Đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2025 - 2026 trường THPT Vạn Hạnh - TP HCM

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_{n} = u_{1} + (n - 1)d$.

Ta có: $u_{11} = u_{1} + (11 - 1)d = 2 + 10.( - 3) = - 28$.

Dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng nếu với mọi $n \in {\mathbb{N}}^{*}$, ta có $u_{n + 1} > u_{n}$.

Xét dãy số ở phương án D: -5 < -4 < -3 < -2 < -1. Số hạng sau luôn lớn hơn số hạng liền trước, do đó đây là dãy số tăng.

Thay n = 21 vào công thức số hạng tổng quát $u_{n} = \dfrac{n - 1}{2n + 3}$.

Với n = 21, ta có: $u_{21} = \dfrac{21 - 1}{2.21 + 3} = \dfrac{4}{9}$.

Diện tích mặt trên của các tầng lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q = \dfrac{1}{2}$. Sử dụng công thức $u_{n} = u_{1}.q^{n - 1}$.

Diện tích mặt trên của tầng 1 là: $u_{1} = \dfrac{12288}{2} = 6144$ $\text{m}^{2}$.

Diện tích mặt trên của từng tầng lập thành cấp số nhân với $u_{1} = 6144$ và công bội $q = \dfrac{1}{2}$.

Diện tích mặt trên cùng là: $u_{11} = u_{1}.q^{10} = 6144.\left( \dfrac{1}{2} \right)^{10} = 6$ $\text{m}^{2}$.

Áp dụng các kết quả giới hạn cơ bản của dãy số: $\lim\dfrac{1}{n^{k}} = 0$ với mọi k > 0 và $\lim n^{k} = + \infty$ với k > 0.

Theo kết quả giới hạn cơ bản, ta có $\lim\dfrac{1}{n^{2}} = 0$.

Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nằm trong (P) thì a // (P).

MN là đường trung bình của tam giác SAC nên MN // AC; mà $AC \subset (ABCD)$ và $MN \subset (ABCD)$. Do đó, MN // (ABCD).

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_{n} = u_{1}.q^{n - 1}$.

Ta có: $u_{10} = u_{1}.q^{9} = - 2.\left( \dfrac{1}{2} \right)^{9} = - \dfrac{1}{256}$.

Sử dụng công thức công sai của cấp số cộng: $d = u_{2} - u_{1}$.

Công sai $d = u_{2} - u_{1} = 4 - 7 = - 3$.

Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm $x_{0} = 2$ khi và chỉ khi $\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x) = f(2)$.

Ta có: f(2) = m;

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^{2} - 4}{x - 2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$ $= \lim\limits_{x\rightarrow 2}(x + 2) = 2 + 2 = 4$.

Để hàm số liên tục tại điểm $x_{0} = 2$ thì $\left. \lim\limits_{x\rightarrow 2}f(x) = f(2)\Leftrightarrow m = 4 \right.$.

Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác SAC để tìm đường thẳng song song với OM, từ đó chứng minh OM song song với mặt phẳng chứa đường thẳng vừa tìm.

Trong tam giác SAC, vì O là tâm hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC. M là trung điểm của SA. Do đó, OM là đường trung bình của tam giác SAC, suy ra OM // SC.

Ta có: OM // SC, $SC \subset (SCD)$ và $OM \subset (SCD)$. Vậy OM // (SCD).

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng. Tổng số ghế được tính bằng công thức $S_{n} = \dfrac{n}{2}\left\lbrack {2u_{1} + (n - 1)d} \right\rbrack$.

Số ghế ở các hàng lập thành một cấp số cộng có $u_{1} = 17$, d = 20 - 17 = 3.

Tổng số ghế trong 20 hàng là: $S_{20} = \dfrac{20}{2}.\left\lbrack {2.17 + (20 - 1).3} \right\rbrack = 910$.

Dựa vào định nghĩa hàm số liên tục và gián đoạn tại một điểm $x_{0}$: Nếu giới hạn không tồn tại hoặc khác $f(x_{0})$ (đồ thị bị đứt đoạn tại hoành độ $x_{0}$) thì hàm số gián đoạn tại $x = x_{0}$.

Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số gián đoạn tại x = 2.

Áp dụng điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nằm trong (P) thì a // (P).

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Ta có: AB // CD, $CD \subset (SCD)$ (hay (SDC)) và $AB \subset (SDC)$.

Do đó, AB // (SDC).

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp $\sqrt{x + 7} + 3$ để khử dạng vô định $\dfrac{0}{0}$.

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{(\sqrt{x + 7} - 3)(\sqrt{x + 7} + 3)}{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{x + 7 - 9}{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x + 7} + 3)}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{1}{\sqrt{x + 7} + 3} = \dfrac{1}{\sqrt{2 + 7} + 3} = \dfrac{1}{6}$.

Sử dụng tính chất của hình hộp: Các mặt đối diện của hình hộp là các hình bình hành nằm trên hai mặt phẳng song song.

Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', mặt phẳng (AA'B'B) đối diện với mặt phẳng (CC'D'D).

Do đó, (AA'B'B) // (CC'D'D).

Sử dụng công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: $M_{o} = u_{j} + \dfrac{n_{j} - n_{j - 1}}{(n_{j} - n_{j - 1}) + (n_{j} - n_{j + 1})}.(u_{j + 1} - u_{j})$.

Nhóm có tần số lớn nhất là [18; 22) với $n_{3} = 120$. Do đó, nhóm chứa mốt là [18; 22).

