Đề thi học kì 1 Toán 10 năm 2025 - 2026 trường THPT Hòa Vang - Đà Nẵng

Tọa độ của vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = x\overset{\rightarrow}{i} + y\overset{\rightarrow}{j}$ trong mặt phẳng Oxy là (x; y).

Ta có $\overset{\rightarrow}{u} = 2\overset{\rightarrow}{i} - \overset{\rightarrow}{j} = 2\overset{\rightarrow}{i} + ( - 1)\overset{\rightarrow}{j}$, suy ra tọa độ của vectơ $\overset{\rightarrow}{u}$ là (2; -1).

Sử dụng định lý tổng ba góc trong tam giác để tính góc A và định lý sin trong tam giác: $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$.

Tổng ba góc trong tam giác ABC bằng $180^{o}$, suy ra góc $A = 180^{o} - 135^{o} = 45^{o}$.

Theo định lý sin ta có $\left. \dfrac{BC}{\sin A} = 2R\Rightarrow R = \dfrac{a}{\sin 45^{o}} = \dfrac{a}{2.\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right.$.

Giải bất phương trình $2x + 1 \leq 0$ để tìm tập nghiệm A.

Ta có $\left. 2x + 1 \leq 0\Leftrightarrow 2x \leq - 1\Leftrightarrow x \leq - \dfrac{1}{2} \right.$. Do đó tập hợp $A = \left( {- \infty; - \dfrac{1}{2}} \right\rbrack$.

Độ chính xác d = 0,01 thuộc hàng phần trăm, suy ra hàng quy tròn là hàng phần mười.

Vì độ chính xác đến hàng phần trăm (d = 0,01) nên ta làm tròn số 682,35 đến hàng phần mười, do đó số quy tròn là 682,4.

Phủ định của "$\exists x \in M,P(x)$" là "$\forall x \in M,\overline{P(x)}$".

Mệnh đề phủ định của P là: "$\forall x \in N:x^{2} + 2x + 5$ không là số nguyên tố".

Thay tọa độ từng điểm vào bất phương trình 2x - y + 1 < 0, điểm nào thỏa mãn là nghiệm.

Thay (1; 4) vào bất phương trình: 2. 1 - 4 + 1 = -1 < 0 (đúng).

Số trung vị là giá trị nằm ở vị trí chính giữa của một mẫu số liệu sau khi các giá trị đã được sắp xếp theo thứ tự.

Tổng số học sinh N = 9 + 7 + 6 + 4 + 1 = 27. Vị trí trung vị là số thứ 14 trong dãy. Do đó trung vị bằng 1.

Sử dụng quy tắc 3 điểm: $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{BC} = \overset{\rightarrow}{AC}$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{MN} + \overset{\rightarrow}{NP} + \overset{\rightarrow}{PQ} + \overset{\rightarrow}{QR} + \overset{\rightarrow}{RP}$ $= \overset{\rightarrow}{MP} + \overset{\rightarrow}{PQ} + \overset{\rightarrow}{QR} + \overset{\rightarrow}{RP}$ $= \overset{\rightarrow}{MQ} + \overset{\rightarrow}{QR} + \overset{\rightarrow}{RP}$ $= \overset{\rightarrow}{MR} + \overset{\rightarrow}{RP} = \overset{\rightarrow}{MP}$.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn chỉ chứa hai ẩn x, y và tất cả các ẩn đều có bậc bằng 1.

$\{\begin{array}{l}2x-3y>0\\ 5x+3y+1\le 0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2x - 3y > 0} \\ {5x + 3y + 1 \leq 0} \end{array} \right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Sử dụng công thức $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$ và dấu của $\cos\alpha$ khi $90^{o} < \alpha < 180^{o}$.

Vì $90^{o} < \alpha < 180^{o}$ nên $\cos\alpha < 0$. Ta có $\cos^{2}\alpha = 1 - \sin^{2}\alpha = 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{2} = \dfrac{5}{9}$ $\left. \Rightarrow\cos\alpha = - \dfrac{\sqrt{5}}{3} \right.$.

Liệt kê.

Các tập con gồm 2 phần tử của A là: {1; 3}, {1; 5}, {3; 5}.

Biến đổi $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} = \overset{\rightarrow}{AC}$ theo quy tắc hình bình hành, sau đó dùng tính chất hai đường chéo vuông góc của hình vuông.

Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AD} = \overset{\rightarrow}{AC}$ (do ABCD là hình vuông). Do đó $P = \overset{\rightarrow}{AC}.\overset{\rightarrow}{BD}$. Vì hai đường chéo AC và BD của hình vuông vuông góc với nhau nên $\overset{\rightarrow}{AC}.\overset{\rightarrow}{BD} = 0$. Suy ra P = 0.

