Đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2025 - 2026 trường THPT Bình Hưng Hòa - TP HCM

Sử dụng các giới hạn cơ bản của dãy số, biết rằng $\lim\dfrac{1}{n} = 0$.

Ta có $\lim\left( {\dfrac{1}{n} + 2} \right) = \lim\dfrac{1}{n} + \lim 2 = 0 + 2 = 2$.

Áp dụng tính chất giới hạn của hàm số $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\lbrack k.f(x)\rbrack = k.\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$.

Ta có $\lim\limits_{x\rightarrow 3}2f(x) = 2.\lim\limits_{x\rightarrow 3}f(x) = 2.( - 2) = - 4$.

Quan sát đồ thị hàm số, tìm các điểm mà tại đó đồ thị bị đứt quãng, không liền nét.

Dựa vào đồ thị, ta thấy tại điểm $x_{0} = - 1$, đồ thị hàm số có sự ngắt quãng nên hàm số gián đoạn tại $x_{0} = - 1$.

Xác định vị trí của tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ là $\dfrac{n}{4}$ với n là cỡ mẫu, từ đó tìm nhóm chứa $Q_{1}$.

Cỡ mẫu n = 64, ta có $\dfrac{n}{4} = \dfrac{64}{4} = 16$. Số liệu tích lũy các nhóm là: nhóm [10; 20) có tần số tích lũy là 9, nhóm [20; 30) có tần số tích lũy là 9 + 19 = 28. Do giá trị 16 nằm trong khoảng từ 9 đến 28 nên tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ thuộc nhóm [20; 30).

Giá trị đại diện của nhóm [a; b) được tính bằng công thức $\dfrac{a + b}{2}$.

Giá trị đại diện của nhóm [120; 130) là $\dfrac{120 + 130}{2} = 125$.

Độ dài của nhóm ghép nhóm [a; b) được tính bằng hiệu giữa đầu mút phải và đầu mút trái b - a.

Độ dài mỗi nhóm là 30 - 0 = 30.

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào.

AD và SB là hai đường thẳng chéo nhau.

Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác để chứng minh các đường thẳng trong mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC).

Trong tam giác BCD, M và N là trung điểm của BD và CD nên MN là đường trung bình, suy ra MN // BC.

Trong tam giác ABD, M và P là trung điểm của BD và AD nên MP là đường trung bình, suy ra MP // AB.

Do đó mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và MP lần lượt song song với BC và AB nằm trong mặt phẳng (ABC), suy ra (MNP) // (ABC).

Áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song.

Mặt phẳng (ABC') cắt mặt phẳng chứa đáy (A'B'C') theo giao tuyến là đường thẳng đi qua C' và song song với đường thẳng AB (vì AB // A'B' và mặt phẳng (ABC') chứa AB). Do đó giao tuyến song song với đường thẳng AB.

Sử dụng định lí Thales.

Gọi chiều cao của bình là h, mực nước trong bình là $\dfrac{1}{3}h$. Phần ống hút bị ngập trong nước tỉ lệ thuận với chiều cao mực nước so với tổng chiều cao bình. Do đó độ dài phần ống hút bị ướt là $\dfrac{1}{3}.21 = 7$ cm.

Tính giới hạn của hàm số khi $\left. t\rightarrow + \infty \right.$ bằng cách chia cả tử và mẫu cho t.

Ta có $\lim\limits_{t\rightarrow + \infty}\left( {5 - \dfrac{15t}{9t^{2} + 1}} \right) = 5 - \lim\limits_{t\rightarrow + \infty}\dfrac{\dfrac{15}{t}}{9 + \dfrac{1}{t^{2}}} = 5 - \dfrac{0}{9 + 0} = 5$.

Lập phương trình tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm để tìm x, sau đó cộng tổng số người từ 40 tuổi trở lên.

Tổng số người là n = 6 + 12 + 16 + x + 2 = 36 + x.

Số trung bình là $\overline{x} = \dfrac{6.15 + 12.25 + 16.35 + x.45 + 2.55}{36 + x} = 31$.

