = 164,7$.

Phương sai $s^{2} = \dfrac{1}{10}\left\lbrack {\left( {159 - 164,7} \right)^{2} + \left( {160 - 164,7} \right)^{2} + ... + \left( {172 - 164,7} \right)^{2}} \right\rbrack = 17,61$.

b) Đúng. Nửa dưới mẫu số liệu: 159, 160, 161, 162, 163 có trung vị $Q_{1} = 161$.

Nửa trên mẫu số liệu: 165, 167, 168, 170, 172 có trung vị $Q_{3} = 168$.

Khoảng tứ phân vị $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 168 - 161 = 7$.

c) Đúng. Số trung vị $M_{e} = \dfrac{163 + 165}{2} = 164$.

d) Sai. Khoảng biến thiên $R = x_{\text{max}} - x_{\text{min}} = 172 - 159 = 13$.

Sử dụng tính chất trung điểm I của AB: $\overset{\rightarrow}{IA} + \overset{\rightarrow}{IB} = \overset{\rightarrow}{0}$ và $\overset{\rightarrow}{CA} + \overset{\rightarrow}{CB} = 2\overset{\rightarrow}{CI}$.

Thiết lập tọa độ hoặc dùng tổng vectơ để tính độ dài.

a) Đúng. Ta có $\overset{\rightarrow}{CA} + \overset{\rightarrow}{CB} = 2\overset{\rightarrow}{CI}$ (theo tính chất trung điểm).

Khi đó $\overset{\rightarrow}{CA} + \overset{\rightarrow}{CB} + \overset{\rightarrow}{IC} = 2\overset{\rightarrow}{CI} + \overset{\rightarrow}{IC} = \overset{\rightarrow}{CI}$.

Độ dài $\left| {\overset{\rightarrow}{CA} + \overset{\rightarrow}{CB} + \overset{\rightarrow}{IC}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{CI} \right| = CI$.

Xét tam giác CAI vuông tại A, $AI = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{1}{2}$, AC = 2.

$CI = \sqrt{AC^{2} + AI^{2}} = \sqrt{2^{2} + \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2}} = \sqrt{4 + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{17}}{2}$.

b) Đúng. Vì I là trung điểm của AB nên $\overset{\rightarrow}{IA} + \overset{\rightarrow}{IB} = \overset{\rightarrow}{0}$.

c) Đúng. $\overset{\rightarrow}{IA}$ và $\overset{\rightarrow}{AB}$ ngược hướng.

d) Sai. Theo tính chất trung điểm I của AB, ta có $\overset{\rightarrow}{CA} + \overset{\rightarrow}{CB} = 2\overset{\rightarrow}{CI}$.

Độ dài đoạn thẳng $AB = \sqrt{\left( {x_{B} - x_{A}} \right)^{2} + \left( {y_{B} - y_{A}} \right)^{2}}$.

Tọa độ $\overset{\rightarrow}{u} = 2\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC}$.

Tọa độ trung điểm M của BC: $M\left( {\dfrac{x_{B} + x_{C}}{2};\dfrac{y_{B} + y_{C}}{2}} \right)$.

Tọa độ trọng tâm G: $G\left( {\dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{2};\dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{2}} \right)$, tính góc giữa hai vectơ $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{CG}$.

a) Đúng. $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 4 - \left( {- 2} \right); - 2 - 5} \right) = \left( {- 2; - 7} \right)$

$\left. \Rightarrow AB = \sqrt{\left( {- 2} \right)^{2} + \left( {- 7} \right)^{2}} = \sqrt{53} \right.$.

b) Sai. $\left. \overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 2; - 7} \right)\Rightarrow 2\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 4; - 14} \right) \right.$; $\overset{\rightarrow}{AC} = \left( {1 - \left( {- 2} \right);5 - 5} \right) = \left( {3;0} \right)$.

Suy ra $\overset{\rightarrow}{u} = 2\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} = \left( {- 4 + 3; - 14 + 0} \right) = \left( {- 1; - 14} \right)$.

c) Sai. Tọa độ trọng tâm $G\left( {\dfrac{- 2 - 4 + 1}{3};\dfrac{5 - 2 + 5}{3}} \right) = G\left( {- \dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3}} \right)$.

$\overset{\rightarrow}{CG} = \left( {- \dfrac{5}{3} - 1;\dfrac{8}{3} - 5} \right) = \left( {- \dfrac{8}{3}; - \dfrac{7}{3}} \right)$.

Vectơ $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 2; - 7} \right)$.

