Đề thi học kì 1 Toán 9 - Đề số 3

Tìm nghiệm tổng quát bằng cách rút, ta cần rút y theo x ($by = c - ax$), từ đó ta giải được $y = \frac{{c - ax}}{b}$ với $b \ne 0$. Đối với trường hợp $b = 0$ thì ta làm ngược lại (rút x theo y ). Thì nghiệm tổng quát có dạng $\left( {x;\frac{{c - ax}}{b}} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tuỳ ý.

Vì $x - 3y = 0$ nên $x = 3y$.

Vậy nghiệm của phương trình $x - 3y = 0$ là $x = 3y,y \in \mathbb{R}$.

Đáp án B

Để giải phương trình tích $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0$ thì ta giải hai phương trình $A\left( x \right) = 0$ và $B\left( x \right) = 0$.

Ta có: $\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0$

+) $2x - 3 = 0$ suy ra $2x = 3$ nên $x = \frac{3}{2}$.

+) $x + 2 = 0$ suy ra $x = - 2$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{3}{2}$; $x = - 2$.

Đáp án A

Bất phương trình dạng $ax + b < c$ (hoặc $ax + b > c;ax + b \le 0;ax + b \ge 0$) trong đó a, b là hai số đã cho, $a \ne 0$ được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

Bất phương trình $- 4x - 2 < 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp án C

Căn bậc hai số học của số dương a là $\sqrt a$.

$\sqrt {25} = 5$.

Đáp án A

Biểu thức $\sqrt A$ xác định khi $A \ge 0$.

Điều kiện xác định của $\sqrt {2x - 1}$ là $2x - 1 \ge 0$ hay $x \ge \frac{1}{2}$.

Đáp án B

Quy đồng và thực hiện phép tính với phân thức để rút gọn.

$\begin{array}{l}\frac{2}{\sqrt{7}-3}-\frac{2}{\sqrt{7}+3}\\ =\frac{2\left(\sqrt{7}+3\right)}{\left(\sqrt{7}-3\right)\left(\sqrt{7}+3\right)}-\frac{2\left(\sqrt{7}-3\right)}{\left(\sqrt{7}-3\right)\left(\sqrt{7}+3\right)}\\ =\frac{2\left(\sqrt{7}+3\right)-2\left(\sqrt{7}-3\right)}{\left(\sqrt{7}-3\right)\left(\sqrt{7}+3\right)}\\ =\frac{2\sqrt{7}+6-2\sqrt{7}+6}{7-9}\\ =\frac{12}{-2}=-6\end{array}$$\begin{array}{l}\frac{2}{{\sqrt 7 - 3}} - \frac{2}{{\sqrt 7 + 3}}\\ = \frac{{2\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {\sqrt 7 + 3} \right) - 2\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)\left( {\sqrt 7 + 3} \right)}}\\ = \frac{{2\sqrt 7 + 6 - 2\sqrt 7 + 6}}{{7 - 9}}\\ = \frac{{12}}{{ - 2}} = - 6\end{array}$

Đáp án C

Sử dụng kiến thức về căn thức bậc ba: $\sqrt[3]{{{A^3}}} = A$.

$\sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = x - 1$.

Đáp án D

Chứng minh tam giác ABC vuông. Sử dụng tính chất của tỉ số lượng giác để tính AH.

Vì $A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225 = {15^2} = B{C^2}$ nên tam giác ABC vuông tại A.

Khi đó $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}$.

Mà tam giác ABH vuông tại H nên $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AH}}{9}$.

Suy ra $\frac{{AH}}{9} = \frac{4}{5}$.

Do đó $AH = 9.\frac{4}{5} = \frac{{36}}{5} = 7,2\left( {cm} \right)$.

Đáp án B

Dựa vào kiến thức về trục đối xứng của đường tròn.

Đường tròn có vô số trục đối xứng.

Đáp án D

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Hình biểu diễn góc ở tâm là Hình 1.

Đáp án A

Cách 1. Vẽ hai đường tròn. Quan sát hình vẽ để xác định.

Cách 2. Dựa vào mối liên hệ giữa khoảng cách hai tâm và bán kính.

Đường tròn (O) có đường kính 8cm nên bán kính là $8:2 = 4cm$.

Cách 1. Vẽ đường tròn (O) và (O’) theo đề bài, ta được hình vẽ sau:

Quan sát hình vẽ ta thấy hai đường tròn tiếp xúc trong.

Cách 2. Vì O’ là trung điểm của OA nên OO’ = 4 : 2 = 2(cm).

Do đó hai đường tròn này tiếp xúc trong với nhau vì $OO' = OA - O'A = 4 - 2 = 2cm$.

Đáp án D

Dựa vào kiến thức về tiếp tuyến của đường tròn.

Hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$ tiếp xúc ngoài thì có 3 tiếp tuyến chung.

Đáp án C

a) Quy đồng và rút gọn phân thức

b) Tính và đưa A về dạng $A = a + \frac{b}{c}$ với a, b là các số nguyên, c là biểu thức chứa x.

c) Từ điều kiện của x để tìm giá trị lớn nhất của A.

a) Với $x \ge 0,x \ne 1$ ta có:

$A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \frac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{x\sqrt x {\rm{\;}} - \sqrt x {\rm{\;}} + x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} - \frac{2}{{x - 1}}} \right)$$A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \frac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}} \right)$

$A = \frac{{x - 1 - 2\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1 - 2}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}$

$A = \frac{{x - 2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}$

$A = \frac{{{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}.\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)$

$A = \frac{{{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}$

$A = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}$.

b) Ta có $A = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1 - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 - \frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x \ge 0} \right).$

Đặt $B = \sqrt x {\rm{\;}} + 1$, để A nguyên khi x nguyên thì B là ước nguyên của 2.

