Đề thi học kì 1 Toán 10 năm 2025 - 2026 trường THPT Kiến An - Hải Phòng

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là ax + by + c < 0 (hoặc $\leq , > , \geq$), trong đó x, y là hai ẩn, a, b, c là các số thực với a và b không đồng thời bằng 0, bậc của các ẩn đối với x, y là bậc nhất.

Loại A vì chứa $x^{2}$, loại C vì chứa $y^{3}$, loại D vì chứa 3 ẩn x, y, z. Chọn B vì là bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y.

Sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{MN} = - 2\overset{\rightarrow}{MP}$

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{ON} - \overset{\rightarrow}{OM} = - 2(\overset{\rightarrow}{OP} - \overset{\rightarrow}{OM}) \right.$

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{ON} - \overset{\rightarrow}{OM} = - 2\overset{\rightarrow}{OP} + 2\overset{\rightarrow}{OM} \right.$

$\left. \Rightarrow 3\overset{\rightarrow}{OM} = \overset{\rightarrow}{ON} + 2\overset{\rightarrow}{OP} \right.$

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{OM} = \dfrac{1}{3}(\overset{\rightarrow}{ON} + 2\overset{\rightarrow}{OP}) \right.$.

Sử dụng tính chất hình vuông và các phép toán vectơ.

Vì ABCD là hình vuông nên $\overset{\rightarrow}{CB} = \overset{\rightarrow}{DA}$, do đó:

$\left| {\overset{\rightarrow}{OA} - \overset{\rightarrow}{CB}} \right| = \left| {\overset{\rightarrow}{OA} - \overset{\rightarrow}{DA}} \right| = \left| {\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{AD}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{OD} \right| = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Áp dụng công thức tính số trung bình của mẫu số liệu dạng bảng tần số $\overline{x} = \dfrac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + ... + n_{k}x_{k}}{N}$.

$\overline{x} = \dfrac{9.1 + 10.1 + 11.3 + 12.5 + 13.8 + 14.13 + 15.19 + 16.24 + 17.14 + 18.10 + 19.2}{100} = 15,23$.

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$.

Ta có $a^{2} = 7^{2} + 5^{2} - 2.7.5.\dfrac{4}{5} = 18$, suy ra $a = 3\sqrt{2}$.

Xác định các vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB.

Có 3 vectơ: $\overset{\rightarrow}{BA}$, $\overset{\rightarrow}{CD}$, $\overset{\rightarrow}{DC}$.

Thay tọa độ từng cặp số vào hệ bất phương trình để kiểm tra.

Thay (0; 0) vào bất phương trình thứ nhất ta được 3.0 + 4.0 - 1 = -1 > 0 (sai), vậy (0; 0) không là nghiệm của hệ.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm và tìm giá trị chính giữa.

Sắp xếp mẫu số liệu: 250, 300, 300, 300, 350, 450, 500, 650.

Số phần tử là 8, số trung vị là trung bình cộng của số thứ 4 và thứ 5: $\dfrac{300 + 350}{2} = 325$.

Sử dụng điều kiện tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{DC}$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = ( - 7;3)$. Gọi $D(x_{D};y_{D})$, ta có $\overset{\rightarrow}{DC} = (4 - x_{D};3 - y_{D})$.

Để ABCD là hình bình hành thì $\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {4 - x_{D} = - 7} \\ {3 - y_{D} = 3} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x_{D} = 11} \\ {y_{D} = 0} \end{array} \right.$ \right..

Vậy D(11; 0).

Bình phương hai vế của biểu thức tổng và sử dụng $\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$.

Ta có $\left. {(\sin x + \cos x)}^{2} = \left( \dfrac{2}{3} \right)^{2}\Leftrightarrow 1 + 2P = \dfrac{4}{9}\Leftrightarrow P = - \dfrac{5}{18} \right.$.

Phủ định của mệnh đề A là “Không phải A”.

Mệnh đề phủ định là “Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán”.

Số tập con của tập hợp có n phần tử là $2^{n}$.

Tập hợp A có 4 phần tử, số tập con là $2^{4} = 16$.

Sử dụng các phép toán tập hợp trên trục số.

a) Sai. $A \cup B = (1; + \infty)$.

b) Đúng. $A\backslash B = (1;5)\backslash\lbrack 2; + \infty) = (1;2)$.

c) Đúng. $B \cap C = \left\lbrack {2;m + 4} \right)$ chứa đúng 7 số nguyên khi và chỉ khi $B \cap C = \left\lbrack {2;9} \right)$ hay m + 4 = 9, khi đó m = 5.

d) Sai. $A \cap B = \lbrack 2;5)$.