Áp dụng định nghĩa hai vectơ bằng nhau, quy tắc trừ vectơ, quy tắc cộng vectơ và tính chất trọng tâm.

a) Sai. Hai vectơ $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{AC}$ không cùng hướng nên không bằng nhau.

b) Sai. Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} - \overset{\rightarrow}{CB} = \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{BC} = \overset{\rightarrow}{AC}$.

c) Đúng. Gọi M là trung điểm BC thì $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} = 2\overset{\rightarrow}{AM}$. Do tam giác ABC đều cạnh a nên $AM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\left| {\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC}} \right| = 2AM = a\sqrt{3}$.

d) Đúng. G là trọng tâm nên $\left. CG = \dfrac{2}{3}CM\Rightarrow MG = \dfrac{1}{3}CM \right.$. Vectơ $\overset{\rightarrow}{CM}$ và $\overset{\rightarrow}{MG}$ ngược hướng nên $\left. \overset{\rightarrow}{CM} = - 3\overset{\rightarrow}{MG}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{CM} + 3\overset{\rightarrow}{MG} = \overset{\rightarrow}{0} \right.$.

Đọc và phân tích thông tin từ bảng tần số.

a) Đúng. Tổng số nhân viên là 5 + 15 + 10 + 6 + 7 = 43.

b) Đúng. Giá trị tiền thưởng nhỏ nhất trong bảng là 7 triệu đồng.

c) Sai. Số nhân viên có tiền thưởng từ 10 triệu trở lên gồm nhóm 10 triệu (6 người) và 11 triệu (7 người), tổng là 6 + 7 = 13 người.

d) Đúng. Giá trị 8 triệu đồng có tần số lớn nhất bằng 15, nên mốt là 8 triệu đồng.

Tính diện tích tam giác $S = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A$, tính BC bằng định lý cosin rồi suy ra $AH = \dfrac{2S}{BC}$.

Ta có $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}.2.1.\sin 60^{o} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2AB.AC.\cos 60^{o}$

$\left. = 2^{2} + 1^{2} - 2.2.1.\dfrac{1}{2} = 3\Rightarrow BC = \sqrt{3} \right.$.

Đường cao $AH = \dfrac{2S_{ABC}}{BC} = \dfrac{2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = 1$.

Vì hai vectơ ngược hướng nên m < 0 và $\left| m \middle| = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{a} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{b} \right|} \right.$.

Do $\overset{\rightarrow}{a},\overset{\rightarrow}{b}$ ngược hướng nên m < 0.

Ta có $\left| m \middle| = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{a} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{b} \right|} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\Rightarrow m = - \dfrac{1}{3} \approx - 0,33 \right.$.

Làm tròn đến hàng phần chục ta được m = -0,3.

Dùng công thức góc giữa hai vectơ: $(\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC}) = 180^{o} - \widehat{B}$ và $(\overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{CA}) = 180^{o} - \widehat{C}$.

Ta có $(\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC}) = 180^{o} - \widehat{B}$ và $(\overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{CA}) = 180^{o} - \widehat{C}$.

Tổng hai góc là $180^{o} - \widehat{B} + 180^{o} - \widehat{C} = 360^{o} - (\widehat{B} + \widehat{C})$.

Do $\widehat{A} = 120^{o}$ nên $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^{o} - 120^{o} = 60^{o}$.

Suy ra tổng cần tính là $360^{o} - 60^{o} = 300^{o}$.

Khoảng biến thiên $R = x_{max} - x_{min}$.

Giá trị lớn nhất $x_{max} = 9,0$. Giá trị nhỏ nhất $x_{min} = 6,1$.

Khoảng biến thiên R = 9,0 - 6,1 = 2,9.

a) Gọi M là trung điểm BC, biểu diễn $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} = 2\overset{\rightarrow}{AM}$ và mối quan hệ giữa $\overset{\rightarrow}{AM}$ và $\overset{\rightarrow}{AG}$.

b) Áp dụng quy tắc hình bình hành và định lý cosin trong tam giác để tính độ lớn lực tổng hợp.

a) Gọi M là trung điểm của BC.

Theo quy tắc trung điểm, ta có $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} = 2\overset{\rightarrow}{AM}$.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overset{\rightarrow}{AM} = \dfrac{3}{2}\overset{\rightarrow}{AG}$.

Suy ra $\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AC} = 2.\dfrac{3}{2}\overset{\rightarrow}{AG} = 3\overset{\rightarrow}{AG}$ (đpcm).

b) Giả sử $\overset{\rightarrow}{F_{1}} = \overset{\rightarrow}{OA}$, $\overset{\rightarrow}{F_{2}} = \overset{\rightarrow}{OB}$ với OA = 100, OB = 120 và $\widehat{AOB} = 60^{o}$.

Lực tổng hợp $\overset{\rightarrow}{F} = \overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}} = \overset{\rightarrow}{OC}$ theo quy tắc hình bình hành OACB.

Trong tam giác OAC, ta có AC = OB = 120 và $\widehat{OAC} = 180^{o} - 60^{o} = 120^{o}$.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAC:

$OC^{2} = OA^{2} + AC^{2} - 2.OA.AC.\cos\widehat{OAC}$

$= 100^{2} + 120^{2} - 2.100.120.\cos 120^{o} = 36400$.

