Đề thi giữa học kì 1 Toán 9- Đề số 11

a) Đưa về phương trình tích và giải.

b) Đặt điều kiện xác định, quy đồng với Mẫu thức chung (MTC): $x(x - 1)$, từ đó đưa về phương trình bậc nhất một ẩn và giải.

c) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

a) $2x(x + 6) + 5(x + 6) = 0$

$(2x + 5)(x + 6) = 0$

TH1: $2x + 5 = 0$

Suy ra $x = \dfrac{- 5}{2}$

TH2: $x + 6 = 0$

Suy ra $x = - 6$

Vậy nghiệm của phương trình $x \in \left\{ {\dfrac{- 5}{2}; - 6} \right\}$

b) $\dfrac{4}{x(x - 1)} + \dfrac{3}{x} = \dfrac{4}{x - 1}$

ĐKXĐ: $x \neq 0;x \neq 1$

$\dfrac{4}{x(x - 1)} + \dfrac{3(x - 1)}{x(x - 1)} = \dfrac{4x}{x(x - 1)}$

$4 + 3x - 3 = 4x$

$x = 1$ (không thỏa mãn)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $\{\begin{array}{ll}x-y=0& (1)\\ 2x+y=-5& (2)\end{array}$$\begin{cases} {x - y = 0} & {(1)} \\ {2x + y = - 5} & {(2)} \end{cases}$

Cộng theo từng vế của phương trình (1) và (2), ta được:

$(x - y) + (2x + y) = 0 + ( - 5)$

$x - y + 2x + y = - 5$

$3x = - 5$

$x = \dfrac{- 5}{3}$

Thay $x = - \dfrac{5}{3}$ vào phương trình (1), ta được:

$- \dfrac{5}{3} - y = 0$ suy ra $y = - \dfrac{5}{3}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( {- \dfrac{5}{3}; - \dfrac{5}{3}} \right)$

a) Chuyển vế đổi dấu và giải bất phương trình.

b) Quy đồng, khử mẫu và giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.

a) $- 3x + 6 < 0$

$- 3x < - 6$

$x > 2$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > 2$.

b) $x - \dfrac{5x}{6} - 3 > \dfrac{x}{3} - \dfrac{x}{6}$

$\dfrac{6x}{6} - \dfrac{5x}{6} - \dfrac{18}{6} > \dfrac{2x}{6} - \dfrac{x}{6}$

$6x - 5x - 18 > 2x - x$

$x - 18 > x$

$0x > 18$

$0 > 18$ (Vô lý)

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

a) Gọi chiều dài hoặc chiều rộng là $x\text{~(m,~}x > 0)$

Khi đó ta tìm được phương trình, đưa phương trình về dạng phương trình tích để giải

b) Gọi vận tốc của xe đi từ A là $x$; vận tốc của xe đi từ B là $y\text{~(km/h;~}x,y > 0)$

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

Lập và giải hệ phương trình

a) Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là:

$42:2 = 21\text{~(m)}$

Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là $x\text{~(m,~}x > 0)$

Khi đó chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là $21 - x\text{~(m)}$

Khi giảm chiều dài đi $2\text{~m}$ và tăng chiều rộng thêm $1\text{~m}$ thì chiều dài và chiều rộng lúc sau lần lượt là:

$x - 2\text{~(m)}, 22 - x\text{~(m)}$

Diện tích mảnh đất lúc sau là $100\text{~m}^{2}$ nên ta có phương trình:

$(x - 2)(22 - x) = 100$

$22x - x^{2} - 44 + 2x = 100$

$24x - x^{2} - 44 - 100 = 0$

$- x^{2} + 24x - 144 = 0$

$x^{2} - 24x + 144 = 0$

${(x - 12)}^{2} = 0$

$(x - 12)(x - 12) = 0$

$x = 12\text{~(TMÐK)}$

Vậy diện tích mảnh đất ban đầu là:

$12 \cdot (21 - 12) = 12 \cdot 9 = 108\text{~(m}^{2}\text{)}$

b) Gọi vận tốc của xe đi từ A là $x$; vận tốc của xe đi từ B là $y\text{~(km/h;~}x,y > 0)$

Hai xe gặp nhau sau $1\text{h}$ nên ta có phương trình: $x + y = 70\quad(1)$

Vận tốc xe đi từ A lớn hơn vận tốc xe đi từ B là $10\text{~km/h}$ nên ta có: $x - y = 10\quad(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y=70\\ x-y=10\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x + y = 70} \\ {x - y = 10} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}2x=80\\ y=x-10\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {2x = 80} \\ {y = x - 10} \end{array} \right.$

$\{\begin{array}{l}x=40\\ y=30\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} {x = 40} \\ {y = 30} \end{array} \right.$ (TMĐK)

Vậy vận tốc xe đi từ A là $40\text{~km/h}$ và vận tốc của xe đi từ B là $30\text{~km/h}$

1) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

2) a) Áp dụng định lí Pythagore

b) Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn

c) Chứng minh tam giác đồng dạng và sử dụng tỉ số lượng giác

1) Ta có: $\widehat{BCA} = 38^{{^\circ}}$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AC = AB \cdot \cot C = (25 + 16) \cdot \cot 38^{{^\circ}} \approx 52,48\text{~(m)}$

2)

a) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:

$\begin{array}{l}B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\\ B{C}^2=6^2+8^2=100\\ BC=10\text{ (cm)}\end{array}$$\begin{array}{l} {BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}} \\ {BC^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100} \\ {BC = 10\text{~(cm)}} \end{array}$

b) Ta có:

$\left.$$\left\{ \begin{array}{l} {\widehat{AHE} + \widehat{HAE} = 90^{{^\circ}}} \\ {\widehat{B} + \widehat{HAE} = 90^{{^\circ}}} \end{array} \right.$Rightarrow\widehat{AHE} = \widehat{B} \right.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\sin\widehat{AHE} = \sin\widehat{B} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = 0,8$

c) Xét $\Delta HBE$ và $\Delta ABH$ có:

$\widehat{BEH} = \widehat{AHB} = 90^{{^\circ}}$

$\widehat{B}$ chung

Do đó, $\Delta HBE \backsim \Delta ABH\text{~(g}\text{.g)}$

Khi đó: $\dfrac{BH}{AB} = \dfrac{BE}{BH}$ (hai cạnh tương ứng)

hay $BH^{2} = BE \cdot BA$

Xét tam giác $BEH$ vuông tại $E$, ta có:

$\cos B = \dfrac{BE}{BH}$ (Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông)

Suy ra $\cos^{2}B = \dfrac{BE^{2}}{BH^{2}} = \dfrac{BE^{2}}{BE \cdot BA} = \dfrac{BE}{BA}$

Diện tích phần còn lại = Diện tích cả khu đất hình vuông – Diện tích vườn rau.

Từ đó xác định và giải bất phương trình.

Diện tích khu đất hình vuông là:

$25 \cdot 25 = 625\text{~(m}^{2}\text{)}$

Diện tích vườn rau là: $8x\text{~(m}^{2}\text{)}$

Diện tích phần còn lại là: $625 - 8x\text{~(m}^{2}\text{)}$

Vì diện tích của phần đất còn lại không dưới $473\text{~m}^{2}$ nên ta có bất phương trình:

$625 - 8x \geq 473$

$- 8x \geq - 152$

$x \leq 19$

Vậy giá trị lớn nhất của $x$ là $19$