Sử dụng tính chất tâm hình bình hành và các quy tắc biến đổi vectơ.

a) Đúng. Vì O là trung điểm của AC và BD nên $\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OC} = \overset{\rightarrow}{0}} \\ {\overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OD} = \overset{\rightarrow}{0}} \end{array} \right.$.

Cộng hai đẳng thức trên theo vế:

$(\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OC}) + (\overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OD}) = \overset{\rightarrow}{0}$

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OC} + \overset{\rightarrow}{OD} = \overset{\rightarrow}{0} \right.$.

b) Sai. Vì $G$ là trọng tâm $\text{Δ}ABC$ nên $\left. \overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{GB} + \overset{\rightarrow}{GC} = \overset{\rightarrow}{0}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{GC} = - \overset{\rightarrow}{GB} \right.$.

Khi đó $\overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{GC} + \overset{\rightarrow}{GD} = - \overset{\rightarrow}{GB} + \overset{\rightarrow}{GD} = \overset{\rightarrow}{BG} + \overset{\rightarrow}{GD} = \overset{\rightarrow}{BD}$.

Mà O là trung điểm của BD nên BD = 2OD.

Do đó: $\overset{\rightarrow}{GA} + \overset{\rightarrow}{GC} + \overset{\rightarrow}{GD} = 2\overset{\rightarrow}{OD}$.

c) Đúng. Theo quy tắc hình bình hành: $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} = \overset{\rightarrow}{AC}$.

d) Sai. Ta có: $\left. \overset{\rightarrow}{CM} = 2\overset{\rightarrow}{MB}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{CB} + \overset{\rightarrow}{BM} = 2\overset{\rightarrow}{MB} \right.$

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{CB} = 3\overset{\rightarrow}{MB}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{BM} = \dfrac{1}{3}\overset{\rightarrow}{CB} \right.$.

Do đó: $\overset{\rightarrow}{AM} = \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{BM} = \overset{\rightarrow}{AB} + \dfrac{1}{3}\overset{\rightarrow}{CB} = \overset{\rightarrow}{AB} - \dfrac{1}{3}\overset{\rightarrow}{BC}$.

Tính số trung bình, phương sai và suy ra độ lệch chuẩn.

$\overline{x} = \dfrac{6.1 + 7.1 + 8.2 + 9.5 + 10.3 + 11.3 + 12.2 + 13.2 + 14.1}{20} = 10,05$.

$s^{2} = \dfrac{1}{20}\left( {1.6^{2} + 1.7^{2} + 2.8^{2} + 5.9^{2} + 3.10^{2} + 3.11^{2} + 2.12^{2} + 2.13^{2} + 1.14^{2}} \right) - 10,05^{2} = 4,1475$.

$s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{4,1475} \approx 2,04$.

Sử dụng tính chất góc bù $\sin(180^{o} - \alpha) = \sin\alpha$, suy ra $\cos\alpha$ và tính giá trị biểu thức.

Ta có $\sin\alpha = \sin(180^{o} - \alpha) = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$.

Do $90^{o} < \alpha < 180^{o}$ nên $\cos\alpha = - \sqrt{1 - \sin^{2}\alpha} = \sqrt{1 - \left( \dfrac{\sqrt{7}}{4} \right)^{2}} = - \dfrac{3}{4}$.

Thay vào biểu thức ta được $A = 2\left( {- \dfrac{3}{4}} \right) - 3\left( \dfrac{\sqrt{7}}{4} \right)^{3} \approx - 2,4$.

Xác định đường thẳng biên đi qua hai điểm trên hệ trục tọa độ để tìm a, b.

Đường thẳng biên đi qua (2; 0) và (0; 3), suy ra $\left. 2a = 6\Rightarrow a = 3 \right.$ và $\left. 3b = 6\Rightarrow b = 2 \right.$.

Vậy a – 2b = 3 – 2.2 = -1.

Dùng điều kiện cân bằng lực và hệ thức lượng trong tam giác.

Ta có: $\overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}} + \overset{\rightarrow}{F_{3}} = \overset{\rightarrow}{0}$ $\left. \Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}} = - \overset{\rightarrow}{F_{3}} \right.$.

Mà $\overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}} = \overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OB} = \overset{\rightarrow}{OD}$ (OBDA là hình bình hành) $\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{OD} = - \overset{\rightarrow}{F_{3}} \right.$

$\Rightarrow$ Hai vecto $\overset{\rightarrow}{OD}$ và $\overset{\rightarrow}{F_{3}}$ là hai vecto đối nhau $\left. \Rightarrow\left| \overset{\rightarrow}{OD} \right| = \left| {- \overset{\rightarrow}{F_{3}}} \right| \right.$ và $\widehat{BOD} = 60^{o}$.