Suy ra $OC = \sqrt{36400} = 20\sqrt{91} \approx 190,8$ (N).

Vậy con thuyền chịu lực tổng hợp có cường độ khoảng 190,8 N.

a) M thuộc Ox nên M(x; 0). Sử dụng điều kiện vuông góc $\overset{\rightarrow}{AM}.\overset{\rightarrow}{AB} = 0$.

b) Gắn hệ trục tọa độ Oxy với gốc A(0; 0), tìm tọa độ các đỉnh và điểm $C_{1},C_{4}$, từ đó tìm tọa độ $C_{3}$ nhờ tỉ lệ vectơ và xác định khoảng cách đến AD.

a) M thuộc trục hoành Ox nên tọa độ M(x; 0).

Ta có $\overset{\rightarrow}{AM} = (x - 2;3)$ và $\overset{\rightarrow}{AB} = (1;7)$.

Để tam giác ABM vuông tại A thì $\overset{\rightarrow}{AM}.\overset{\rightarrow}{AB} = 0$

$\left. \Leftrightarrow(x - 2).1 + 3.7 = 0\Leftrightarrow x - 2 + 21 = 0\Leftrightarrow x = - 19 \right.$.

Vậy M(-19; 0).

b) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho A(0; 0), B(0; 180), C(140; 180), D(200; 0).

Gọi vị trí các cột điện được trồng là $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$, $C_{4}$.

Cột thứ nhất $C_{1}$ nằm trên AB và cách A khoảng 60 m nên $C_{1}(0;60)$.

Cột thứ tư $C_{4}$ là trung điểm CD nên $C_{4}\left( {\dfrac{140 + 200}{2};\dfrac{180 + 0}{2}} \right) = (170;90)$.

Vì 4 cột điện cách đều nhau trên một đường thẳng nên $\overset{\rightarrow}{C_{1}C_{3}} = \dfrac{2}{3}\overset{\rightarrow}{C_{1}C_{4}}$.

Ta có $\left. \overset{\rightarrow}{C_{1}C_{4}} = (170;30)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{C_{1}C_{3}} = \dfrac{2}{3}(170;30) = \left( {\dfrac{340}{3};20} \right) \right.$.

Tọa độ điểm $C_{3}$ là $C_{3}\left( {\dfrac{340}{3};60 + 20} \right) = \left( {\dfrac{340}{3};80} \right)$.

Khoảng cách từ $C_{3}$ đến bờ AD (trục Ox) chính là tung độ của $C_{3}$, bằng 80 m.

a) Tính điểm trung bình cộng của 9 môn cho mỗi bạn.

b) Sắp xếp mẫu số liệu, tính khoảng tứ phân vị $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ của từng bạn để so sánh độ phân tán.

a) Điểm trung bình của bạn Nga:

${\overline{x}}_{A} = \dfrac{9,5 + 8,5 + 9,1 + 9,0 + 9,2 + 9,4 + 9,3 + 9,3 + 7,9}{9} = \dfrac{81,2}{9} \approx 9,02$.

Điểm trung bình của bạn Mai:

${\overline{x}}_{B} = \dfrac{9,3 + 8,8 + 9,5 + 9,1 + 9,5 + 9,8 + 8,3 + 9,5 + 8,2}{9} = \dfrac{81,8}{9} \approx 9,09$.

Vì 9,09 > 9,02 nên bạn Mai có điểm trung bình tất cả các môn cao hơn.

b) Sắp xếp điểm số của bạn Nga theo thứ tự không giảm: 7,9; 8,5; 9,0; 9,1; 9,2; 9,3; 9,3; 9,4; 9,5.

Trung vị $Q_{2} = 9,2$.

Tứ phân vị thứ nhất $Q_{1} = \dfrac{8,5 + 9,0}{2} = 8,75$.

Tứ phân vị thứ ba $Q_{3} = \dfrac{9,3 + 9,4}{2} = 9,35$.

Khoảng tứ phân vị của Nga: $\Delta_{Q(Nga)} = Q_{3} - Q_{1} = 9,35 - 8,75 = 0,6$.

Sắp xếp điểm số của bạn Mai theo thứ tự không giảm: 8,2; 8,3; 8,8; 9,1; 9,3; 9,5; 9,5; 9,5; 9,8.

Trung vị $Q_{2} = 9,3$.

Tứ phân vị thứ nhất $Q_{1} = \dfrac{8,3 + 8,8}{2} = 8,55$.

Tứ phân vị thứ ba $Q_{3} = \dfrac{9,5 + 9,5}{2} = 9,5$.

Khoảng tứ phân vị của Mai: $\Delta_{Q(Mai)} = Q_{3} - Q_{1} = 9,5 - 8,55 = 0,95$.

Vì 0,6 < 0,95 nên bạn Nga học đồng đều các môn hơn.