Đề thi giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 13

Để giải phương trình tích, ta giải hai phương trình bậc nhất.

Để giải phương trình $x(x - 2) = 0$, ta giải hai phương trình sau:

+) $x = 0$

+) $x - 2 = 0$ hay $x = 2$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 0;\mspace{6mu} x = 2\).

Bất phương trình dạng $ax + b < 0$ (hoặc \(ax + b > 0;\mspace{6mu} ax + b \leq 0;\mspace{6mu} ax + b \geq 0\)) trong đó $a, b$ là hai số đã cho, $a \neq 0$ được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

$\dfrac{1}{3}x + 2 < 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Nếu hai góc phụ nhau thì tan góc này bằng cot góc kia.

Vì $\alpha + \beta = 90^{{^\circ}}$ nên $\tan\alpha = \cot\beta$.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Gọi $B'$ là điểm đến (bờ bên kia) của người chèo thuyền.

Xét tam giác $ABB'$ vuông tại $B$ có:

$BB' = BA \cdot \tan\widehat{B^{\prime}AB} = 50 \cdot \tan 45^{{^\circ}} = 50\text{~(m)}$

Vậy người đó bơi sang bờ tại $B'$ cách vị trí dự định $B$ là $50\text{~m}$

Thay \(x = 0;\mspace{6mu} y = 0\) vào phương trình đường thẳng $(d)$

Thay \(x = 0;\mspace{6mu} y = 0\) vào $(d)$, ta được:

$\begin{array}{l}(2m-4)\cdot 0+(m-1)\cdot 0=m-5\\ m-5=0\\ m=5\end{array}$$\begin{array}{l} {(2m - 4) \cdot 0 + (m - 1) \cdot 0 = m - 5} \\ {m - 5 = 0} \\ {m = 5} \end{array}$

Vậy với $m = 5$ thì đường thẳng $(d)$ đi qua gốc tọa độ

Giải hệ phương trình và chọn khẳng định đúng

$\{\begin{array}{ll}2x-4y=-2& (1)\\ 2x-y=-1& (2)\end{array}$$\begin{cases} {2x - 4y = - 2} & {(1)} \\ {2x - y = - 1} & {(2)} \end{cases}$

Trừ theo từng vế của phương trình $(2)$ cho $(1)$ ta được: $3y = 1$ hay $y = \dfrac{1}{3}$

Suy ra $2x - \dfrac{1}{3} = - 1$

$\begin{array}{l}2x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$\begin{array}{l} {2x = - \dfrac{2}{3}} \\ {x = - \dfrac{1}{3}} \end{array}$

Vậy khẳng định đúng là: Hệ có nghiệm $(x;y) = \left( {- \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ ($a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$)

Phương trình $2x + \dfrac{y}{2} = 1$ là phương trình bậc nhất hai ẩn

Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có: $\cot C = \dfrac{HC}{HA}$.

a) Giải phương trình tích

b) Đặt điều kiện, quy đồng với MTC: $x^{2} - 4$ từ đó quy về phương trình bậc nhất một ẩn để giải

c) Chuyển vế đổi dấu và giải bất phương trình

d) Quy đồng khử mẫu và đưa về bất phương trình bậc nhất một ẩn để giải

a) $(x - 3)(2x + 1) = 0$

Để giải phương trình trên ta giải hai phương trình sau:

+) $x - 3 = 0$ hay $x = 3$

+) $2x + 1 = 0$ hay $x = - \dfrac{1}{2}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 3$ và $x = - \dfrac{1}{2}$

b) $\dfrac{x + 2}{x - 2} - \dfrac{x - 2}{x + 2} = \dfrac{16}{x^{2} - 4}$

ĐKXĐ: \(x \neq 2;\mspace{6mu} x \neq - 2\)

$\dfrac{(x + 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} - \dfrac{(x - 2)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \dfrac{16}{(x - 2)(x + 2)}$

${(x + 2)}^{2} - {(x - 2)}^{2} = 16$

$x^{2} + 4x + 4 - (x^{2} - 4x + 4) = 16$

$x^{2} + 4x + 4 - x^{2} + 4x - 4 = 16$

$8x = 16$

$x = 2$ (Không TMĐK)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $5 - \dfrac{1}{3}x < 1$

$- \dfrac{1}{3}x < 1 - 5$

$\begin{array}{l}-{\displaystyle \frac{1}{3}}x<-4\\ x>12\end{array}$$\begin{array}{l} {- \dfrac{1}{3}x < - 4} \\ {x > 12} \end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > 12$

d) $\dfrac{2x - 3}{3} \leq \dfrac{3x - 2}{4}$

$4(2x - 3) \leq 3(3x - 2)$

$8x - 12 \leq 9x - 6$

$8x - 9x \leq - 6 + 12$

$\begin{array}{l}-x\le 6\\ x\ge -6\end{array}$$\begin{array}{l} {- x \leq 6} \\ {x \geq - 6} \end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \geq - 6$.

Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

a) $\{\begin{array}{ll}-x+3y=-10& (1)\\ x-5y=16& (2)\end{array}$$\begin{cases} {- x + 3y = - 10} & {(1)} \\ {x - 5y = 16} & {(2)} \end{cases}$

Cộng theo từng vế của phương trình $(1)$ và $(2)$ ta được:

$- 2y = 6$ hay $y = - 3$

Thay $y = - 3$ vào phương trình $(1)$ ta được:

$\begin{array}{l}-x+3\cdot (-3)=-10\\ -x-9=-10\\ x=1\end{array}$$\begin{array}{l} {- x + 3 \cdot ( - 3) = - 10} \\ {- x - 9 = - 10} \\ {x = 1} \end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (1; - 3)$.

b) $\{\begin{array}{l}(x+y)+(x+2y)=-2\\ 3(x+y)+(x-2y)=1\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {(x + y) + (x + 2y) = - 2} \\ {3(x + y) + (x - 2y) = 1} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{ll}2x+3y=-2& (1)\\ 4x+y=1& (2)\end{array}$$\begin{cases} {2x + 3y = - 2} & {(1)} \\ {4x + y = 1} & {(2)} \end{cases}$

Từ phương trình $(2)$ ta có: $y = 1 - 4x\quad(3)$

Thế $(3)$ vào $(1)$ ta được:

$2x + 3(1 - 4x) = - 2$

$2x + 3 - 12x = - 2$

$\begin{array}{l}-10x=-5\\ x={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$\begin{array}{l} {- 10x = - 5} \\ {x = \dfrac{1}{2}} \end{array}$

Thay $x = \dfrac{1}{2}$ vào $(3)$ ta được: $y = 1 - 4 \cdot \dfrac{1}{2} = - 1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$

Gọi $x$ (tấn) là năng suất trên một ha của giống lúa mới và $y$ (tấn) là năng suất trên một ha của giống lúa cũ ($x,y > 0$).

Từ đó biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết để tìm hệ phương trình.

Gọi $x$ (tấn) là năng suất trên một ha của giống lúa mới và $y$ (tấn) là năng suất trên một ha của giống lúa cũ ($x,y > 0$).

Trên một cánh đồng cấy $60\text{~ha}$ lúa giống mới và $40\text{~ha}$ lúa giống cũ thu hoạch được tất cả $460$ tấn thóc nên ta có phương trình:

$60x + 40y = 460$ hay $3x + 2y = 23\quad(1)$

Vì $3\text{~ha}$ trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn $4\text{~ha}$ lúa cũ là $1$ tấn nên ta có phương trình:

$4y - 3x = 1\quad(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{ll}3x+2y=23& (1)\\ -3x+4y=1& (2)\end{array}$$\begin{cases} {3x + 2y = 23} & {(1)} \\ {- 3x + 4y = 1} & {(2)} \end{cases}$

Cộng theo từng vế của phương trình $(1)$ và $(2)$ ta được:

$6y = 24$ hay $y = 4$ (TMĐK)

Thế $y = 4$ vào $(1)$ ta được: $3x + 2 \cdot 4 = 23$ suy ra $x = 5$ (TMĐK).

Vậy năng suất trên $1\text{~ha}$ của giống lúa mới là $5$ tấn và năng suất trên $1\text{~ha}$ của giống lúa cũ là $4$ tấn.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn.

a) Ta có $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^{{^\circ}}$ nên $\widehat{C} = 90^{{^\circ}} - 30^{{^\circ}} = 60^{{^\circ}}$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:

$AC = AB \cdot \tan B = 6 \cdot \tan 30^{{^\circ}} = 2\sqrt{3}\text{~(cm)}$

$BC = \dfrac{AB}{\cos B} = \dfrac{6}{\cos 30^{{^\circ}}} = 4\sqrt{3}\text{~(cm)}$

b) Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$ có:

$AH = AB \cdot \sin B = 6 \cdot \sin 30^{{^\circ}} = 3\text{~(cm)}$

$HB = AB \cdot \cos B = 6 \cdot \cos 30^{{^\circ}} = 3\sqrt{3}\text{~(cm)}$

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\text{~(cm)}$

Lại có: $HM = HB - MB = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\text{~(cm)}$

Vậy diện tích tam giác $AHM$ là:

$S_{\Delta AHM} = \dfrac{AH \cdot MH}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{~(cm}^{2}\text{)}$

Để ý ta thấy, với $a = b$ thì dấu đẳng thức xảy ra nên ta tách các hạng tử để tạo ra nhân tử chung ${(a - b)}^{2}$

Ta có:

$2(a^{4} + b^{4}) \geq ab^{3} + a^{3}b + 2a^{2}b^{2}$

$a^{4} - 2a^{2}b^{2} + b^{4} + a^{4} - a^{3}b + b^{4} - ab^{3} \geq 0$

${(a^{2} - b^{2})}^{2} + a^{3}(a - b) - b^{3}(a - b) \geq 0$

${(a^{2} - b^{2})}^{2} + (a^{3} - b^{3})(a - b) \geq 0$

${(a - b)}^{2}{(a + b)}^{2} + (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})(a - b) \geq 0$

${(a - b)}^{2}\left\lbrack {{(a + b)}^{2} + (a^{2} + ab + b^{2})} \right\rbrack \geq 0$

${(a - b)}^{2}\left( {a^{2} + 2ab + b^{2} + a^{2} + ab + b^{2}} \right) \geq 0$

${(a - b)}^{2}(2a^{2} + 3ab + 2b^{2}) \geq 0$

${(a - b)}^{2}\left\lbrack {\dfrac{3}{2}{(a + b)}^{2} + \dfrac{1}{2}a^{2} + \dfrac{1}{2}b^{2}} \right\rbrack \geq 0$

Vì ${(a - b)}^{2} \geq 0$ và $\left\lbrack {\dfrac{3}{2}{(a + b)}^{2} + \dfrac{1}{2}a^{2} + \dfrac{1}{2}b^{2}} \right\rbrack \geq 0$ với mọi $a,b \in {\mathbb{R}}$ nên bất đẳng thức luôn đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b$