Đề thi giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 12

Giải phương trình tích và xác định số nghiệm.

$(x^{2} - 16)( - 3x + 7) = 0$

$(x - 4)(x + 4)( - 3x + 7) = 0$

TH1: $x - 4 = 0$

$x = 4$

TH2: $x + 4 = 0$

$x = - 4$

TH3: $- 3x + 7 = 0$

$x = \dfrac{7}{3}$

Vậy phương trình trên có 3 nghiệm $x \in \left\{ {- 4;4;\dfrac{7}{3}} \right\}$.

Cho mẫu thức khác 0 để tìm điều kiện.

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}x-3\mathrm{\ne }0\\ x\mathrm{\ne }0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x - 3 \neq 0} \\ {x \neq 0} \end{array} \right.$ hay $\{\begin{array}{l}x\mathrm{\ne }3\\ x\mathrm{\ne }0\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x \neq 3} \\ {x \neq 0} \end{array} \right.$

Giải bất phương trình (chuyển vế đổi dấu).

$\begin{array}{l}-3x+7>2\\ -3x>-5\\ x<{\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}$$\begin{array}{l} {- 3x + 7 > 2} \\ {- 3x > - 5} \\ {x < \dfrac{5}{3}} \end{array}$

Thay lần lượt các cặp số vào phương trình.

Ta thay lần lượt các cặp số ở đáp án A,B,C,D vào phương trình có:

+) $2.4 + 3.4 = 4$

+) $- 2.( - 2) + 3.0 = 4$

+) $- 2.1 + 3.2 = 4$

+) $- 2.2 + 3.( - 5) \neq 4$

Vậy cặp số $(2; - 5)$ không là nghiệm của phương trình $- 2x + 3y = 4$

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Áp dụng định lí Pythagore.

Xét $\Delta MNP$ vuông tại $M$ có:

$\cos N = \dfrac{MN}{NP} = \dfrac{2}{3}$ (Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông)

hay $\dfrac{13}{NP} = \dfrac{2}{3}$ suy ra $NP = \dfrac{12.3}{2} = 18$

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $MNP$ có:

$NP^{2} = MN^{2} + MP^{2}$

Hay $18^{2} = 12^{2} + MP^{2}$

$MP^{2} = 18^{2} - 12^{2} = 180$

Suy ra $MP = 6\sqrt{5}$

Áp dụng định lí Pythagore và tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có:

$\begin{array}{l}B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\\ B{C}^2={12}^2+9^2=225\end{array}$$\begin{array}{l} {BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}} \\ {BC^{2} = 12^{2} + 9^{2} = 225} \end{array}$

Suy ra $BC = 15\text{~cm}$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{9}{15} = 0,6$

$\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{12}{15} = 0,8$

$\tan C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}$

$\cot C = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$

Gọi ẩn, từ đó xác định bất phương trình.

Gọi $x$ là số quyển vở Nam muốn mua ($x \in {\mathbb{N}}^{*}$)

Số tiền Nam mua một cái bút chì và một số quyển vở là: $4000 + 6200x$ (đồng)

Vì bạn Nam có $60000$ đồng nên ta có bất phương trình:

$4000 + 6200x \leq 60000$

$6200x \leq 56000$

$x \leq 9,03$

Vậy bạn Nam có thể mua được nhiều nhất 9 quyển vở.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Xét $\Delta MNP$ vuông tại $M$ có:

$MP = MN \cdot \tan N = MN \cdot \cot P$

$MP = NP \cdot \sin N = NP \cdot \cos P$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, có:

$\tan C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{7}{4}$ (Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông)

Suy ra $\widehat{C} \approx 60^{{^\circ}}15'$

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{3}}=1\\ 5x-8y=3\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1} \\ {5x - 8y = 3} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}3x-2y=6\\ 5x-8y=3\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {3x - 2y = 6} \\ {5x - 8y = 3} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{ll}12x-8y=24& (1)\\ 5x-8y=3& (2)\end{array}$$\begin{cases} {12x - 8y = 24} & {(1)} \\ {5x - 8y = 3} & {(2)} \end{cases}$

Trừ vế với vế của hai phương trình (1) và (2), ta được:

$(12x - 8y) - (5x - 8y) = 24 - 3$

$12x - 8y - 5x + 8y = 21$

$7x = 21$ hay $x = 3$

Thay $x = 3$ vào phương trình (2) ta được: $5 \cdot 3 - 8y = 3$ hay $y = \dfrac{3}{2}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x,y) = \left( {3;\dfrac{3}{2}} \right)$

Thay $x = 2$ vào các bất phương trình và kết luận.