Giải phương trình trên, được x = 4.

Số người từ 40 tuổi trở lên đi xem bộ phim mới đó là 4 + 2 = 6 (người).

Kiểm tra các đặc trưng số học của mẫu số liệu ghép nhóm gồm cỡ mẫu, khoảng biến thiên, trung vị và mốt.

a) Đúng. Cỡ mẫu n = 1 + 1 + 7 + 16 + 13 + 5 = 43.

b) Sai. Khoảng biến thiên là hiệu giữa đầu mút phải lớn nhất và đầu mút trái nhỏ nhất: 10 - 4 = 6.

c) Đúng. Cỡ mẫu n = 43, vị trí trung vị là . Tần số tích lũy đến nhóm [7; 8) là 1 + 1 + 7 + 16 = 25, do đó trung vị thuộc nhóm [7; 8).

d) Đúng. Nhóm chứa mốt là [7; 8) với tần số lớn nhất 16.

Mốt:$M_{o} = 7 + \dfrac{16 - 7}{(16 - 7) + (16 - 13)}.1 = 7,75$.

Thay giá trị thời gian vào hàm số tương ứng, tính giới hạn một bên, xét tính liên tục và giải phương trình tìm thời điểm nhiệt độ bằng $170^{o}C$.

a) Đúng. Vì $0 \leq 1 \leq 70$ nên $T(1) = 20 + 3.1 = 23$.

b) Sai. $\lim\limits_{t\rightarrow 70^{+}}T(t) = 370 - 2.70 = 370 - 140 = 230$.

c) Sai. Ta có $\lim\limits_{t\rightarrow 70^{-}}T(t) = 20 + 3.70 = 230$, $\lim\limits_{t\rightarrow 70^{+}}T(t) = 370 - 2.70 = 230$ và $T(70) = 20 + 3.70 = 230$, suy ra hàm số liên tục tại t = 70.

d) Đúng. Xét phương trình $\left. 20 + 3t = 170\Rightarrow 3t = 150\Rightarrow t = 50 \in \left\lbrack {0;70} \right\rbrack \right.$.

Xét phương trình $\left. 370 - 2t = 170\Rightarrow 2t = 200\Rightarrow t = 100 \in (70;120\rbrack \right.$.

Vậy có đúng hai thời điểm nhiệt độ trong tủ sấy bằng $170^{o}C$.

Vận dụng quan hệ song song trong không gian, tính chất đường thẳng và mặt phẳng song song, tính diện tích thiết diện.

a) Sai. Đường thẳng SA và MD không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào nên chúng chéo nhau.

b) Đúng. Vì BC // AD và $AD \subset (SAD)$, $BC \subset (SAD)$ nên BC // (SAD).

c) Đúng. $M \in BC \subset (ABCD)$. Đường thẳng d đi qua M và song song với AB mà $AB \subset (ABCD)$, do đó đường thẳng d nằm trọn trong mặt phẳng (ABCD).

d) Sai. Xác định hình dáng và kích thước thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(\alpha)$:

Trong mặt phẳng (ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD tại N. Do đó MN // AB // CD. Vì ABCD là hình vuông cạnh 5 nên MN = 5. Ta có AN = BM = 2 $\Rightarrow$ ND = 5 - 2 = 3.

Trong mặt phẳng (SBC), qua M kẻ đường thẳng song song với SB, cắt SC tại P.

Theo định lý Thales: $\left. \dfrac{MP}{SB} = \dfrac{CM}{CB} = \dfrac{5 - 2}{5} = \dfrac{3}{5}\Rightarrow MP = \dfrac{3}{5}.5 = 3 \right.$.

Trong mặt phẳng (SAD), qua N kẻ đường thẳng song song với SA, cắt SD tại Q. Theo định lý Thales: $\left. \dfrac{NQ}{SA} = \dfrac{DN}{DA} = \dfrac{3}{5}\Rightarrow NQ = \dfrac{3}{5}.5 = 3 \right.$.