$\cos\left( {\overset{\rightarrow}{AB};\overset{\rightarrow}{CG}} \right) = \dfrac{\left( {- 2} \right)\left( {- \dfrac{8}{3}} \right) + \left( {- 7} \right)\left( {- \dfrac{7}{3}} \right)}{\sqrt{\left( {- 2} \right)^{2} + \left( {- 7} \right)^{2}}.\sqrt{\left( {- \dfrac{8}{3}} \right)^{2} + \left( {- \dfrac{7}{3}} \right)^{2}}} \approx 0,8399..$

d) Đúng. Tọa độ trung điểm M của BC là $M\left( {\dfrac{- 4 + 1}{2};\dfrac{- 2 + 5}{2}} \right) = M\left( {- \dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$.

Tính số trung bình cộng theo công thức: $\overline{x} = \dfrac{{\sum n_{i}}x_{i}}{N}$.

Số cuốn sách trung bình mỗi bạn đọc là:

$\overline{x} = \dfrac{163 + 159 + 172 + 167 + 165 + 160 + 168 + 170 + 161 + 162}{10} = \dfrac{207}{51} \approx 4,06$.

Giải các phương trình xác định phần tử của tập hợp A, sau đó tìm tập hợp $A \cup B$ và đếm số phần tử.

Xét tập A: $\left. \left( {x - 2} \right)\left( {3x - 4} \right)\left( {x - \sqrt{5}} \right) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{matrix} {x = 2} \\ {x = \dfrac{4}{3}} \\ {x = \sqrt{5}} \end{matrix}$ \right. \right. (TM). Do đó $A = \left\{ {2;\dfrac{4}{3}} \right\}$.

Xét tập B: $\left. \left( {2 - x} \right)\left( {3x^{2} - 2x - 1} \right) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{matrix} {x = 2} \\ {x = 1} \\ {x = - \dfrac{1}{3}} \end{matrix}$ \right. \right. (TM). Do đó $B = \left\{ {- \dfrac{1}{3};1;2} \right\}$.

Tập hợp hợp $A \cup B = \left\{ {- \dfrac{1}{3};1;\dfrac{4}{3};2} \right\}$. Số phần tử của $A \cup B$ là 4.

Vật ở trạng thái cân bằng nên $\overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}} + \overset{\rightarrow}{F} = \overset{\rightarrow}{0}$. Từ đó tính cường độ của $\overset{\rightarrow}{F}$.

Vật ở trạng thái cân bằng nên $\left. \overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}} + \overset{\rightarrow}{F} = \overset{\rightarrow}{0}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{F} = - \left( {\overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}}} \right) \right.$. Do đó $\left| \overset{\rightarrow}{F} \right| = \left| {\overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}}} \right|$.

$\left| \overset{\rightarrow}{F} \right| = \sqrt{20^{2} + 30^{2} + 2.20.30.\cos 120^{o}} \approx 26,5$ (N).

Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ: $\cos\left( {\overset{\rightarrow}{a},\overset{\rightarrow}{b}} \right) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b}}{\left| \overset{\rightarrow}{a} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{b} \right|} = \dfrac{x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}.\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$.

$\cos\left( {\overset{\rightarrow}{a},\overset{\rightarrow}{b}} \right) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b}}{\left| \overset{\rightarrow}{a} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{b} \right|} = \dfrac{\left( {- 4} \right)\left( {- 1} \right) + 3.7}{\sqrt{\left( {- 4} \right)^{2} + 3^{2}}.\sqrt{\left( {- 1} \right)^{2} + 7^{2}}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,71$.

Ứng dụng biểu thức tọa độ các phép toán vectơ.

Giả sử B(x; y).

Vectơ biểu diễn chuyển động từ A đến B là $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {x - 4;y - 8} \right)$.

Vectơ biểu diễn chuyển động từ A đến C là $\overset{\rightarrow}{AC} = \left( {- 11 - 4;13 - 8} \right) = \left( {- 15;5} \right)$.

Thời gian máy bay bay từ A đến B là $t_{1} = 2$ giờ.

Thời gian máy bay bay từ B đến C là 30 phút = 0,5 giờ.

Do đó tổng thời gian máy bay bay từ A đến C là $t_{2} = 2 + 0,5 = 2,5$ giờ.