Mốt của mẫu số liệu là: $M_{o} = 18 + \dfrac{120 - 78}{(120 - 78) + (120 - 45)}.4 \approx 19,4$.

Tính giới hạn của hàm đa thức tại một điểm bằng cách thay trực tiếp x = 2 vào biểu thức.

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}(x^{3} + 1) = 2^{3} + 1 = 9$.

Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (OMN) lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng còn lại.

Trong tam giác SAD, M và N lần lượt là trung điểm của SA và SD nên MN là đường trung bình của tam giác SAD, suy ra $MN \parallel AD \parallel BC$.

Trong tam giác SAC, M là trung điểm của SA, O là trung điểm của AC nên OM là đường trung bình của tam giác SAC, suy ra $OM \parallel SC$.

Ta có: $MN \parallel BC$ mà $\left. BC \subset (SBC)\Rightarrow MN \parallel (SBC) \right.$.

$OM \parallel SC$ mà $\left. SC \subset (SBC)\Rightarrow OM \parallel (SBC) \right.$.

Mặt khác $MN \cap OM = M$ trong $(OMN)$.

Vậy $(OMN) \parallel (SBC)$.

Sử dụng công thức tính công bội của cấp số nhân: $q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}}$.

Công bội $q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = \dfrac{8}{2} = 4$.

Sử dụng công thức tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Trung bình của mẫu số liệu: $\overline{x} = \dfrac{24.4,5 + 57.7,5 + 42.10,5 + 29.13,5 + 8.16,5}{160} = 9,375$.

Chia cả tử và mẫu cho $n^{2}$, sau đó áp dụng các quy tắc tính giới hạn của dãy số.

Ta có: $\lim\dfrac{4n^{2} - 3n + 1}{2n^{2} + 5} = \lim\dfrac{n^{2}\left( {4 - \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} \right)}{n^{2}\left( {2 + \dfrac{5}{n^{2}}} \right)}$

$= \lim\dfrac{4 - \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}}{2 + \dfrac{5}{n^{2}}} = \dfrac{4 - 0 + 0}{2 + 0} = 2$.

Phân tích cả tử số và mẫu số thành nhân tử chứa (x - 2) để khử dạng vô định $\dfrac{0}{0}$, sau đó tính giới hạn bằng cách thay x = 2.

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{3x^{2} - x - 10}{x^{2} - 4} = \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{(x - 2)(3x + 5)}{(x - 2)(x + 2)}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{3x + 5}{x + 2} = \dfrac{3.2 + 5}{2 + 2} = \dfrac{11}{4}$.

Tính f(1), sau đó tính $\lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x)$ bằng cách nhân liên hợp khử dạng vô định $\dfrac{0}{0}$ rồi so sánh với f(1).

Ta có $f(1) = \dfrac{1}{16}$;

$\lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\sqrt{x + 15} - 4}{x^{2} - 1}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{(\sqrt{x + 15} - 4)(\sqrt{x + 15} + 4)}{(x^{2} - 1)(\sqrt{x + 15} + 4)}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{x + 15 - 16}{(x - 1)(x + 1)(\sqrt{x + 15} + 4)}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)(\sqrt{x + 15} + 4)}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{1}{(x + 1)(\sqrt{x + 15} + 4)}$

$= \dfrac{1}{(1 + 1)(\sqrt{1 + 15} + 4)} = \dfrac{1}{16}$.

Nhận thấy $\lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x) = f(1) = \dfrac{1}{16}$.

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại điểm $x_{0} = 1$.

a) Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác để chứng minh MN // CD, từ đó chứng minh MN // (ABCD).

b) Chứng minh mặt phẳng (OMN) chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAB).

a) Trong tam giác SCD, ta có M là trung điểm của SC và N là trung điểm của SD. Suy ra MN là đường trung bình của tam giác SCD, nên MN // CD.

Ta có: MN // CD, $CD \subset (ABCD)$, $MN \subset (ABCD)$. Vậy MN // (ABCD).

b) Trong tam giác SAC, O là trung điểm của AC (do O là tâm hình bình hành ABCD) và M là trung điểm của SC. Suy ra OM là đường trung bình của tam giác SAC, do đó OM // SA.

Mặt khác, $SA \subset (SAB)$ và $OM \subset (SAB)$, nên OM // (SAB).

Tương tự, trong tam giác SDB, O là trung điểm của BD và N là trung điểm của SD. Suy ra ON là đường trung bình của tam giác SDB, do đó ON // SB.

Mặt khác, $SB \subset (SAB)$ và $ON \subset (SAB)$, nên ON // (SAB).

Trong mặt phẳng (OMN), hai đường thẳng OM và ON cắt nhau tại O, OM // (SAB) và ON // (SAB) nên (OMN) // (SAB).

a) Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng. Áp dụng công thức $u_{n} = u_{1} + (n - 1)d$ để tìm số ghế ở hàng thứ 15.

b) Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: $S_{n} = \dfrac{n}{2}\left\lbrack {2u_{1} + (n - 1)d} \right\rbrack$ với n = 20.

a) Số ghế ở các hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1} = 20$ và công sai d = 22 - 20 = 2.

Số ghế ở hàng thứ 15 là:

$u_{15} = u_{1} + (15 - 1)d = 20 + 14.2 = 48$ (ghế).

b) Tổng số ghế của 20 hàng ghế trong rạp hát là:

$S_{20} = \dfrac{20}{2}.\left\lbrack {2.20 + (20 - 1).2} \right\rbrack = 780$ (ghế).