Ta lại có: $\overset{\rightarrow}{BD} = \overset{\rightarrow}{F_{1}}$. Xét $\Delta OBD$, có:

$OD = \dfrac{BD}{\sin 60^{o}} = 20\sqrt{3}$ N $\left. \Rightarrow\left| \overset{\rightarrow}{F_{3}} \right| = 20\sqrt{3} \approx 34,6 \right.$ N.

Gọi tọa độ điểm M(x; y), lập biểu thức vectơ và giải hệ phương trình tìm tọa độ M, sau đó tính khoảng cách OM.

Gọi M(x; y), ta có $\overset{\rightarrow}{MA} = (2 - x; - 1 - y)$, $\overset{\rightarrow}{MB} = (4 - x;5 - y)$, $\overset{\rightarrow}{MC} = ( - 3 - x; - y)$.

Phương trình vectơ $\overset{\rightarrow}{MA} + 3\overset{\rightarrow}{MB} - \overset{\rightarrow}{MC} = \overset{\rightarrow}{0}$ dẫn đến hệ phương trình:

$\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {2 - x + 3(4 - x) - ( - 3 - x) = 0} \\ {- 1 - y + 3(5 - y) - ( - y) = 0} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {- 3x + 17 = 0} \\ {- 3y + 14 = 0} \end{array} \right.$Leftrightarrow$\left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{17}{3}} \\ {y = \dfrac{14}{3}} \end{array} \right.$ \right..

Tọa độ điểm $M\left( {\dfrac{17}{3};\dfrac{14}{3}} \right)$.

Độ dài đoạn thẳng OM là $OM = \sqrt{\left( \dfrac{17}{3} \right)^{2} + \left( \dfrac{14}{3} \right)^{2}} = \dfrac{\sqrt{485}}{3}$.

Lập hệ bất phương trình, xác định miền nghiệm và tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu tại các đỉnh.

Gọi x, y là số lượng áo trắng và áo đen sản xuất trong một ngày ($x,y \in N$).

Thời gian làm việc tối đa của tổ cắt là 3.8 = 24 giờ, tổ hoàn thiện là 4.8 = 32 giờ.

Ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 1,5x+y\le 24\\ x+2y\le 32\\ 3x-y\ge 0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x \geq 0} \\ {y \geq 0} \\ {1,5x + y \leq 24} \\ {x + 2y \leq 32} \\ {3x - y \geq 0} \end{array} \right.$.

Miền nghiệm là tứ giác OABC với các đỉnh O(0; 0), $A\left( {\dfrac{32}{7};\dfrac{96}{7}} \right)$, B(8; 12), C(16; 0).

Hàm tiền lãi F(x; y) = 15000x + 18000y.

Tính giá trị tại các đỉnh, ta thấy giá trị lớn nhất đạt được tại B(8; 12) với số tiền lãi là 336000 đồng.

Vậy nhà máy cần sản xuất 8 áo trắng và 12 áo đen để tiền lãi thu được là nhiều nhất.

Chia tứ giác ABCD thành hai tam giác BCD và ABD, tính độ dài cạnh chung BD, diện tích từng tam giác và tổng diện tích nhân với đơn giá.

Nối BD, áp dụng định lý côsin trong tam giác BCD:

$BD = \sqrt{CD^{2} + BC^{2} - 2CD.BC.\cos\widehat{BCD}}$

$= \sqrt{4^{2} + 4^{2} - 2.4.4.\cos 120^{o}} = 4\sqrt{3}$ $\left( \text{m}^{2} \right)$.

Tam giác BCD cân tại C suy ra $\widehat{DBC} = 30^{o}$, từ đó $\widehat{ABD} = 100^{o} - 30^{o} = 70^{o}$.

Diện tích tam giác BCD là $S_{\Delta BCD} = \dfrac{1}{2}.4.4.\sin 120^{o} = 4\sqrt{3}$ $\left( \text{m}^{2} \right)$.

Diện tích tam giác ABD là $S_{\Delta ABD} = \dfrac{1}{2}.6.4\sqrt{3}.\sin 70^{o} \approx 19,53114$ $\left( \text{m}^{2} \right)$.

Tổng diện tích mảnh đất là $S_{ABCD} \approx 4\sqrt{3} + 19,53114 \approx 26,45934758$ $\left( \text{m}^{2} \right)$.

Số tiền để lát gạch cả mảnh đất đó là $26,45934758.400000 \approx 10583739$ (đồng).