Do mặt phẳng $(\alpha)$ // (SAB) nên giao tuyến PQ với mặt bên (SCD) phải song song với AB và CD.

Theo định lý Thales: $\left. \dfrac{PQ}{CD} = \dfrac{SP}{SC} = \dfrac{BM}{BC} = \dfrac{2}{5}\Rightarrow PQ = \dfrac{2}{5}.5 = 2 \right.$.

Thiết diện thu được là một hình thang cân MNQP có đáy lớn MN = 5, đáy nhỏ PQ = 2, và hai cạnh bên bằng nhau MP = NQ = 3.

Độ dài hình chiếu của cạnh bên lên đáy lớn là: $\dfrac{5 - 2}{2} = 1,5$.

Chiều cao của hình thang cân thiết diện:

$h_{ht} = \sqrt{3^{2} - 1,5^{2}} = \sqrt{9 - 2,25} = \sqrt{6,75} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

Diện tích đa giác thiết diện là:

$S_{MNQP} = \dfrac{(MN + PQ).h_{ht}}{2} = \dfrac{(5 + 2).\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}{2} = \dfrac{21\sqrt{3}}{4}$.

Kiểm tra tính liên tục của hàm số tại điểm $x_{0}$ bằng cách so sánh giá trị $f(x_{0})$ với các giới hạn bên trái và bên phải $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$ và $\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$.

Ta có: $f(2) = 2 + 1 = 3$;

$\lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}(x + 1) = 2 + 1 = 3$;

$\lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac{2x^{2} - 5x + 2}{x - 2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}\dfrac{(x - 2)(2x - 1)}{x - 2}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}(2x - 1) = 2.2 - 1 = 3$.

Vì $\lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}f(x) = f(2) = 3$, nên hàm số f(x) liên tục tại điểm $x_{0} = 2$.

Sử dụng định lí đường trung bình trong tam giác để chứng minh một đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng, từ đó suy ra đường thẳng song song với mặt phẳng đó.

Xét tam giác BCD, ta có M là trung điểm của BC và N là trung điểm của CD. Do đó MN là đường trung bình của tam giác BCD. Suy ra MN // BD.

Mà $MN \subset (SMN)$ và $BD \subset (SMN)$.

Vậy đường thẳng BD song song với mặt phẳng (SMN).

Xác định diện tích tam giác đầu tiên $S_{1}$ và tỉ số diện tích giữa hai tam giác đều liên tiếp tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn, sau đó áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = \dfrac{S_{1}}{1 - q}$.

Tam giác đều $A_{1}B_{1}C_{1}$ nội tiếp đường tròn bán kính R = 6 cm nên độ dài cạnh của tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ là $a_{1} = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ cm.

Diện tích tam giác đều $A_{1}B_{1}C_{1}$ là $S_{1} = \dfrac{a_{1}^{2}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{{(6\sqrt{3})}^{2}\sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}$ $\text{cm}^{2}$.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ là $r_{1} = \dfrac{R}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ cm.

Đường tròn nội tiếp tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều tiếp theo $A_{2}B_{2}C_{2}$, do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$ là $R_{2} = r_{1} = 3$ cm.

Tỉ số đồng dạng giữa tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$ và tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ là $k = \dfrac{R_{2}}{R_{1}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Do đó tỉ số diện tích giữa tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$ và tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ là công bội $q = \dfrac{S_{2}}{S_{1}} = k^{2} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} = \dfrac{1}{4}$.

Dãy diện tích các tam giác $S_{1},S_{2},\ldots,S_{n},\ldots$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $S_{1} = 27\sqrt{3}$ và công bội $q = \dfrac{1}{4}$.

Tổng cần tính là $S = S_{1} + S_{2} + \ldots + S_{n} + \ldots = \dfrac{S_{1}}{1 - q} = \dfrac{27\sqrt{3}}{1 - \dfrac{1}{4}} = 36\sqrt{3}$ $\left( \text{cm}^{2} \right)$.