Thay $x = 2$ vào lần lượt các bất phương trình A, B, C, D, ta được:

$7 - 2 < 2 \cdot 2$ (vô lí)

$2 \cdot 2 + 3 > 9$ (vô lí)

$- 4 \cdot 2 \geq 2 + 5$ (vô lí)

$5 - 2 > 6 \cdot 2 - 12$ (TM)

Vậy giá trị $x = 2$ là nghiệm của bất phương trình $5 - x > 6x - 12$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$\sin B = \dfrac{AC}{BC}$

$\tan B = \dfrac{AC}{AB}$

$\cos B = \dfrac{AB}{BC}$

a) Chứng minh $\Delta ABH \backsim \Delta CBA\text{~(g}\text{.g)}$

b) Từ hệ thức câu a) tính cạnh $AB$

c) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ tính $\cos\widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}$

d) Chứng minh $\Delta ABK \backsim \Delta MBA\text{~(g}\text{.g)}$. Từ đó kết hợp với câu a) để kết luận

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CBA$ có:

$\widehat{ABC}$ chung

$\widehat{AHB} = \widehat{CAB} = 90^{{^\circ}}$

Suy ra $\Delta ABH \backsim \Delta CBA\text{~(g}\text{.g)}$

Khi đó $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BH}{AB}$ (Hai cạnh tương ứng)

hay $AB^{2} = BH \cdot BC$

b) Ta có: $AB^{2} = BH \cdot BC = 2 \cdot (6 + 2) = 16$

Suy ra $AB = 4\text{~cm}$

c) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$\cos\widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ (Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông)

Suy ra $\widehat{ABC} = 60^{{^\circ}}$

d) Xét $\Delta ABK$ và $\Delta MBA$ có:

$\widehat{ABM}$ chung

$\widehat{AKB} = \widehat{MAB} = 90^{{^\circ}}$

Suy ra $\Delta ABK \backsim \Delta MBA\text{~(g}\text{.g)}$

Khi đó $\dfrac{AB}{BM} = \dfrac{BK}{AB}$ hay $AB^{2} = BK \cdot BM$

Vậy \(BK \cdot BM = BH \cdot BC\mspace{6mu}( = AB^{2})\)

a) Ban tổ chức đã bán được 600 vé nên ta lập được phương trình

b) Vé loại $A$ giá 120 000 đồng, vé loại $B$ giá 90 000 đồng và thu được 61 500 000 đồng nên ta lập được phương trình

c) Giải hệ phương trình

d) Số tiền bán vé loại B $= y \cdot 350$

a) Ban tổ chức đã bán được 600 vé nên $x + y = 600$

b) Vé loại $A$ giá 120 000 đồng, vé loại $B$ giá 90 000 đồng và thu được 61 500 000 đồng từ việc bán vé nên ta có phương trình $120000x + 90000y = 61500000$

c) Ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y=600\\ 120000x+90000y=61500000\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 600} \\ {120000x + 90000y = 61500000} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}x+y=600\\ 4x+3y=2050\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 600} \\ {4x + 3y = 2050} \end{array} \right.$

Giải hệ phương trình trên ta được $\{\begin{array}{l}x=250\\ y=350\end{array}\text{ (tm)}$$\left\{ \begin{array}{l} {x = 250} \\ {y = 350} \end{array} \right.$text{~(tm)}

d) Số tiền bán vé loại B là: $90000 \cdot 350 = 31500000$ (đồng)

Gọi vận tốc dự định của ô tô là $x\text{~(km/h)}$, thời gian dự định của ô tô là $y$ (giờ)

Từ đó lập hệ phương trình và giải.

Gọi vận tốc dự định của ô tô là $x\text{~(km/h)}$, thời gian dự định của ô tô là $y$ (giờ)

ĐK: \(x > 10;\mspace{6mu} y > 1,5\)

Vận tốc sau khi tăng thêm là: $x + 10\text{~(km/h)}$

Vì đến nơi sớm hơn $1$ giờ nên thời gian đi là: $y - 1$ (giờ)

Quãng đường di chuyển là như nhau nên ta có phương trình: $xy = (x + 10)(y - 1)\quad(1)$

Vận tốc sau khi giảm đi là: $x - 10\text{~(km/h)}$

Vì đến nơi chậm mất $1,5$ giờ nên thời gian đi là: $y + 1,5$ (giờ)