Vì máy bay bay với vận tốc và hướng không đổi nên quãng đường và hướng chuyển động tỉ lệ thuận với thời gian bay: $\overset{\rightarrow}{AB} = \dfrac{t_{1}}{t_{2}}\overset{\rightarrow}{AC} = \dfrac{2}{2,5}\overset{\rightarrow}{AC} = \dfrac{4}{5}\overset{\rightarrow}{AC}$.

Thay tọa độ vào ta được: $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {x - 4 = \dfrac{4}{5}.( - 15)} \\ {y - 8 = \dfrac{4}{5}.5} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x = - 8} \\ {y = 12} \end{array} \right.$ \right.. Vậy B(-8; 12).

a) Tìm tọa độ đỉnh C dựa vào công thức trọng tâm $G\left( {\dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3};\dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}} \right)$. Gọi H(x; y), lập hệ phương trình gồm điều kiện vuông góc $\overset{\rightarrow}{AH}.\overset{\rightarrow}{BC} = 0$ và điều kiện cùng phương $\overset{\rightarrow}{BH} = k\overset{\rightarrow}{BC}$.

b) Chu vi tam giác AMB là $P = AB + MA + MB$. Vì AB cố định nên chu vi nhỏ nhất khi MA + MB nhỏ nhất. Nhận xét A và B nằm cùng phía đối với trục hoành Ox. Lấy điểm A' đối xứng với A qua Ox, khi đó $MA + MB = MA' + MB \geq A'B$. Dấu bằng xảy ra khi M là giao điểm của A'B và Ox.

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

$\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {x_{C} = 3x_{G} - x_{A} - x_{B} = 3.\dfrac{1}{3} - ( - 1) - 2 = 0} \\ {y_{C} = 3y_{G} - y_{A} - y_{B} = 3.2 - 5 - 3 = - 2} \end{array} \right.$Rightarrow C(0; - 2) \right..

Gọi H(x; y) là chân đường cao hạ từ A xuống BC.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{AH} = \left( {x + 1;y - 5} \right)$, $\overset{\rightarrow}{BC} = \left( {0 - 2; - 2 - 3} \right) = \left( {- 2; - 5} \right)$, $\overset{\rightarrow}{BH} = \left( {x - 2;y - 3} \right)$.

Vì $AH\bot BC$ nên $\overset{\rightarrow}{AH}.\overset{\rightarrow}{BC} = 0$ $\left. \Leftrightarrow\left( {x + 1} \right)\left( {- 2} \right) + \left( {y - 5} \right)\left( {- 5} \right) = 0 \right.$ $\left. \Leftrightarrow 2x + 5y = 23 \right.$ (1)

Vì H thuộc đường thẳng BC nên $\overset{\rightarrow}{BH}$ cùng phương với $\overset{\rightarrow}{BC}$: $\left. \dfrac{x - 2}{- 2} = \dfrac{y - 3}{- 5}\Leftrightarrow 5x - 2y = 4 \right.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {2x + 5y = 23} \\ {5x - 2y = 4} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{66}{29}} \\ {y = \dfrac{107}{29}} \end{array} \right.$ \right.. Vậy $H\left( {\dfrac{66}{29};\dfrac{107}{29}} \right)$.

b) Chu vi tam giác AMB là $P_{AMB} = AB + MA + MB$.

Vì A và B là hai điểm cố định nên độ dài đoạn thẳng AB không đổi. Do đó chu vi tam giác AMB nhỏ nhất khi và chỉ khi MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Tung độ của điểm A và B là $y_{A} = 5 > 0$ và $y_{B} = 3 > 0$ nên A và B nằm cùng phía so với trục hoành Ox. Lấy điểm A’(-1; -5) đối xứng với A(-1; 5) qua trục Ox.

Với mọi điểm $M \in Ox$, ta có MA = MA’. Khi đó $MA + MB = MA' + MB \geq A'B$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng A'B với trục Ox.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng A'B là $\overset{\rightarrow}{A'B} = \left( {2 - ( - 1);3 - ( - 5)} \right) = \left( {3;8} \right)$. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng A'B là $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {8; - 3} \right)$. Phương trình đường thẳng A'B đi qua B(2; 3) có dạng:

$\left. 8\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 3} \right) = 0\Leftrightarrow 8x - 3y - 7 = 0 \right.$.

Điểm $M \in Ox$ nên y = 0. Thay y = 0 vào phương trình đường thẳng A'B:

$\left. 8x - 3.0 - 7 = 0\Leftrightarrow x = \dfrac{7}{8} \right.$. Vậy tọa độ điểm M thỏa mãn bài toán là $M\left( {\dfrac{7}{8};0} \right)$.