Vì $x \ge 0$ nên $B > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}$, suy ra B là ước nguyên dương của 2.

Ư $\left( 2 \right) = \left\{ {1;2} \right\}$

TH1: $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 = 1$ suy ra $x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)$

TH2: $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 = 2$ suy ra $x = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)$

Vậy $x = 0$ thì A nguyên.

c)  Ta có $A = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 - \frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}$.

Vì $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \ge 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sqrt x {\rm{\;}} \ge 0} \right)$ nên  $\frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \le \frac{2}{1}$

Suy ra $- \frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \ge {\rm{\;}} - 2$

Do đó $1 - \frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \ge {\rm{\;}} - 1$ hay $A \ge {\rm{\;}} - 1$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 0.$

Vậy $\min A = {\rm{\;}} - 1$ khi $x = 0$.

Gọi giá tiền một chiếc bánh và một ly nước lần lượt là $x,y$ nghìn đồng ($x,y \in {\mathbb{N}^*};y > 8$)

Lập hệ phương trình theo x, y.

Giải hệ phương trình đó.

Gọi giá tiền một chiếc bánh và một ly nước lần lượt là $x,y$ nghìn đồng ($x,y \in {\mathbb{N}^*};y > 8$)

Vì Tâm mua $6$ chiếc bánh và $3$ ly nước, Hiếu mua $5$ chiếc bánh và $3$ ly nước nên tổng số bánh và nước hai bạn mua là 11 chiếc bánh và 6 ly nước. Tổng số tiền ăn uống của hai bạn là 252 nghìn đồng nên ta có phương trình: $11x + 6y = 252$.

Vì giá tiền của một ly nước cao hơn giá tiền của một chiếc bánh là $8$ nghìn đồng nên $y - x = 8$ hay $- x + y = 8$.

 Ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}-x+y=8\\ 11x+6y=252\end{array}$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - x + y = 8}\\{11x + 6y = 252}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y = 8 + x}\\{11x + 6\left( {8 + x} \right) = 252}\end{array}} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 8 + x\\17x = 204\end{array} \right.\\\left\{$$\begin{array}{l}x = 12\\y = 8 + 12\end{array}$ \right.\\$\left\{ \begin{array}{l}x = 12(TM)\\y = 20(TM)\end{array} \right.$end{array}

Vậy giá một chiếc bánh là $12$ nghìn đồng, giá một ly nước là $20$ nghìn đồng.

+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: S = $\frac{1}{2}$. chiều cao. đáy tương ứng.

+) Sử dụng công thức tính diện tích hình quạt tròn: $S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}}$.

+) Diện tích hình viên phân = diện tích hình quạt tròn – diện tích hình tam giác.

Vì góc ở tâm $AOB$ bằng $90^\circ$ nên tam giác OAB vuông tại O.

+ Diện tích tam giác $OAB$ là:

${S_1} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

+ Do sđ $\overset\frown{AB}=\widehat{AOB}=90{}^\circ$ nên diện tích hình quạt tròn $OAB$ tương ứng là:

${S_2} = \frac{{\pi \cdot {2^2} \cdot 90}}{{360}} = \pi \left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Suy ra diện tích hình viên phân là:

${S_3} = {S_2} - {S_1} = \pi - 2\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Diện tích của họa tiết trang trí đó là:

$S = 2{S_3} = 2\left( {\pi - 2} \right) \approx 2,28\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện tích của họa tiết trang trí đó khoảng $2,28d{m^2}$.

Vận dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai đường tròn không cắt nhau.

Từ A kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn, tiếp tuyến này cắt DE tại I.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có ID = IA = IE nên $\Delta DAE$ vuông tại A. Suy ra $\widehat {DAE} = 90^\circ$.

b) Vì AB và AC là các đường kính của (O) và (O’) nên $\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ$.

Suy ra $\widehat {ADM} = \widehat {AEM} = 90^\circ$.

Mà $\widehat {DAE} = 90^\circ$ nên tứ giác ADME là hình chữ nhật.

c) Vì tứ giác ADME là hình chữ nhật nên 3 điểm M, I, A thẳng hàng.

Do vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường trong (O); (O’).

Giải thích đề bài: Khi bánh xe chạm tới bức tường thì không thể di chuyển vào thêm được nữa. Điều này có nghĩa khoảng cách của tâm bánh xe đến góc tường ngắn nhất là khi bánh xe tiếp xúc với bức tường và mặt đất.

Khi đó mặt tường và mặt đất là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn biểu diễn bánh xe.

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để tính số đo góc OAB.

Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tính khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường.

Ta có: OA = OC = 20cm.

Khi bánh xe chạm tới bức tường thì không thể di chuyển vào thêm được nữa. Điều này có nghĩa khoảng cách của tâm bánh xe đến góc tường ngắn nhất là khi bánh xe tiếp xúc với bức tường và mặt đất.

Gọi AB và AC là hai đoạn biểu diễn mặt tường và mặt đất tiếp xúc với đường tròn (O), khi đó AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A của đường tròn (O).

Vì $\widehat {BAC} = 60^\circ$ nên $\widehat {BAO} = \widehat {CAO} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Xét tam giác ABO vuông tại B (vì AB là tiếp tuyến của (O) nên $AB \bot OB$), ta có:

$\sin BAO = \frac{{OB}}{{AO}}$ (tỉ số lượng giác trong tam giác vuông)

Suy ra $AO = \frac{{OB}}{{\sin BAO}} = \frac{{20}}{{\sin 30^\circ }} = 40\left( {cm} \right)$

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ bánh xe đến góc tường là 40cm.