Quãng đường di chuyển là như nhau nên ta có phương trình: $xy = (x - 10)(y + 1,5)\quad(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}xy=(x+10)(y-1)\\ xy=(x-10)(y+1,5)\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {xy = (x + 10)(y - 1)} \\ {xy = (x - 10)(y + 1,5)} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}xy=xy-x+10y-10\\ xy=xy+1,5x-10y-15\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {xy = xy - x + 10y - 10} \\ {xy = xy + 1,5x - 10y - 15} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}x-10y=-10\\ -1,5x+10y=-15\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x - 10y = - 10} \\ {- 1,5x + 10y = - 15} \end{array} \right.$

Giải hệ phương trình ta được $\{\begin{array}{l}x=50\\ y=6\end{array}\text{ (TM)}$$\left\{ \begin{array}{l} {x = 50} \\ {y = 6} \end{array} \right.$text{~(TM)}

Vậy quãng đường mà ô tô cần di chuyển từ Hà Nội đi Lào Cai là $50 \cdot 6 = 300\text{~(km)}$.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có: $AC = BC.\sin B = 12.\sin 60{^\circ} \approx 10,4\ (m)$

Tính diện tích phần vườn rau và giải bất phương trình.

Chiều rộng vườn rau là: $6 - 1 - 1 = 4\text{~(m)}$

Chiều dài vườn rau là: $x - 1 - 1 = x - 2\text{~(m)}$

Diện tích vườn rau là: $4(x - 2)\text{~(m}^{2}\text{)}$

Bác muốn diện tích phần đất trồng rau không dưới $50\text{~m}^{2}$ nên ta có bất phương trình:

$4(x - 2) \geq 50$

$4x - 8 \geq 50$

$4x \geq 58$

$x \geq 14,5$

Vậy chiều dài mảnh đất tối thiểu bằng $15\text{m}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có: $AC = AB.\tan B = 15.\tan 55{^\circ} \approx 21,4\ (m)$

a) Giải phương trình tích

b) Đặt điều kiện, quy đồng với $\text{MTC}:x(x + 1)$, từ đó quy về phương trình bậc nhất một ẩn để giải

c) Chuyển vế đổi dấu và giải bất phương trình

d) Quy đồng khử mẫu và đưa về bất phương trình bậc nhất một ẩn để giải

a) $5x(2x - 3) = 0$

Để giải phương trình trên ta giải hai phương trình sau:

+) $5x = 0$ hay $x = 0$

+) $2x - 3 = 0$ hay $x = \dfrac{3}{2}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 0$ và $x = \dfrac{3}{2}$

b) $\dfrac{3x + 5}{x + 1} + \dfrac{2}{x} = 3$

ĐKXĐ: \(x \neq 0;\mspace{6mu} x \neq - 1\)

$\dfrac{x(3x + 5)}{x(x + 1)} + \dfrac{2(x + 1)}{x(x + 1)} = \dfrac{3x(x + 1)}{x(x + 1)}$

$3x^{2} + 5x + 2x + 2 = 3x^{2} + 3x$

$4x = - 2$

$x = - \dfrac{1}{2}\text{~(TMDK)}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - \dfrac{1}{2}$

c) $9 - 3x \leq 0$

$- 3x \leq - 9$

$x \geq 3$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \geq 3$

d) $\dfrac{x - 1}{4} - 1 > \dfrac{x + 1}{3} + 8$

$\dfrac{x - 1 - 4}{4} > \dfrac{x + 1 + 24}{3}$

$\dfrac{3(x - 5)}{12} > \dfrac{4(x + 25)}{12}$

$3x - 15 > 4x + 100$

$- x > 115$

$x < - 115$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < - 115$

a) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn

b) Chứng minh tam giác đồng dạng để có các cặp cạnh tỉ lệ

a) Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 24^{2} + 32^{2} = 1600$

$BC = 40\text{~(cm)}$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:

$\sin C = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{24}{40} = 0,6;\ \cos C = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{32}{40} = 0,8$ (Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông)

b) Vì $DE$ là đường trung trực của $BC$ nên $EC = EB = \dfrac{BC}{2} = 20\text{~(cm)}$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta EDC$ có:

$\widehat{BAC} = \widehat{DEC} = 90^{{^\circ}}$

$\widehat{C}$ chung

Suy ra $\Delta ABC \backsim \Delta EDC\text{~(g}\text{.g)}$

Khi đó $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AC}{EC}$ (Hai cạnh tương ứng)

hay $DE = \dfrac{AB \cdot EC}{AC} = \dfrac{24 \cdot 20}{32} = 15\text{~(cm)}$